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新课标高中数学人教A版必修必修5全套教案


1.1.1 正弦定理 (一)教学目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法; 2. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 (二)教学重、难点 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 (三)教学过程 提出问题:1、在三角形中,内角和对边有什么关系呢? 2、在直角三角形中,如何利用边长表示每个角的三角函数值呢? 3、你能把 2 的结论推广的任意三角形中吗? 课堂讨论: (提问) 1、当 ? ABC 是直角三角形时,2、当 ? ABC 是锐角三角形时,3、当 ? ABC 是钝角三角形时, 得出结论:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

定理理解: (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例题讲解: 例 1.(教材例题)

a b

例 2.(教材例题)

例 3.在 ?ABC 中,已知 a ? 5, b ? 5 3, B ? 1200 ,解三角形。

例 4.在 ?ABC 中,已知 a ? 2 3, b ? 6, A ? 300 ,解三角形。

例 5.在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 600 , C ? 750 ,解三角形。

拔高练习: 1、已知 ? ABC 中, ? A ? 600 , a ? 3 ,求

a ? b ?c sin A ? sin B ? sinC

2、已知 ? ABC 中, sin A:sin B :sin C ?1:2:3 ,求 a :b :c

课堂小结 (1) 定理的表示形式:

a b c a ? b ?c ? ? ? ? k ? k ? 0? ; sin A sin B sinC sin A ? sin B ? sinC 或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0)

(2)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 课后思考:在 ? ABC 中,

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

? k(k >o),这个 k 与 ? ABC 有什么关系?

1.1.2 正弦定理的拓展和应用 (一)教学目标 1.推出正弦定理的另一结论; 2. 会运用正弦定理解斜三角形问题。 (二)教学重、难点 重点:正弦定理拓展。 难点:正弦定理的应用。 (三)教学过程 提出问题:1、第一节的课后思考题

2、如何求三角形面积?

课堂讨论: (提问) 得出结论:1、 k ? 2R( R为?ABC外接圆的半径)

2、 S ?ABC 定理理解:1、

?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

a b c ? ? ? 2 R ,能够与圆联系,及有关的平面几何问题。 sin A sin B sin C

2、S ?ABC 例题讲解:

?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 用来求斜三角形的面积 2 2 2

例 1.在 ?ABC 中,已知 a ? 10, b ? 5 6, B ? 600 ,解三角形,并求 ?ABC 的面积。

例 2.在 ?ABC 中, 若sin 的形状。

2

A ? sin 2 B ? sin 2 C, sin A ? 2 sin B ? cosC ,试判断 ?ABC

高练习: .在 ?ABC 中,求证:

a ? c ? cos B sin B ? b ? c ? cos A sin A

课堂小结:1、

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C

2、 S ?ABC

?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 积 2 2 2
2 ? 6, C ? 600 , 求a ? b的取值范围。

课后思考:在 ?ABC 中, c ? 3

1.1.3 余弦定理 (一)教学目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法, 2.并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 (二)教学重、难点 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 (三)教学过程 提出问题:1、知道三角形的三边如何解三角形? 2、知道两边及其夹角如何解三角形? 3、余弦定理是什么? 课堂讨论: 如图,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c A b c C a B

得出结论:余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它 们 的 夹 角 的 余 弦 的 积 的 两 倍 。 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ;

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
从余弦定理, 又可得到以下推论:cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? a 2 ? c 2 ;cos B ? ;cosC ? 2bc 2ac 2ba

定理理解:余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 例题讲解: 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 45 ,求 b 及 A
?

例 2.在 ? ABC 中, b ? 3, c ? 3 3, B ? 300 , 求A, C和a.

拔高练习:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A。

[课堂小结] (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三 边。 课后思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?

1.1.4 余弦定理的应用 (一)教学目标 运用余弦定理解决解三角形问题。 (二)教学重、难点 重点:余弦定理的基本应用; 难点:利用勾股定理证明余弦定理。 (三)教学过程 提出问题:1、如何利用勾股定理证明余弦定理?

2、正弦定理、余弦定理体现了三角形中的边角的什么关系? 3、总结利用正余弦定理解三角形的类型。 课堂讨论: 得出结论: 1、 正余弦定理从分体现了三角形中边角的互化,利用三角恒等式变换解三角形。 2、 解三角形常见类型: 基本类型 已知两角及 其中一边。 如:A,B,a.
0

一般解法 1、由 A ? B ? C ? 180 ,求出 C. 2、根据正弦定理

a b c ? ? 求出,b、c. sin A sin B sin C

已知两边和 它们的夹角, 如:a,b,C.

1、根据余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 求出 c. 2、根据 cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 求出 A. 2bc
0

3、由 A ? B ? C ? 180 ,求出 B. 已知三边 已知两边及其 中一边的对角。 如:a,b,A. 利用余弦定理先求出两角,再由 A ? B ? C ? 180 ,求出第三个角。
0

1、 利用正弦定理求角 B。 (注意两解) 2、由 A ? B ? C ? 180 ,求出角 C.
0

3、再由正弦或余弦定理求出边 c.

例题讲解: 例 1、在 ? ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a.b,c。且 cos A ? 且 b ? c ,求边 b,c 的值。

1 ,若 a ? 4, b ? c ? 6 4

例 2、在

ABC 中, C ? A ?

?
2

, sin B ?

1 。 3
,求 ABC 的面积。

(I)求 sinA 的值;

(II)设 AC=

例 3、在 ?ABC 中,内角 A、b、c 的对边长分别为 a、b、c.已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin B ? 4 cosA sin ,求 b. C

解三角形的习题课 例 1、 ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (Ⅰ)求 AB? AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

12 。 13



b 2 、 在 ?ABC 中 , a、 、

c 别 为 内 角 A、 B 、 分

C 对 边 , 且 的

2a s i A n ?

b 2c ? (

) ?s i n ?c B

( 2 b

C) s i n

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

例 3、?ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD ? 33 ,sin B ?

