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最新高三教案-2018年高中总复习第一轮数学第十四章极限(理)14.4函数的连续性及极限的应用 精品

14.4 函数的连续性及极限的应用 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.函数的连续性 一般地,函数 f(x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件: (1)函数 f(x)在点 x=x0 处有定义;(2) lim f(x)存在;(3) lim f(x)=f(x0).如果函数 y=f(x)在 x ? x0 x ? x0 点 x=x0 处及其附近有定义,而且 lim f(x)=f(x0),就说函数 f(x)在点 x0 处连续. x ? x0 2.如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小 值. 3.若 f(x)、g(x)都在点 x0 处连续,则 f(x)±g(x),f(x)·g(x), f ( x) (g(x)≠0)也在点 x0 处连续. g ( x) 若 u(x)在点 x0 处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处也连续. 链接·提示 (1)连续必有极限,有极限未必连续. (2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺 序的. 二、点击双基 1.f(x)在 x=x0 处连续是 f(x)在 x=x0 处有定义的________________条件.( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析:f(x)在 x=x0 处有定义不一定连续. 答案:A 2.定义 f(-1)使函数 f(x)= A.f(-1)=1 x ? ?1 x ? ?1 1? x2 在 x=-1 处连续,则( 1? x C.f(-1)=2 ) D.f(-1)=-2 B.f(-1)=-1 解析: lim f(x)= lim (1-x)=2. 答案:C 3.四个函数:①f(x)= 1 ;②g(x)=sinx;③f(x)=|x|;④f(x)=ax3+bx2+cx+d.其中在 x=0 处连续的 x 函数是__________________.(把你认为正确的代号都填上) 答案:②③④ 4.若函数 f(x)= ? ?5, ?2 x ? c, x ? ?1 x ? ?1, 在定义域内连续,则 c=____________________. x ? ?1 解析: lim? f(x)=-2+c, lim? f(x)=5,f(-1)=-2+c. x ? ?1 ∵f(x)在定义域内连续,∴-2+c=5.∴c=7. 答案:7 诱思·实例点拨 ?1, ? 【例 1】 (1)讨论函数 f(x)= ?0, ?? 1, ? (2)讨论函数 f(x)= x ? 0, x ? 0, 在点 x=0 处的连续性; x?0 x 在区间[0,3]上的连续性. x?3 x ?0 剖析:(1)需判断 lim f(x)= lim f(x)=f(0). ? ? x ?0 (2)需判断 f(x)在(0,3)上的连续性及在 x=0 处右连续,在 x=3 处左连续. 解:(1)∵ lim f(x)=-1, lim f(x)=1, ? ? x ?0 x ?0 x ?0 ? lim f(x)≠ lim f(x), ? x ?0 x?0 ∴ lim f(x)不存在.∴f(x)在 x=0 处不连续. (2)∵f(x)在 x=3 处无定义, ∴f(x)在 x=3 处不连续. ∴f(x)在区间[0,3]上不连续. 1? xn 【例 2】已知函数 f(x)=( lim )·x(x≥0). n? ? 1 ? x n (1)化简函数表达式并作出函数的图象; (2)讨论函数 f(x)在 x=1 和 x= 1 处的连续性. 2 剖析:对 x 的取值进行讨论,可确定函数 f(x)的解析式,再利用函数连续性的定义. 1 ( )n ?1 1? x 解:(1)当 x>1 时, lim = lim x =-1; n? ? 1 ? x n n? ? 1 ( )n ?1 x n 1? xn 当 0≤x<1 时, lim =1;当 x=1 时, lim f(x)=0. n? ? 1 ? x n n? ? ?? x , ? 综上所述,f(x)= ?0, ? x, ? 函数图象如图所示: x ? 1, x ? 1, 0 ? x ? 1. (2) lim f(x)= lim (-x)=-1, ? ? x ?1 x ?1 x ?1? lim f(x)=1, lim f(x)≠ lim f(x). ? ? x ?1 x ?1 x ?1 ∴ lim f(x)不存在. ∴f(x)在 x=1 处不连续, lim f(x)= lim x= 1 x? 2 1 x? 2 1 1 =f( ). 2 2 ∴f(x)在 x= 1 处连续. 2 讲评:本题以求函数的极限为背景,主要考查了学生的分类讨论的思想及函数的连续性的定 义. 【例 3】 如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行: 从原点出发,在 x 轴上向正方向前进 a(a>0)个单位后,向左转 90°,前进 ar(0<r<1)个单位,再向 左转 90°,又前进 ar2 个单位,…,如此连续下去. (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定 方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2)若其中的 r 为变量,且 0<r<1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? 剖析:(1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置. (2)可先求最终目的地关于 r 的参数形式的方程. 解 :(1) 由已知可知即求这样运动的极限点 , 设运动的极限位置为 Q(x,y), 则 x=a-ar2+ar4- … = a a = , 2 1 ? ( ?r ) 1 ? r 2 ar , 1? r 2 a ar ∴大本营应在点( , )附近去寻找小分队. 2 1? r 1? r 2 y=ar-ar3+ar5-…= a ?


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