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陕西省宝鸡市2015届高考数学三模试卷(理科)


陕西省宝鸡市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的) 1. (5 分)计算 A.﹣1+i (i 为虚数单位)等于() B.﹣1﹣i C.1﹣i D.1+i

2. (5 分)若平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y)且,则 A. B. C. 2

,则| |=() D.5
2

3. (5 分)设 a,b 为实数,命题甲:a<b<0,命题乙: ab>b ,则命题甲是命题乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,该四棱锥侧面积

等于() A.20 B. 5
2

C . 4(

+1)

D.4

5. (5 分)已知函数 f(x)= x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大致 是()

A.

B.

C.

D. 6. (5 分)阅读程序框图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中填入的语句为()

A.S=2*i 7. (5 分) (x +2) ( A.2
2

B.S=2*i﹣1
5

C.S=2*i﹣2

D.S=2*i+4

﹣1) 的展开式的常数项是() B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3

8. (5 分)某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作,每个地段至少有 1 名学生的分配 方案共有() A.60 种 B.90 种 C.150 种 D.240 种 9. (5 分)把函数 y=cos( 为() A.周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数
2

﹣2x)的图象向右平移

,得到函数 f(x)的图象,则函数 f(x)

B. 周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数

10. (5 分)设点 P 在曲线 y=x 上,点 Q 在直线 y=2x﹣2 上,则 PQ 的最小值为() A. B. C. D.

11. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为线段 PF 的中点,则双曲线的离心 率等于() A. B. C. D.

12. (5 分)若存在 x0∈N+,n∈N+,使 f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63 成立,则称(x0, n)为 函数 f(x)的一个“生成点”.已知函数 f(x)=2x+1,x∈N 的“生成点”坐标满足二次函 2 数 g(x)=ax +bx+c,则使函数 y=g(x)与 x 轴无交点的 a 的取值范围是() A.0<α< C . α< B. D.0<α< <α < 或 α>

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上 13. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 ,则 log2f(2)=.

14. (5 分)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离分别为 a 海里和 2a 海里,灯塔 A 在 观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 和 B 的距离为海里.

15. (5 分) 设 O 为坐标原点, 点 的最小值是.

, 若M (x, y) 满足不等式组

, 则

16. (5 分)已知数列{an}满足 a1=a,an+1=1+ a 的取值范围为.

,若对任意的自然数 n≥4,恒有 <an<2,则

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)函数 f(x)=cos(πx+φ) (0<φ< (Ⅰ)写出 φ 及图中 x0 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+f(x+ ) ,求函数 g(x)在区间 上的最大值和最小值. )的部分图象如图所示.

18. (12 分 )如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,AC=2, BD=2 ,E 是 PB 上任意一点. (Ⅰ)求证:AC⊥DE; (Ⅱ)已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为 角的正弦值. ,若 E 为 PB 的中点,求 EC 与平面 PAB 所成

19. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为

.设 P

是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ)求|PA| +|PB| 的最大值. 20. (12 分)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 (2)购买基金: 投资结果 获利 20% 概 率 (Ⅰ)当 p 时,求 q 的值;

不赔不赚

亏损 10% q

(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少 有一人获利的概率大于 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中 选择一种,已知 , ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期

望较大?给出结果并说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x+xlnx,h(x)=x﹣lnx﹣2 (Ⅰ)试判断方程 h(x)=0 在区间(1,+∞)上根的情况 (Ⅱ)若 k∈Z,且 f(x)>kx﹣k 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值 (Ⅲ)记 a1+a2+…+an= n∈N )
*

,若 ai=2ln2+3ln3+…+klnk(k>3,k∈N ) ,证明

*

<1(n>k,

【选修 4-1 几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)已知△ ABC 中,AB=AC,D 为△ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重 合) ,延长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F (1)求证:∠CDF=∠EDF; (2)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 P(x,y)在曲线 C: 上运动.以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 为参数,θ∈R) .

(Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求△ ABM 面积的最大 值.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.设实数 a,b 满足 2a+b=9. (i)若|9﹣b|+|a|<3,求 x 的取值范围; (ii)若 a,b>0,且 z=a b,求 z 的最大值.
2

陕西省宝鸡市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的) 1. (5 分)计算 A.﹣1+i (i 为虚数单位)等于() B.﹣1﹣i C.1﹣i D.1+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解: = =i﹣1.