5 3 ,cos ?ADC ? , AD 求 13 5

例 4、已知 ?ABC 的内角 A , B 及其对边 a 内角 C .

,b

满足 a ? b ? a

1 1 ?b ,求 tan A tan B

例 5、在△ABC 中,已知 B=45° 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. ,D

例 6、在 ? ABC 中,

AC cos B ? 。 AB cos C
1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

(Ⅰ)证明 B=C; (Ⅱ)若 cos A =-

例 7、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足

S?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4
(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

(Ⅰ)求角 C 的大小;

2.1 数列的概念与简单表示法
(一)教学目标 1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式,递推公式) ; 2、了解数列是一种特殊的函数; (二)教学重、难点 重点:理解数列的概念,探索并掌握数列的几种简单的表示法; 难点:了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式。 (三)教学过程 提出问题: 1、三角形数、正方形数 提问:这些数有什么规律?与它所表示的图形的序号有什么关系? 2、概括数列的概念: 项: 首项: 项数: 通项公式: 前 n 项和: 3、数列的分类: 4、数列的表示方法:

5、如何求数列的通项公式?

课堂讨论: (提问) 观察下列几组数据,看看有什么规律? 1、 1,2,3,4 ,5, ? ,100 2、 3、 4、 5、

1 1 1 1 1, , , , ,? 2 3 4 5
1,1,1,1, ? -1,1,-1,1,-1,1, ?

8 15 24 ? 1, ,? , , ? 5 7 9

6、

?

1 1 1 1 , ,? , ,? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

得出结论: 例题精讲: 例1 、写出上面数列的一个通项公式 :

例2 、求下面各数列的一个通项:

1 4 3 8 5 12 (1) , , , , , ,? 2 9 8 25 18 49 1 4 9 16 (2) ? , ,? , ,? 2 ? 4 5 ? 7 8 ?10 11?13 5 7 (3) 4,? ,2,? , ? 2 4
(4)3,5,9,17,33,?,

课堂小结: (1)数列的概念,了解数列是一种特殊的函数; (2)了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列;能发现数列规律找出可 能的通项公式。 课后思考:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , S n

= 2n 2 - 3n ,求 ?an ? 的通项公式。

2.2 等差数列
(一)教学目标 1.理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式; 2. 探索等差数列与一次函数的关系。 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式; 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 (三)教学过程 提出问题: 1、 在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一次, 可以得到数列:0,5,___,___,___,__,?? 2、在奥运会上,女子举重共设置了 7 个级别。较轻的 4 个级别组成数列(单位:kg) :48, 53,58,63。 3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。 如果一个水库的水位为 18m,自然放水每天水位降低 2.5m,最低降至 5m。那么从开始放水 算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m) :18,15.5,13, 10.5,8,5.5 思考:同学们观察一下上面的这三个数列:0,5,10,15,20,?? ① 48,53,58,63 ② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 看这些数列有什么共同特点呢? 课堂讨论: (提问) 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 ; 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 ; 对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 ; 得出结论: 等差数列的概念:

你能举一些等差数列的例子吗? 等差中项: 等差数列的通项公式:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢? 下面由同学们写出这三组等差数列的通项公式:

如果任意给了一个等差数列的首项 a1 和公差 d,它的通项公式是什么呢?

例题精讲: 例 1、⑴求等差数列 8,5,2,?的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第几项?

例 2.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4 千米) 计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为 0,需要支付多少车费?

例 3. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q, 其中 p、q 为常数,且 p≠0,那么这个数 列一定是等差数列吗?

拔高练习:已知数列 {an } 满足 a1 ? 4, a n ? 4 ?

4

an?1 (1)求证:数列 {bn } 是等差数列。 (2)求数列 {an } 的通项公式。

(n ? 1) ,记 bn ?

2 。 an ? 2

课堂小结: 本节主要内容为: ①等差数列定义:即 an ? an?1 ? d (n≥2) ②等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1) ③等差中项: a n ?1 ?

an ? an?2 2

课后思考:已知等差数列 {an } 的公差为 d.求证:① an ? am ? (n ? m)d ②

am ? an ?d m?n

2.3 等差数列的前 n 项和
(一)教学目标 1.理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式、前 n 项和; 2. 体会等差数列与一次函数的关系。 (二)教学重、难点 重点:掌握等差数列的前 n 项和公式;体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系。 难点:等差数列前 n 项和公式推导,灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的问题 (三)教学过程 提出问题:1、如何证明一个数列是等差数列?

2、怎么求等差数列的前 n 项和?

3、等差数列的前 n 项和公式怎么写?怎样从函数的角度去理解? 高斯故事:1+2+3+??+100=?当时,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高 斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+100)(2+99) + +??+ (50+51) =101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,?,n,?前 100 项的和的问题。 课堂讨论:1、他运用了等差数列的什么性质?还有其它方法吗? 2、这种方法可以推广到求一般等差数列的前 n 项和吗? 得出结论: 等差数列求和公式: 一 般 地 , 称 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , 用 S n 表 示 , 即

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
1、 “倒序相加法”进行求和。 由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) 2

对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。 2、除此之外,等差数列还有其他方法吗?

Sn ? a1 ? a2 ? a3... ? an = na1 ?

n(n ? 1) d 2

3、这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前 n 项和与它的 首项、公差之间的关系,而且是关于 n 的“二次函数” ,可以与二次函数进行比较。这两

个公式的共同点都是知道 a 1 和 n,不同点是第一个公式还需知道 a n ,而第二个公式是要 知道 d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。 课堂讨论:已知数列 {an } 的前 n 项为 S n ? n ?
2

1 n ,求这个数列的通项公式.这个数列是 2

等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

例题讲解: 例 1、已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,求其前 n 项和 Sn 。

例 2、已知等差数列 {an } , a4 ? a6 ? 6 ,其中前 5 项的和为 10,求通项公式 an 和前 n 项 和 Sn 。

例 3、已知等差数列 {an } , a3 ? a15 ? 40 ,求 S17 .

