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【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习第1部分专题2突破点4等差数列等比数列Word版含解析


专题二
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高考点拨]

数列专题是高考的必考专题之一, 主要考查等差、 等比数列的基本

量运算及数列求和的能力,该部分即可单独命题,又可与其他专题综合命题,考查 方式灵活多样, 结合近几年高考命题研究, 为此本专题我们按照“等差、 等比数列” 和“数列求和”两条主线展开分析和预测.

突破点 4

等差数列、等比数列

提炼 1

等差数列、等比数列的运算

(1)通项公式 等差数列:an=a1+(n-1)d; 等比数列:an=a1· qn-1. (2)求和公式 n?a1+an? n?n-1? 等差数列:Sn= = na 1+ 2 2 d; a1?1-qn? a1-anq 等比数列:Sn= = (q≠1). 1-q 1-q (3)性质
1

若 m+n=p+q, 在等差数列中 am+an=ap+aq; 在等比数列中 am· an=ap· aq. 提炼 2 等差数列、等比数列的判定与证明 数列{an}是等差数列或等比数列

的证明方法: (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ①利用定义,证明 an+1-an(n∈N*)为同一常数; ②利用中项性质,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2). (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法 an+1 ①利用定义,证明 a (n∈N*)为同一常数; n ②利用等比中项,即证明 a2 n=an-1an+1(n≥2). 提炼 3 数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相

应的函数 f(n)=an,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要 注意自变量的取值必须是正整数的限制. (2)利用数列的单调性求解, 利用不等式 an+1≥an(或 an+1≤an)求解出 n 的取值范 围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值. (3)转化为关于 n 的不等式组求解,若求数列{an}的最大项,则可解不等式组 ?an≥an-1, ?an≤an-1, ? 若求数列{an}的最小项, 则可解不等式组? 求出 n 的取值范 ?an≥an+1; ?an≤an+1, 围之后,再确定取得最值的项.

回访 1

等差数列基本量的运算

1.(2015· 全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10=( 17 A. 2 C.10 B ∵公差为 1, ) 19 B. 2 D.12

8×?8-1? ∴S8=8a1+ ×1=8a1+28,S4=4a1+6. 2 ∵S8=4S4,
2

1 ∴8a1+28=4(4a1+6),解得 a1=2, 1 19 ∴a10=a1+9d=2+9= 2 .故选 B.] 2.(2015· 全国卷Ⅱ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5 =( ) A.5 C.9 A B.7 D.11 法一:∵a1+a5=2a3,∴a1+a3+a5=3a3=3,∴a3=1,

5?a1+a5? ∴S5= =5a3=5,故选 A. 2 法二:∵a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3,∴a1+2d=1, 5×4 ∴S5=5a1+ 2 d=5(a1+2d)=5,故选 A.] 3.(2014· 全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an} 的前 n 项和 Sn=( A.n(n+1) C. A n?n+1? 2 ) B.n(n-1) D. n?n-1? 2

2 由 a2,a4,a8 成等比数列,得 a2 4=a2a8,即(a1+6) =(a1+2)(a1+14),∴a1

n?n-1? =2,∴Sn=2n+ 2 ×2=2n+n2-n=n(n+1).] 回访 2 等比数列基本量的运算 )

1 4. (2015· 全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=4, a3a5=4(a4-1), 则 a2=( A.2 1 C.2 C B.1 1 D.8
2 法一:∵a3a5=a2 4,a3a5=4(a4-1),∴a4=4(a4-1),

3 a4 2 ∴a2 4-4a4+4=0,∴a4=2.又∵q = = =8, a 1 1

4 1 1 ∴q=2,∴a2=a1q=4×2=2,故选 C. 法二:∵a3a5=4(a4-1),∴a1q2· a1q4=4(a1q3-1), 1 将 a1=4代入上式并整理,得 q6-16q3+64=0,
3