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

2. (5 分)若平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y)且,则 A. B. C. 2

,则| |=() D.5

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过向量垂直数量积为 0 求出 y,然后求解向量的模. 解答: 解:平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y)且,则 可得﹣2+2y=0,解得 y=1, | |= = . ,

故选:B. 点评: 本题考查向量的数量积的应 用,向量垂直体积的应用,考查计 算能力. 3. (5 分)设 a,b 为实数,命题甲:a<b<0,命题乙:ab>b ,则命题甲是命题乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义进行判断即可. 2 解答: 解:由 a<b<0 能推出 ab>b ,是充分条件, 2 由 ab>b ,推不出 a<b<0,不是必要条件, 故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是一道基础题.
2

4. (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,该四棱锥侧面积

等于() A.20 B. 5 C . 4( +1) D.4

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,求出侧面的高 后,计算各个侧面的面积,相加可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 其底面棱长为 2, 高 h=2, 故侧面的侧高为 故该四棱锥侧面积 S=4× ×2× = =4 , ,

故选:D 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状.
2

5. (5 分)已知函数 f(x)= x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大致 是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由于 f(x)=x+cosx,得 f′(x)= x﹣sinx,由奇函数的定义得函数 f′(x)为奇函数, 其图象关于原点对称,排除 BD,取 x= 有 A 适合. 解答: 解:由于 f(x)=x+cosx, ∴f′(x)= x﹣sinx, ∴f′(﹣x)=﹣f′(x) ,故 f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD, 又当 x= 时,f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除 C,只有 A 适合, 代入 f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除 C,只

故选:A. 点评: 本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维 能力,同时考查导数的计算,属于中档题. 6. (5 分)阅读程序框图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中填入的语句为()

A.S=2*i

B.S=2*i﹣1

C.S=2*i﹣2

D.S=2*i+4

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 题目给出了输出的结果 i=5,让我们分析矩形框中应填的语句,根据判断框中内容, 即 s<10,我们模拟程序执行的过程,从而得到答案. 解答: 解:当空白矩形框中应填入的语句为 S=2*i 时, 程序在运行过程中各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前 1 0/ 第一圈 2 5 是

第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否 故输出的 i 值为:5,符合题意. 故选:A. 点评: 本题考查了程序框图中的当型循环,当型循环是当条件满足时进入循环体,不满足 条件算法结束,输出结果,属于基础题. 7. (5 分) (x +2) ( A.2
2

﹣1) 的展开式的常数项是() B. 3 C . ﹣2 D.﹣3

5

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: (x +2) (
2

﹣1) 的展开式的常数项是第一个因式取 x ,第二个因式取
5

5

2

;第一

个因式取 2,第二个因式取(﹣1) ,故可得结论. 解答: 解:第一个因式取 x ,第二个因式取
5 2

,可得
5

=5;

第一个因式取 2,第二个因式取(﹣1) ,可得 2×(﹣1) =﹣2 ∴(x +2) (
2

﹣1) 的展开式的常数项是 5+(﹣2)=3

5

故选 B. 点评: 本题考查二项式定理的运用,解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径. 8. (5 分)某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作,每个地段至少有 1 名学生的分配 方案共有() A.60 种 B.90 种 C.150 种 D.240 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 根据题意,分 2 步进行分析:①、先将 5 名学生分成 3 组,每组至少一人,分析可 得有 2,2,1 或 3,1,1 两种情况;分别求出每种情况的分组方法数目,再由分类计数原理可 3 得全部的分组方法数目,②、将分好的 3 组对应 3 个地段,有 A3 =6 种情况,进而由分步计 数原理计算可得答案. 解答: 解:分 2 步进行分析: ①、先将 5 名学生分成 3 组,每组至少一人,有 2,2,1 或 3,1,1 两种情况; 若分成 2,2,1 的三组,有 若分成 3,1,1 的三组,有 =15 种分组方法, =10 种分组方法,

则将 5 名学生分成 3 组,每组至少一人,有 15+10=25 种分组方法, 3 ②、将分好的 3 组对应 3 个地段,有 A3 =6 种情况,

故共有 25×6=150 种不同的分配方案. 故选:C 点评: 本题考查分步、分类计数原理的运用,分析本题要先分组,再对应三个地段进行全 排列,解题时注意排列、组合公式的灵活运用.