例 4、已知等差数列 {an } , a1 ? 50, d ? ?0.6 。 (1)从第几项开始有 an ? 0 ; (2)求此数列的前 n 项和的最大值。

拔高练习:已知等差数列 {an } 中,a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3 ,求 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an 。

课堂小结: 等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d 和 Sn ? na1 ? 2 2

4 3 课后思考: 已知等差数列 5, , ,....的前 n 项和为 Sn , 求使得 Sn 最大的序号 n 的值.

2 7

4 7

2.4 等差数列的性质 (一)教学目标 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前 n 项和; 2. 掌握等差数列的性质。 (二)教学重、难点 重点:掌握等差数列的前 n 项和公式;体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系。 难点:等差数列性质的证明。 (三)教学过程 1.涉及等差数列的基本概念的问题,常用基本量 a1 , d ,n, an , sn 来处理; 2.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为 a ? d , a, a ? d ;若偶数个成等差 数列且和为定值时,可设中间两项为 a ? d , a ? d ,其余各项再根据等差数列的定义进行 对称设元. 3.等差数列的相关性质: 1 ○.等差数列 {an } 中, am = an + ( m - n )d , 变式d =
2

am - an ; m - n

2 ○.等差数列 {an } 的任意连续 m 项的和构成的数列 S m , S 2m ? S m , S3m ? S 2m , L 为等差数 列.新公差为 m d 3 ○.等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ,

若m + n = 2p,则am + an = 2a p .

? sn ? ? 为等差数列; ?n? 5 ○.两个等差数列 {an } 与 {bn } 的和差的数列 {an ? bn } 仍为等差数列. 6 ○.在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中,S偶 =na中,S2n+1 =(2n+1)a中 ;
4 ○.等差数列 {an } 中,前 n 项和为 sn ,则 ? 在项数为 2n 项的等差数列 {an } 中 S奇 ? nan;S偶 ? nan?1;S 2n ? n(an ? an?1 )

an S2 n ?1 ? bn T2 n ?1 8 ○.等差数列 {an } 中,公差为 d,当 d>0 时, {an } 为递增数列, a1 <0 时, sn 有最小值; 当 d<0 时, {an } 为递减数列, a1 >0 时, sn 有最大值;
7 ○.两个等差数列 {an } 与 {bn } 中, S n , T n 分别是它们的前 n 项和,则 例题讲解: 例 1、(1)设数列 {an } 是递增等差数列,前三项的和为 12 ,前三项的积为 48 ,则它的首 项为 . (2) 在等差数列{an}中, 公差为

1 , a1+a3+a5+?+a99=60, a2+a4+a6+?+a100=_________ 且 则 2

(3)Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{Sn}中 为常数的项是 。 (4)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 . (5)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有项的和为 390 ,则这 个数列有 项 (6) 等差数列 {an } 公差为 ? 2 ,如果 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a28 ? 90 ,

则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a50 ?



例 2.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 84, S 20 ? 460 求 S 28 . ,

例 3.等差数列 {an } 中共有2n+1项,且此数列中的奇数项之和为 77 ,偶数项之和为

66 , a1 ? 1 ,求其项数和中间项.

例 4.等差数列 {an } 中, a1 ? 25, S9 ? S17 ,求数列的前 n 项和的最大值。

拔高练习:已知在正整数数列 {an } 中,其前 n 项和 Sn 满足: S n ? (1)求证: {an } 是等差数列; (2)若 bn ?

1 ( a n ? 2) 2 8

1 a n ? 30 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和的最小值。 2

课后练习题:

1.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 (

) ) ) ) )

(A)40 (B)42 (C)43 (D)45 2. 已知等差数列共有 10 项, 其中奇数项之和 15, 偶数项之和为 30, 则其公差是 ( A.5 B.4 C. 3 D.2 3.在等差数列{an}中,若 a4+a6=12,Sn是数列{an}的前 n 项和,则 S9 的值为 ( (A)48 (B)54 (C)60 (D)66 4.设 ?an ? 是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 9, a6 ? 9. 则这个数列的前 6 项和等于( (A)12 (B)24 (C)36 (D)48 5. 已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于 A.18 B.27 C.36 D.45 (

2 6.在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ≥ 2) ,则 S2n?1 ? 4n ?

A. ?2 B. 0 C. 1 D. 2 7.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则 a 4 = ( ) A、8 B、7 C、6 D、5 8. 已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26。 {an } 的前 n 项和为 Sn 。 求 an 及 Sn

9. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S n ? 10n ? n ,求数列 an 的前 n 项和 Tn 。
2

? ?

2.5 等比数列及前 n 项和 (一)教学目标 1、理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式; 2、掌握等比数列的前 n 项和公式,并用公式解决实际问题 (二)教学重、难点 重点:等比数列的定义和通项公式 难点:等比数列前 n 项和公式的推导 (三)教学过程: 观察四个数列:①1, 2, 4, 8, ?
2 3

②1,

1 1 1 , , ,? 2 4 8

③1,20 ,20 ,20 ,? 2 3 4 5 ④10000×1.0198,10000×1.0198 ,10000×1.0198 10000×1.0198 ,10000×1.0198 提出问题:1、这些数列有什么特征? 2、总结归纳等比数列的定义,写出其通项公式。 课堂讨论: 得出结论: 1、可知这些数列的共同特点:从第 2 项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数. 2、等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一 常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q ≠0)归纳等比数列公式: an ? a1q n?1 (q≠0) 注意:首项和公比均不为 0

3、等比中项:与等差中项类似,如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那 2 么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这时,a,b 一定同号,G =ab 4、前 n 项和公式:一般地,对于等比数列 a1,a2,a3,. an,.. .., . 它的前 n 项和是 . S n = a1+a2+a3+..+an

当q≠1时,

a ? an q a1 (1 ? q n ) = 1 (q≠1) Sn = 1? q 1? q

当 q=1 时,等比数列的前 n 项和公式为 S n ? na1 如果已知 a1, an,q,n, S n 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 例题分析: 例 1、某种放射性物质不断变化为其它物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%.这 种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)?