解得 q=2, 1 ∴a2=a1q= ,故选 C.] 2 5.(2015· 全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n=________. 6 ∵a1=2,an+1=2an,

∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 2?1-2n? 又∵Sn=126,∴ =126,∴n=6.] 1-2

热点题型 1

等差、等比数列的基本运算

题型分析:以等差(比)数列为载体,考查基本量的求解,体现方程思想的应用 是近几年高考命题的一个热点,题型以客观题为主,难度较小. (1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a3=30,S4=120,设 bn=1 +log3an,那么数列{bn}的前 15 项和为( A.152 C.80 B.135 D.16 )

(2)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2, S4 成等比数列,则 a1=( A.2 1 C.2 (1)B (2)D ) B.-2 1 D.-2 (1)设等比数列{an}的公比为 q,

由 a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90, 所以公比 q= a2+a4 30 =3,首项 a1= =3, a1+a3 1+q2

所以 an=3n,bn=1+log33n=1+n, 则数列{bn}是等差数列,前 15 项的和为 故选 B. (2)由题意知 S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6,因为 S1,S2,S4 成等比数列,
4

15×?2+16? =135, 2

1 所以 S2 S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得 a1=-2,故选 D.] 2=S1·

在等差(比)数列问题中最基本的量是首项 a1 和公差 d(公比 q),在解题时往往根 据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会 迎刃而解.这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法,这其中蕴含着方程思 想的运用. 提醒:应用等比数列前 n 项和公式时,务必注意公比 q 的取值范围. 变式训练 1] (1)已知在数列{an}中, a1=1, an+1=an+3, Sn 为{an}的前 n 项和,

若 Sn=51,则 n=__________. 5 5 (2)(名师押题)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=2,a2+a4=4,则 Sn an=________. (1)6 (2)2n-1 (1)由 a1=1,an+1=an+3,得 an+1-an=3,

所以数列{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列. n?n-1? 由 Sn=n+ 2 ×3=51, 即(3n+17)(n-6)=0, 17 解得 n=6 或 n=- 3 (舍). 5 a2+a4 4 1 (2)∵q= = = , a1+a3 5 2 2 1 5 ∴a1+a3=a1+a1×4=2, 解得 a1=2, ?1? - 4 ∴an=2×?2?n 1=2n, ? ? ? ?1? ? 2×?1-?2?n? ? ? ?? ∴Sn= 1 1-2 1? ? =4?1-2n?, ? ?

5

1? ? 4?1-2n? ? n Sn ? ∴a = =2 -1.] 4 n 2n 热点题型 2 等差、等比数列的基本性质

题型分析:该热点常与数列中基本量的运算综合考查,熟知等差(比)数列的基 本性质,可以大大提高解题效率. (1)(2016· 南昌一模)若等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 81 4 ,则前 4 项倒数的和为( ) 【导学号:85952020】 3 A.2 C.1 9 B.4 D.2

(2)(2015· 东北三校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0, S1 S2 S3 S15 则a ,a ,a ,?,a 中最大的项为(
1 2 3 15

)

S6 A.a 6 S8 C.a
8

S7 B.a
7

S9 D.a 9 (1)由题意得

(1)D (2)C

a1?1-q4? 1-q4 9 2 3 2 81 3 9 S4= =9,所以 =a .由 a1· a1q· a1q2· a1q3=(a1 q ) = 4 得 a2 1q = .由 2 1-q 1-q 1 1? 1? ?1-q4? a1? ? q4-1 1 9 9 等比数列的性质知该数列前 4 项倒数的和为 = = 3· = 2 3= 3 1 a1q ?q-1? a1q a1 a1q 1-q 2,故选 D. 15?a1+a15? 15×2a8 16?a1+a16? a8+a9 (2)由 S15= = = 15 a = 16 × 8>0,S16= 2 2 2 2 <0,可 得 a8>0,a9<0,d<0,故 Sn 最大为 S8.又 d<0,所以{an}单调递减,因为前 8 项中 Sn Sn S8 递增,所以 Sn 最大且 an 取最小正值时a 有最大值,即a 最大,故选 C.]
n 8

?Sn? 1.若{an},{bn}均是等差数列,Sn 是{an}的前 n 项和,则{man+kbn},? n ?仍为 ? ?

