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甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.5双曲线及其标准方程教案 新人教A版选修1-1


甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.5 双曲线及其标准方程教 案 新人教 A 版选修 1-1

(1)预习与引入过程 预习教科书 56 页至 60 页,当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口 曲线 (截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面 与圆锥的轴线或平 行时,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么此时的 截口曲线是双曲线而不是两条抛物线;第二、你能举出现实生活中双曲线的例子.当学生把上述两 个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究 P56 页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细 绳子两条(一条约 10cm 长,另一条约 6cm 每条一端结一个套)和笔尖带小环的铅笔一枝,教师准 备无弹性细绳子两条 (一条约 20cm, 另一条约 12cm, 一端结个套, 另一端是活动的) , 图钉两个) . 当 把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子的另一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图 形是双曲线.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么? 〖板书〗§2.2.1 双曲线及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨 迹叫做双曲线(hyperbola) .其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦 距.即当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? M MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)双曲线标准方程的推导过程 提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学生来建 立直角坐标系. 无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理 方程的两次移项、平方整理 的数学 活动过程. 类比椭圆:设参量 b 的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、 a , b, c 的关系有明显 的几何意义. 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的双曲线的标准方程 (iii)例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F 1 ? ?5,0? , F 2 ? 5,0 ? ,双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距离差的 绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程. 分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a , b, c .
1

?

?

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? . b2 a 2

2 补充:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且过点 2

A ? 2,0? ; ② 与 ⊙ C1 : x 2 ? ? y ? 1? ? 1 和 ⊙ C2 : x 2 ? ? y ? 1? ? 4 都 外 切 ; ③ 与 ⊙ C1 :
2 2

? x ? 3?

2

? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2 : ? x ? 3 ? ? y 2 ? 1内切.
2

解题剖析:这表面上看是圆与圆相 切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆 M 的 半径为 r . ① ∵ ⊙ C 与 ⊙ M 内 切 , 点 A 在 ⊙ C 外 , ∴ MC ? r? 2 , MA ? r , 因 此 有

MA ? MC? 2 ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦 点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程是
2x2 ? 2 y2 ?1 x? ? 2 ; 7
∵ ⊙ M 与 ⊙ C1 、 ⊙ C2 均 外 切 , ∴ MC1 ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 , 因 此 有

?

?



MC2 ? MC1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹是以 C2 、 C1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方程是
4 y2 ? 4 x2 ? ? 1? y ? 3 ? 3?; ? 4?

③ ∵

M 与

C1 外 切 , 且

M 与

C2 内 切 , ∴ MC 1 ? r ? 3 , MC2 ? r ? 1 , 因 此

MC1 ? MC2 ? 4 ,∴点 M 的轨迹是以 C1 、 C2 为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹方程是
x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? . 4 5
例 2 已知 A , B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速为 340m /s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程 . 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差,即 可知 A , B 两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两 个观察点同时听 到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是 1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 340m / s ;相关点均在 同一平面内) . 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发 生在西北方向或东 南方向,以因正东比正西 晚 4s ,则巨 响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,建立 直角坐标系,设 A 、 B 、 C 分别是西、东、北观察点,则 A ? ?1020,0? ,

B ?1020,0? , C ? 0,1020? .
设 P ? x, y ? 为巨响发生点, ∵ A 、C 同时听到巨响, ∴ OP 所在直线为 y ? ?x ……①, 又因 B 点

2

比 A 点晚 4s 听到巨响声,∴ PB ? PA ? 4 ? 340 ? 1360 ? m? .由双曲线定义知, a ? 680 ,

c ? 1020 ,∴ b ? 340 5 ,∴ P 点在双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ? x ? ?680? ……②.联立 6802 5 ? 3402

①、②求出 P 点坐标为 P ?680 5, 680 5 .即巨响在正西北方向 680 10m 处. 探究:如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M ,且它 们的斜率之积为

?

?

4 ,求点 M 的轨迹方程,并与§2.1.例 3 比较,有什么发现? 9

探究方法:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示,由于直 线 AM , BM 的斜率之积是

4 ,因此,可以求出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 9

◆ 情感、态度与价值观目标 通过课件( a )的展示与操作,必须让学生认同:与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截 口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线;必须让学生认同与体会:双曲线的定义及特殊情形当常数 等于两定点间距离时,轨迹是两条射线;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系的 两个原则, 及引入参量 b ?

c2 ? a2 的意义,培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美;

让学生认同与领悟:像例 1 这基础题配备是必要的,但对定义的理解和使用是远远不够的,必须配 备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题;例 2 是典型双曲线实例的题目,对培养学生的辩证 思维方法,会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助,但要准确判定爆炸点,必须对此题进行 扩展,培养学生归纳、 联想拓展的思维能力. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子,能 用数学符 号或自然语言的描述双曲线的定义,能正确且直观地绘作图形,反过来根据 图形能用数学术语和数学 符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问题引申到一般 性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力.

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