例 2、在等比数列 {an } 中, (1) a4 ? 1, a7 ? 8 ,求 an ; (2) a2 ? a5 ? 18, a3 ? a6 ? 9, an ? 1 ,求 n。

例 3、在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 8 ,求 an 。

例 4、在等比数列 {an } 中, (1) S 2 ? 30, S 3 ? 155,求 S n 。 (2) a1 ? a 3 ? 10, a 4 ? a 6 ?

5 ,求 S n 。 4

例 5、在等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a4 ? 8, bn ? an?1 ? an 。 (1)证明: ?bn ? 是等比数列。 (2)求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和。

拔高练习:在数列 {an } 中,

a1 ? 2, a2 ? 3, 且?an ? an?1 ?是以3为公比的等比数列。记 n ? a2n?1 ? a2n , n ? N * b
(1) 分别求 a3 , a4 , a5 , a6 。 (2)求证: ?bn ? 是等比数列。

课堂小结: 1、等比数列的首项和公比都不为 0, 2、分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列 3、等比数列的前 n 项和公式中要求 q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子 4、如果已知 a1, an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 课后思考:求 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3 n ?1

的和。

2.6 等比数列的性质及应用 (一)教学目标 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前 n 项和; 2. 掌握等比数列的性质。 (二)教学重、难点 重点:掌握等差比列的性质。 难点:等比数列的应用。 (三)教学过程 等比数列的判断,通项公式和前 n 项和的公式以及等比数列的有关性质的应用. 1.等比数列的判断:
{a n } 是等比数列 ?

a n ?1 2 ; ? q( q 为非零常数) {a n } 是等比数列 ? an?1 ? an ? an?2 an

2.等比数列的有关性质 ⑴.涉及等比数列的基本概念的问题,常用基本量 a1 , q , n, an , sn 来处理; ⑵.已知三个数成等比数列时,可设这三个数依次为 a, aq, aq 或 ⑶.等比数列的相关性质: n ?m 1 ; ○若 {a n } 是等比数列,则 an ? am ? q
* 2 ○若 {a n } 是等比数列, m, n, p, q ? N ,当m ? n ? p ? q时,am ? an ? a p ? aq

2

a , a, aq; q

2 当 m + n = 2p 时, am ? an ? a p .

3 ○

若 {a n } 是等比数列,Sn 是 {a n } 的前 n 项和,则 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m?成等比数

列,新公比是 q m . 4 ○两个等比数列 {an } 与 {bn } 的积、商、倒数的数列 {an ? bn } 、 ? 数列. 例题精讲: 例 1、 ( 1 ) 已 知 数 列 {an } 是 等 比 数 列 , 且 an >0 , n ? N , a3a5 ? 2a4 a6 ? a5a7 ? 81 , 则
*

? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为等比 ? bn ? ? b n ?

a4 ? a6 ?
(2)在 是



8 27 和 之 间 插 入 三 个数 , 使 五 个 数 成 等比 数列 , 则 插 入 的 三 个数 的乘 积 3 2
. 。

(3)在等比数列 {a n } 中, a1 = 1, a10 = 3, 则 a2 ? a3 ? ?a8 ? a9

(4)设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的 值为

例 2、若 S n 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 S1 , S2 , S4 的公比。(Ⅱ)若 S2 ? 4 ,求 ?an ? 的通项公式.

例 3、已知 {an } 为等比数列, a 3 = 2, a2 + a 4 =

20 , 求 {an } 的通项公式. 3

例 4、已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (2n ? 1)2n ?1 ,求其前 n 项和。.

拔高练习:已知等差数列 ?an ? 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? (4 ? an )3n ?1, 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn 。

2.7 求数列通项公式
教学目标: 1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义, 2、了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项, 3、理解 an 与 Sn 的关系,求数列的通项公式。 重点内容 1.数列的有关概念; 通项公式:如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表达,那 么这个公式就叫做数列的通项公式,可以记为 an=f(n).数列的前 n 项和:数列{an}的前 n 项之和,叫做数列的前 n 项和,常用 Sn 表示. 2、数列的表示方法: (1)列举法; (2)图象法; (3)解析法; (4)递推法. 3、 an 与 Sn 的关系: an ? ?

(n ? 1) ?S1 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

4、递推是认识数列的重要手段,递推公式是确定数列的一种方式,根据数列的递推关系 写出数列. 如何求一般数列的通项公式是学习数列的重要内容。在此介绍几种常见数列通项公式的一 般求法。 一、公式法:形如 an?1 ? an ? d (d为常数)或 n?1 ? kan k ? 0,an ? 0) 的数列,则 a ( 可直接代入等差或等比数列的通项公式求之。 二、观察法:已知数列的前几项,通过观察写出数列的一个通项公式。这种类型需要观察 推理,找规律,归纳总结得出结论。 1 1 9 17 33 , ,? ,? 的一个通项公式。 1、写出数列 ? 1, ,? 2 3 3 35 63 99 4 5 6 2、将全体正整数排成一个三角形数阵: 7 8 9 10 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 11 12 13 14 15 三、知前 n 项的和求 an : ?????? 类型 1:形如 sn ? f (n)求an 。主要考察 an 与s n 之间的关系:当 n ? 1 时 a1 ? s1 ,当 n ? 2 时 an ? sn ? sn?1 解此类问题关键是首项是否满足通项公式,需要验证。
2 1 ○ S n = 2n - 3n

3、已知下面各数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 ?an ? 的通项公式: , 2 ○ Sn

= 3n - 2

4、已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an 2 ? 5an ? 6, 求数列 ?an ? 的通项 an .

