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人教版高中数学必修4精品课件2.5平面向量应用举例_图文

2.5平面向量应用举例 1. 向量在几何中的应用 解决的问题: 比如:距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题 2. 向量在物理中的应用 解决的问题: 比如:力、速度等物理问题 2.5.1平面几何的向量方法 例1:平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图,你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗? D C D C b A B 特殊化 a 一般化 A B 探索:ABCD 2 2 2 2 中,该关系 AC ? DB ? 2( AB ? AD ) 是否依然成 2 2 2 2 ? ? 立? 即证 AC ? DB ? 2? AB ? AD ? ? ? 例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知:平行四边形ABCD。 D AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 求证: 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 AB ? a, AD ? b 其它线段对应向 A 量用它们表示。 2 2 C B 解:设 AB ? a, AD ? b ,则 BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b AB ? BC ? CD ? DA ? 2( a ? b ) 2 2 2 2 AC ? BD ? a ? b ? a ? b 2 2 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? ? ? ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? ? ∴ AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 2 2 2 2 例2 如图, ABCD中,点E、F分别 是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗? D F T C ? 猜想: AR=RT=TC A E R B ???? ? ??? ? ? ???? ? ??? ? ? ? 解:设AB ? a, AD ? b , AR ? r , 则 AC ? a ? b ??? ? ???? ? ? ? 由于 AR 与AC 共线,故设r ? n(a ? b ), n ? R ??? ? ??? ? 又因为 ER与EB 共线, D E R F T B C ??? ? ???? ? 1? 所以设ER ? mEB ? m(a ? b ) 2 ??? ? ???? ??? ? 因为 AR ? AE ? ER ? 1? ? 1? 所以 r ? b ? m (a ? b ) A 2 ? ? 2 ? 1 ? 1? 因此n(a ? b ) ? b ? m(a ? b ) 2 2 D E A R F T C B m ?1 ? ? ? 即( n ? m )a ? ( n ? )b ? 0 2 ? ? 2 ?n ? m ? 0 ? ? 由于向量a , b不共 线,? ? m ?1 n? ? 0 ???? 1 ???? ??? ? 1 ???? ???? 1 ???? 所以 AR ? AC ,同理TC ? AC , 于是 RT ? AC 3 3 3 1 解得:n= m = 3 故AT=RT=TC 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问 题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量 问题;常设基底向量或建立向量坐标。 (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形 练习1、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量AC ? CB,即 AC ? CB ? 0 。 C ? a ? b O B 解:设 AO ? a, OC ? b 则 AC ? a ? b, CB ? a, ?b ???? ??? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 AC ? CB ? a ? b . a ? b ? a ? b ? a ? b 由此可得: 思考:能否用向量 坐标形式证明? ? ?? ? 即 AC ? CB ? 0,得 ∠ACB=90° ?r ?r ?0 2 2 2.5.2向量在物理中的应用 例1:同一平面内,互成120? 的三个大小相等的共 点力的合力为零。 证:如图,用a,b,c表示这3个共点力, 且a,b,c互成120°,模相等,按照向 量的加法运算法则,有: a A 120? O a +b +c = a +(b +c)=a +OD 又由三角形的知识知:三角形OBD B 为等边三角形,故 a与OD共线且模相等 b c C D 所以:OD = -a ,即有: a+ b+ c =0 例2:在生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行 包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越 小越省力!你能从数学的角度解释这个现象吗? 分析:上述的问题跟如图所示 的是同个问题,抽象为数学模 型如下: 用向量F1,F2,表示两个提力, 它们的合向量为F,物体的重力 用向量G来表示, F1,F2的夹 角为θ,如右图所示,只要分清 F,G和θ三者的关系,就得到 了问题得数学解释! F1 θ F F2 G 解:不妨设 F1 = F2 ,由向量的 平行四 边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识, 可以知道: G F1 = ( *) θ 2cos 2 F 通过上面的式子,有:当θ由0? 到180? 逐渐变 θ θ cos 大时, 由0? 到90? 逐渐变大, 2 的值由大逐 2 渐变小,因此 : F1 由小逐渐变大,即F1 ,F2之间 的夹角越大越费力,夹角越小越省力! 探究: F F


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