等差数列,其中 m,k 为常数.
6

2.若{an},{bn}均是等比数列,则{can}(c≠0),{|an|},{an· bn},{manbn}(m 为
?1? 2 常数),{an },?a ?仍为等比数列. ? n?

3.公比不为 1 的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变, 即 a2-a1,a3-a2,a4-a3,?成等比数列,且公比为 a3-a2 ?a2-a1?q = =q. a2-a1 a2-a1

4. (1)等比数列(q≠-1)中连续 k 项的和成等比数列, 即 Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, ? 成等比数列,其公比为 qk. (2)等差数列中连续 k 项的和成等差数列,即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?成等差数 列,公差为 k2d. an A2n-1 5.若 A2n-1,B2n-1 分别为等差数列{an},{bn}的前 2n-1 项的和,则b = . B2n-1 n 变式训练 2]
2 (1)(2016· 沈阳模拟)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a2-a7

+2a12=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b3b11 等于( A.16 C.4 B.8 D.2

)

(2)在等比数列{an}中, 已知 a1+a3=8, a5+a7=4, 则 a9+a11+a13+a15=( A.1 C.3 (1)A (2)C B.2 D.2 或 4 (1)∵{an}是等差数列,∴a2+a12=2a7,

)

2 ∴2a2-a7 +2a12=4a7-a2 7=0.又 a7≠0,∴a7=4. 2 又{bn}是等比数列,∴b3b11=b2 7=a7=16.

(2)∵{an}为等比数列,∴a5+a7 是 a1+a3 与 a9+a11 的等比中项,∴(a5+a7)2= ?a5+a7?2 42 (a1+a3)(a9+a11),故 a9+a11= = 8 =2. a1+a3 同理 a9+a11 是 a5+a7 与 a13+a15 的等比中项, ?a9+a11?2 22 ∴(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故 a13+a15= = 4 =1. a5+a7 ∴a9+a11+a13+a15=2+1=3.] 热点题型 3 等差、等比数列的证明

题型分析:该热点常以数列的递推关系为载体,考查学生的推理论证能力. (2016· 全国丙卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan,其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
7

31 (2)若 S5=32,求 λ. 解] (1)证明:由题意得 a1=S1=1+λa1, 1 ,故 a1≠0.1 分 1-λ

故 λ≠1,a1=

由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan, 即 an+1(λ-1)=λan.2 分 an+1 λ 由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,所以 a = .3 分 λ-1 n 1 λ 因此{an}是首项为 ,公比为 的等比数列,4 分 1-λ λ-1 1 ? λ ?n-1 ? ? .6 分 于是 an= 1-λ?λ-1? ? λ ? (2)由(1)得 Sn=1-?λ-1?n.8 分 ? ? 31 1 ? λ ? 31 ? λ ? 由 S5=32得 1-?λ-1?5=32,即?λ-1?5=32.10 分 ? ? ? ? 解得 λ=-1.12 分

判断或证明数列是否为等差或等比数列,一般是依据等差数列、等比数列的定 义,或利用等差中项、等比中项进行判断. 提醒:利用 a2 an-1(n≥2)来证明数列{an}为等比数列时,要注意数列中的 n=an+1· 各项均不为 0. 变式训练 3] (2014· 全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,

anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 解]
+2

(1)证明: 由题设知 anan+1=λSn-1, an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减得 an+1(an

-an)=λan+1,2 分 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ.4 分 (2)由题设知 a1=1,a1a2=λS1-1, 可得 a2=λ-1.5 分 由(1)知,a3=λ+1.6 分 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4.7 分
8

故 an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n -3.9 分 {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1.11 分 所以 an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列.12 分

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