类型 2:形如 c1a1

? c2 a2 ? c3 a3 ? ? ? cn an ? f (n)

? 其中 c1、c2、 cn 是系数。

5、已知数列 ?an ? 满足 a1

? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? n3 ? n ,求 an 。

四、知前

6、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? n 2 ,求 an 。

n 项的积求 an

五、知 an 与s n 的递推关系求 an 。知 an 与s n 的递推关系有两种转化方向,可以利用

an?1 ? sn?1 ? sn 转化为 an与an?1 的递推,也可以转化为 sn与sn?1 的递推,先求 sn 再利用 an 与s n 的关系求 an 。注意 n ? 1 时 a1 是否满足通项。 7、 已知数列 ?an ? 中, sn 是其前 n 项和, a1 ? ?2 且 an?1 ? s n ,求 an 。

六、 知 an与an?1 的递推关系求 an 类型一、累加法 形如: an?1 ? an ? f (n) 8、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时 类型二、累乘法 形如: an?1 ? an ? f (n) 9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ? an ?1 ? n ,求 an 。

n a n ,求 an 。 n ?1

类型三、构造等差、等比数列 形如: an?1 ? Aan ? f (n) (A 为常数) 10、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时 an

? 3an ?1 ? 2 ,求 an 。

11、在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n?1 ,求 an 。 课后思考:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ).
*

(I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列;

(II)求数列 ?an ? 的通项公式;

2.8 求数列前 n 项和 教学目标: 1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的求和公式. 重点内容: 1、基本公式法: 1 ○等差、等比数列的前 n 项和公式; 2 ○ 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 6 n ? n ? 1?? 2n ? 1?

1

2、倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,产生相同的因式,以 达到求和的目的。 3、错位相减法:给 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 各边同乘以一个适当的数或式,然后把所得的等 一般适应于数列 ?anbn ? 的前 n 向求和,其中 ?an ? 成等差数列, ?bn ? 成等比数列。 4、裂项法:将数列的各项均分拆成两项的差,而后和式子中的一些项相互抵消,以达到 求和的目的。 常见的裂项途径有:○若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则 1 2 ○ 式和原等式相减,最后得出前 n 项和 Sn.

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? an an ?1 d ? an an ?1 ?

1 1 ? a ? b a ?b

?

a? b ;

?

3 ○ an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2?

5、分组求和法:将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列,然后利用公式法求和。 6.并项求和:将数列相邻的若干项合并,或奇数项与偶数项合并,从而将数列转化为特 殊数列求和。例题分析: 例 1.求下列数列的前 n 项和 Sn :

1 1 1 1 1 , , ,?, ,? ; (2) an ? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) n ? n ?1 2 3 n (3) a, 2a ,3a ,?, na ,?; (4) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),? ;
(1)

例 2. 设正项等比数列 {an } 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,且 2

210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 (1)求 an 的表达式; (2)求数列 ?nSn ?的前 n 项和。

例 3. 已知数列 {an } 的通项公式 an ? ?4n ? 30,求 a1 ?? ? an 的值。

例 4.设 f ( x) ?

4x 1 2 3 1998 , 求和f ( )? f( )? f( ) ?? f ( ) x 1999 1999 1999 1999 4 ?2

例 5.已知数列 {an } 的前项和 n 为 Sn ,且满足 an ? 2S n ? S n ?1 ? 0 ? n ? 2 ? a1 ? 1 ○ 求证: ?

1 。 2

?1? 2 ? 是等差数列;○求 an 的表达式; ? Sn ?

3 ○若 bn ? 2(1? n) ? an (n ? 2),求证:b22 ? b32 ??? bn2 ? 1.

例 6、已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn ? an ? 2 n ,求数列{bn}前 n 项和的公式.

数列习题课 1、 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列,Sn 是 ?an ? 的前 n 项和, 9S3 ? S6 . ? 且 则 项和为( A. ) .

?1? ? 的前 5 ? an ?

15 或5 8
4

B.

31 或5 16

C.

31 16
4

D.

15 8
4

2、数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1 =3Sn(n ≥1) ,则 a6= (A)3 × 4 则 a8 ? (A)0 (B)3 × 4 +1
4

(C)4

(D)4 +1

3、数列 {an } 的首项为 3,{bn } 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N*) ,若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 , (B)3 (C)8 (D)11

4、设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ? (A) 8 (B) 7
n

(C) 6

(D) 5

5、若等比数列{an}满足 anan+1=16 ,则公比为 A.2 B.4

C.8

D.16 )

6、设{ an }为等差数列,公差 d = -2, Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22 D.24

7、已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? S m ? S n?m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? A.1 B.9 C.10
n

D.55

8、若数列 an ? 的通项公式是 an ? (?1) ? (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? (A) 15 (B) 12 (C )

?

???

(D) ???

7、在等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________ 8、Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=____________. 9、设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 10、设 Sn 是等差数列 {an }(n ? N * ) 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S5 ? ______ 11、已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? .

12、等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ? 13 、 在 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a1 ?

.

1 , a4 ? ?4 , 则 公 比 q ? ________ ; 2

| a1 | ? | a2 | ??? | an |? ________.
14、设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 Sn

15、已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值。

16、设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。

17、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

?a ? (II)求数列 ? nn ? 的前 n 项和. ?1 ?2 ?

18、成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数 列? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。

(I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S
n

,求证:数列 ? S n ?

? ?

5? ? 是等比数列。 4?

19、设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ?1. 1 ? an?1 1 ? an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1 .

3.1 不等关系与不等式
教学目标 1.使学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容。 2.学习不等式的简单性质。 教学重、难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系理解不等式(组)对于刻画不等关系的 意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 教学过程: 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则 d≤ AB 。 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。根据市场调查,若单价每提 高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元? “销售的总收入不低于 20 万元”可以表示为不等式 ? 8 ?

? ?

x ? 2.5 ? ? 0.2 ? x ≥20 0.1 ?

3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种, 按照生产的要求, 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢? 分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等 关系:

?500 x ? 600 y ? 4000 ?3 x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
不等式的性质 从实数的基本性质出发,可以证明下列常用的不等式的基本性质: (1)如果 a ? b ,那么 b ? a ;如果 b ? a ,那么 a ? b 。即: a ? b ? b ? a (2) a ? b, b ? c ? a ? c (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (5)如果 a ? b, c ? d ,那么 a ? c ? b ? d 。 (6)如果 a ? b ? 0, c ? d ? 0, 那么 ac ? bd 。 (7)如果 a ? b ? 0, 那么 a ? b , (n ? N , n ? 2)
n n

(8)如果 a ? b ? 0, 那么 n a ? n b , (n ? N , n ? 2) 例题详解: 例 1、证明:如果 a ? b, ab ? 0, 则

1 1 ? 。 a b

例 2、已知 x ? R, m ? R,比较x 2 ? x ? 1与 - 2m 2 ? 2mx的大小。

总结:作差-变形-定号-结论 练习:设 a ? R, 且a ? ?1 ,试比较

1 与1 ? a的大小 。 1? a

例 3、若 a ? 0 ? b ? ?a, c ? d ? 0, 则下列命题成立的有: (1) ad ? bc , (2)

a b ? ? 0 ,(3) a ? c ? b ? d ,(4) a(d ? c) ? b(d ? c) d c

例 4、已知 f ( x) ? ax2 ? c, 且 ? 4 ? f (1) ? ?1,?1 ? f (2) ? 5, 求 f (3) 的取值范围。

例 5、已知 m ? R, a ? b ? 1, f ( x) ?

mx ,试比较 f (a)与f (b) 的大小。 x ?1

[小结]:1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系; 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系;

3 课后思考: 若二次函数 y ? f (x) 的图像过原点, 1 ? f (?1) ? 2 , ? f (1) ? 4 , f (?2) 且 求
的取值范围。

3.2 一元二次不等式及其解法
教学目标: 1.了解一元二次不等式,解一元二次不等式; 2.应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题; 教学重、难点: 重点:一元二次不等式的解法,突出体现数形结合的思想; 难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 教学过程: 象关于 x 的不等式, x ? 5x ? 0 ,把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,成为一元二次不等式。
2

首先考察不等式 x ? 5x ? 0 与二次函数 y ? x2 ? 5x 以及一元二次方程 x ? 5x ? 0 的关 系。 例题精讲:
2 2

例 1、求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集。
2

例 2、求不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集。
2

例 3、解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0, (a ? R)

例 4、解不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0

例 5、解不等式 ( x ? 1)(x ? 6 x ? 8) ? 0
2 2

例 6、解关于 x 的不等式

2x ? 1 ? 1。 x?2

例 7、解不等式

3 x 2 ? 7 x ? 14 ?2 x 2 ? 3x ? 4

例 8、解关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 0 。

例 9、解关于 x 的不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 4

例 10、关于 x 的不等式 (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2 2

例 11、已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 (?
2

1 1 , ) ,解不等式 2 x 2 ? bx ? a ? 0 。 2 3

总结归纳: 上 述 方 法 可 以 推 广 到 求 一 般 的 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 或
2

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集:
1、开口方向;2、判别式:可分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况来讨论;3、根的大小 课后练习: 1、解关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 。
2 2

x?2 ? 0。 3 ? 2x 3、解关于 x 的不等式 x ? 2 ? 4.
2、解关于 x 的不等式

3.3 二元一次不等式(组)与平面区域
教学目标 1:了解二元一次不等式组的相关概念, 2、能画出二元一次不等式(组)来表示的平面区域 教学重点:灵活运用二元一次不等式(组)来表示的平面区域 教学难点: 如何确定不等式 Ax ? By ? C ? 0(或<0)表示 Ax ? By ? C ? 0 的哪一侧区域 教学过程 提问:根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题.

, ? x ? y ? 25000000 ?12x ? 10 y ? 3000000 ? ? x ? 0, ? ? y?0 ?

这是关于 x,y 的二元一次不等式组,表示什么呢?

引出:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对 (x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成直角坐标平面内 点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合. 提问: 一元一次不等式 (组) 的解集可以表示为数轴上的区间。 二元一次不等式 x ? y ? 6 所表示的图形? 结论:一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示 Ax ? By ? C ? 0 某侧所有点组成的平面区域 .我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示区域时则包括边界,把边界画成实线. 例 1、画出 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域。 变式 1: y ? x 例 2、用平面区域表示不等式组。

? y ? ?3x ? 12 的解集 ? ? x ? 2y ? x ? y ? 5 ? 0, ? 变式 1: ? x ? y ? 0, ? x?3 ?
变式 2、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区域 例 3、画出不等式组 ?

?y ? 2 ? x ? y ? x ?1

表示的平面区域并求其面积。

课堂总结 (1) 画出二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0(? 0) 在平面区域中表示的图形 (2) 注意如何表示边界

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 课后练习:画出不等式组 ?2 x ? y ? 5 ? 0, 表示的平面区域并求其面积。 ? y? x?2 ?

3.4 简单的线性规划问题
教学目标 1、了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等 概念; 2、了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值 教学重点:线性规划的图解法 教学难点:寻求线性规划问题的最优解 教学过程 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,由已知条件可的二元一次不等式组:

?x ? 2 y ? 8, ? 4x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, 将上述不等式组表示成平面上的区域,如图中阴影部分的整点。 ? x ?0 ? ? y ?0 ?
若生产一件甲产品获利 2 万元, 生产一件乙产品获利 3 万元, 采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样,上述问题就转化 为:当 x、y 满足不等式※并且为非负整数时,z 的最大值是多少? ① 变形:把 z ? 2x ? 3 y 转变为y ? ?

2 z x? , 3 3

这是斜率为 ? ,在y轴上的截距为 的直线 ;当 z 变化时,可以得到一组互相平行的

2 3

z 3

2 z x ? 与不等式组确定 的平面区域内有公共点时,在区域内找一 3 3 z 个点 P,使直线经点 P 时截距 最大 3
直线;当直线y ? ? ② 平移:通过平移找到满足上述条件的直线 ③ 表述:找到点 M(4,2)后,求出对应的截距及 z 的值 概念引入:填空:

?x ? 2 y ? 8, ? 4x ? 16, ? ? 式中变量 x、 满足上面不等式组, y 则不等式组叫做变量 x、 ? 4 y ? 12, 若 z ? 2x ? 3 y , ? x ?0 ? ? y ?0 ?
y的 ,z ? 2x ? 3 y 叫做 ; 又因为这里的 z ? 2x ? 3 y 是关于变量 x、

y 的一次解析式,所以又称为 所有可行解组成的集合叫做 获得最大利润?

。满足线性约束条件的解叫做 ;其中使目标函数取得最大值的可行解叫做

,由 。

变式:若生产一件甲产品获利 3 万元,生产一件乙产品获利 2 万元,问如何安排生产才能

? x ? 4 y ? ?3 ? 例1、 设 z ? 2x ? y ,式中变量 x、y 满足下列条件 ?3x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最 ? x ?1 ?
小值。

做题步骤: ① 指出线性约束条件和线性目标函数 ② 画出可行域的图形 ③ 平移直线 y ? ?2x ? z ,在可行域内找到最优解 ④ 求出最优解,求出目标函数的最值。 提问:你能找出最优解和可行域之间的关系吗?

变式:在上例的约束条件下求: (1)目标函数改为 z ? x ? y ,求 z 的最大值和最小值
2 2

(2)目标函数改为 z ?

y ,求 z 的最大值和最小值 x

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 例 2、变量 x、y 满足下列条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 ,求: ? x ? 0, y ? 0 ?
(1) z ? 3x ? 2 y 的最大值 (2) z ? 3x ? y 的最值 (3) z ? 2 x ? y 的取值范围 (4) z ? x ? 2 y 的最大值,并指出最优解。

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 3、变量 x、y 满足下列条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
2 2 在约束条件下求: (1) z ? x ? y ? 10y ? 25的最小值; (2) z ?

y ?1 的范围。 x ?1

归纳总结: 了解线性规划问题的有关概念,掌握线性规划问题的图解法,懂得寻求实际问题的最优解

?x ? 3 y ? 4 ? 0 ? 2 2 课后思考:已知约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,且目标函数 z ? a x ? (a ? 2 ? a ) y 取得最小 ?3 x ? y ? 8 ? 0 ?
值的最优解唯一,为 ( 2,2) ,求 a 的取值范围。

3.5 线性规划问题习题课
?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 1、满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ? x ? 0, ?y ? 0 ? 3 (A)1. (B) . (C)2. (D)3. 2

( )

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 2、若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? my ? 1 ? 0, ?
(A) ?2 (B) ?1 (C)1 (D)2

? x ? ?1 ? 3、若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
x

? x ? y ? 11 ? 0 ? 4、设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的图像上存在

区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,2] (B )[2,3] (C ) (1,3] (D )[ 3, ?? ]

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 5、设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大 ? x ? 0, y ? 0 ?
值为 12,则

2 3 ? 的最小值为( a b 25 8 A. B. 6 3

). C.

11 3

D. 4 .

6、已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是

7、若点 p(m,3)到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4,且点 p 在不等式 2x ? y <3 表示的 平面区域内,则 m= 。

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8、设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 ?x ? 0 , y ? 0 ?
为 8,则 a ? b 的最小值为________。

?3 x ? 2 y ? 10 ? x ? 4 y ? 11 ? 9、变量 x、y 满足下列条件 ? ,求 z ? 5 x ? 4 y 的最大值。 ? x, y ? Z ? x ? 0, y ? 0 ?
?x ? y ? 3 ? 0 ? 10、目标函数 z ? 3x ? 2 y ,在约束条件下 ?2 x ? y ? 0 ,下取得最大值时的最优解只有 ?y ? a ?
一个,求实数 a 的取值范围。

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 11、变量 x、y 满足下列条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,求下列函数的最值。 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
(1) z ?

y ?1 x?2

(2) z ? x ? 2 y ? 4

?5 x ? 3 y ? 15 ? 12、 x, y ,满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,目标函数为 z ? ax ? 5 y ,如果 z 在可行域点 ?x ? 5 y ? 3 ?
3 5 A( , ) 处取得最大值,求实数 a 的取值范围。如果目标函数取得最大值是的最优解有无 2 2
穷多个,求实数 a 的值。

3.6 基本不等式
教学目标 1、 理解两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍的不等式的证明; 2、 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释 教学重点:两个不等式的证明和区别 教学难点:理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程 提问:教材上在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三角形的长为 a 、 b ,那 么正方形的边长为多少?面积为多少呢?那 4 个直角三角形的面积和呢?什么时候这两部 分面积相等呢? 观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式,

a 2 ? b 2 ? 2ab 。
当直角三角形变成等腰直角三角形,即 a ? b 时,正方形 EFGH 变成一个点,这时有

a 2 ? b 2 ? 2ab
新课讲授
2 2 一般地,对于任意实数 a 、 b ,我们有 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。

证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b )2 ,当a ? b时, ? b )2 ? 0,当a ? b时,a ? b )2 ? 0, (a ( 所以

a 2 ? b 2 ? 2ab

2 2 注意强调 当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2ab

特别地,如果 a ? 0,b ? 0, 用 a和 b 分别代替a、b , 可得a ?b ? 2 ab , 也可写成: ab ? 要证:

a ?b (a ? 0, b ? 0) , 2


a ?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2 a ?b ? 即证 a ?b ? 要证②,只要证
要证③,只要证 ( -

?0
)
2

② ③

?0



显然, ④是成立的,当且仅当 a ? b 时, ④的等号成立 几何意义: 强调:一正,二定,三相等。

已知 x、y都是正数,求证: ① 如果积 xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p ② 如果和

1 x ? y 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 S 2 4

拓展: a, b ? R ? ,则

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

例 1、求下列函数的最值 (1) y ?

x 5 ? ,x ? 0 5 x

(2) y ? lg x ?

1 , (0 ? x ? 1) lg x

(3) y ? 3 x ? 3? x

(4) y ? sin x ?

1 ? ?? , x ? ? 0, ? sin x ? 2?

例 2、 (1) x ? y ? 2且x, y ? R ? ,求 y ? x 2 ? y 2 的最小值。 (2) 2 x ? y ? 1, 且x, y ? R ? ,求 Z ? xy 的最大值。 (3) 2 x ? y ? 20, 且x, y ? R ? ,求 z ? lg x ? lg y 的最小值。 例 3、求函数 f ( x ) ? x ?

k , (k ? 0) 的值域。 x

例 4、 (1)设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

(2)设 x ? 0, y ? 0, 且2 x ? 8 y ? xy, 求x ? y 的最小值。

归纳总结 比较两个重要不等式的联系和区别,一正,二定,三相等的检验。 课后思考:若 x ? 0, 求x ?

1 的最大值 x

3.7 基本不等式应用
例 1、已知 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: (

1 1 1 ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 。 a b c

变式:已知 a, b 为正实数,且 a ? b ? 1 ,求证: (

1 1 25 ? a)( ? b) ? a b 4

例 2、证明: a ? b ? c ? ab ? ac ? bc
2 2 2

变式:已知 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: ab ? ac ? bc ? 1

例 3、 (1)已知 x ? 0, y ? 0, 且

1 9 ? ? 1, 求x ? y的最小值。 x y

12 ? 3x的最小值。 x 4 ? x的最大值。 (3)已知 x ? 3, 求f ( x) ? x?3
(2)已知 x ? 0, 求f ( x) ?

例 4、 (1)若 x ? 0, a, b ? ?0,?? ?, 求f ( x) ? ax ?

b 的最小值。 x b (2)若 x ? 0, a, b ? ?0,?? ?, 求f ( x) ? ax ? 的最大值。 x

例 5、设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值

例 6、设 a, b ? R ? ,且 0 ? x ? 1 ,求证:

a b ? ? ( a ? b)2 x 1? x

变式 1:设 a, b ? R ? , a ? 2b ? 1 ,求 t ? 变式 2:已知 x ? 0 ,求函数 y ? 3 x ?

1 1 ? 的最小值。 a b

12 的最小值。 x2

练习: 1、对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac ? bc ;
2 2

② 若ac ? bc , 则a ? b ;
2 2 2

③ 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b ;
2

④ 若a ? b ? 0, 则

1 1 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b
⑤ 若a ? b ? 0, 则 其中正确的命题是______ 2、已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ 3、已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则
x y

c 的取值范围是_____ a

4、若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______

1 1 ? 的最小值为______ x y 6、如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________ 1 1 1 7、已知 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证; ? ? ? 9 a b c
5、正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

3.8 不等式的恒成立,能成立
恒成立问题 1、变量分离后,转化为最值问题; 2、直接去求函数的最值; 3、若是二次函数可以用根的分布来做。

若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A

若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B (1)设实数 x, y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是______ (2)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____; (3)若不等式 2 x ?1 ? m( x 2 ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围_____
2 (4)若不等式 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.

变式:设 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,当 x ? ?? 1,??? 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值 范围。

(5)求使不等式 x 2 ? (a ? 6) x ? 9 ? 3a ? 0 ,当 a ? 1 时恒成立的 x 的取值范围。

能成立问题 若在区间 D 上存在实数

f ? x ?max ? A ;
若在区间 D 上存在实数

x 使 不 等 式 f ?x ? ? A 成 立 , 则 等 价 于 在 区 间 D x 使 不 等 式 f ?x ? ? B 成 立 , 则 等 价 于 在 区 间 D





f ? x ?min ? B .

例 1、已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。 例 2、若存在实数 a ? ? ,3? ,使不等式 ax ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 成立,求实数 x 的取值范围。 1
2

例 3、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, f (?1) ? 0 ,是否存在常数 a, b, c 使关于 x 的不等式
2

x ? f ( x) ?

1 2 ( x ? 1) 对一切实数 x 都成立。 2

不等式习题课
? y ? 2x ? 0 ? 1.满足条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 的可行域中共有整点的个数为( ?5 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?
A.3 B.4 C.5 2.下列函数中,最小值为 4 的函数是( ) 4 4 A.y=x+ B.y=sinx+ (0<x<π) x sinx 3.下面的四个点中,到直线 x-y+1=0 的距离为 区域内的是( A.(1,1) ) B.(-1,1)
x y

) D.6

C.y=ex+4e

-x

D.y=log3x+logx81

? ?x+y-1<0, 2 ,且位于? 表示的平面 2 ?x-y+1>0 ?

C.(-1,-1) D.(1,-1) 1 1 4.设 x,y∈R,a>1,b>1.若 a =b =3,a+b=2 3,则 + 的最大值为( ) x y 3 1 A.2 B. C.1 D. 2 2

?x ? 0 ? 5.不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域的面积等于( ?3 x ? y ? 4 ?
3 A. 2

)

2 4 3 B. C. D. 3 3 4 1 a 6.已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y ( A.2 B.4 C.6 ( ) D.8 )

?2x+y≥4, ? 7.设 x,y 满足?x-y≥-1, ?x-2y≤2, ?

则 z=x+y

A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 8.已知 a、b∈R,a+b+a2+b2=24,则 a+b 的取值范围是________. 6.点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是________.

? ??x-2y+5≥0? ? ? 7.设 m 为实数,若?(x,y)??3-x≥0 ? ?mx+y≥0 ? ? ? ??

?{(x,y)|x2+y2≤25},则 m 的取值范

围是________. 8.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租 赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元.

9.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食 物各 x 千克、y 千克、z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位 维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (2)确定 x,y,z 的值,使成本最低.

10、设 a ? R ,二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 2a 。设不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A,又知集 合 B ? x 1 ? x ? 3 , A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

?

?

2 x?4 11、设 f ( x) ? x 。 (1)求 f (x) 的最大值; 4 ?8
(2)证明:对任意的实数 a, b 恒有 f (a) ? b ? 3b ?
2

21 4

12、 已知 x ? 0, y ? 0, 且2 x ? 8 y ? xy ? 0, 求x ? y的最小值。

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