9. (5 分)把函数 y=cos( (x)为() A.周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数

﹣2x)的图象向右平移

,得到函数 f(x)的图象,则函数 f

B. 周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用诱导公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的周期性、 奇偶性,得出结论. 解答: 解:把函数 y=cos( =cos=cos(2x﹣ ﹣2x)=cos(2x﹣ )的图象向右平移 ,得到函数 f(x)

)=sin2x 的图象,

由于 f(x)是周期为 π 的奇函数, 故选:A. 点评: 本题主要考查诱导公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的周期性、 奇偶性,属于基础题. 10. (5 分)设点 P 在曲线 y=x 上,点 Q 在直线 y=2x﹣2 上,则 PQ 的最小值为() A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 点 P 在曲线 y=x 上,可设 P(m,m ) ,再由点到直线的距离公式,配方,由二次函 数的最值,即可得到所求值. 2 2 解答: 解:点 P 在曲线 y=x 上,可设 P(m,m ) , 则 P 到直线 y=2x﹣2 即 2x﹣y﹣2=0 的距离为 d= = ,
2 2

当 m=1 时,d 取得最小值,且为



故选 A. 点评: 本题考查抛物线的方程的运用,主要考查点到直线的距离公式的 运用,运用二次函 数的最值是解题的关键.

11. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为线段 PF 的中点,则双曲线的离心 率等于() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 右焦点为 F′,则 PF′=a,PF=3a,EF= a,利用勾股定理,即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:由题意,设右焦点为 F′,则 PF′=a,PF=3a, ∴EF= a,



=

a,

∴e= =



故选:C. 点评: 本 题考查双曲线的离心率,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于 基础题. 12. (5 分)若存在 x0∈N+,n∈N+,使 f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63 成立,则称(x0, n)为函数 f(x)的一个“生成点”.已知函数 f(x)=2x+1,x∈N 的“生成点”坐标满足二次函 2 数 g(x)=ax +bx+c,则使函数 y=g(x)与 x 轴无交点的 a 的取值范围是() A.0<α< C . α< B. D.0<α< <α < 或 α>

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据“生成点“的定义,求出(9,2) , (1,6)为函数 f(x)的一个“生成点”.根据函 数 f(x)=2x+1,x∈N 的“生成点”坐标满足二次函数 g(x)=ax +bx+c,可求出 a,b,c 的关 系,进而根据函数 y=g(x)与 x 轴无 交点,△ <0,求出 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)=2x+1,x∈N,满足: f(9)+f(10)+f(11)=63,故(9,2)为函数 f(x)的一个“生成点”. f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=63,故(1,6)为函数 f(x)的一个“生 成点”. 2 又∵函数 f(x)=2x+1,x∈N 的“生成点”坐标满足二次函数 g(x)=ax +bx+c, ∴81a+9b+c=2,a+b+c=6,
2

解得:b=﹣ ﹣10a,c=9a+



若函数 y=g(x)与 x 轴无交点, 则△ =b ﹣4ac=( 解得:
2

) ﹣4a(9a+ ,

2

)<0,

故选:B 点评: 本题考查的知识点是合情推理,二次函数的图象和性质,正确理解“生成点“的定义, 是解答的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上 13. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 ,则 log2f(2)= .

考点: 专题: 分析: 解答:

幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 计算题. α 可设幂函数 y=f(x)=x ,由题意可求得 α 的值,从而可得 f(2) ,可得答案. α 解:设幂函数 y=f(x)=x , , = ,

∵其图象过点 ∴f( )= ∴α= . ∴f(2)= = , = ,

∴log2f(2)=log2 故答案为: .

点评: 本题考查幂函数的概念与解析式,求得 α 的值是关键,考查待定系数法与计算能力, 属于基础题. 14. (5 分)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离分别为 a 海里和 2a 海里,灯塔 A 在 观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 和 B 的距离为 a 海里. 考点: 专题: 分析: 解答: 解三角形的实际应用. 应用题;解三角形. 先根据题意求得∠ACB,进而根据余弦定理求得 AB. 解:依题意知∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°, = = a.

在△ ABC 中,由余弦定理知 AB=

即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 故答案为: a

a.

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.余弦定理可以解决知道两个边和 1 个角来求令一 个边,属于基本知识的考查.

15. (5 分) 设 O 为坐标原点, 点 的最小值是 .

, 若M (x, y) 满足不等式组

, 则

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;平面向量及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化向量数量积为线性目标函数,数形结合得到最优解,求 出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 解答: 解:由约束条件 作出可行域如图,

∵ ∴ =

,M(x,y) , ,化为 , 过 A(1,1)时,目标函数有最小值,

由图可知,当直线 . 故答案为: .

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了平面向量的数量积,训练了数形结合的解题思 想方法,是中档题.

16. (5 分)已知数列{an}满足 a1=a,an+1=1+ a 的取值范围为(0,+∞) . 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的递推关系进行递推即可. 解答: 解:∵a1=a,an+1=1+ ∴a2=1+ = ,a3= ,a4= , ,

,若对任意的自然数 n≥4,恒有 <an<2,则

要使对任意的自然数 n≥4,恒有 <an<2, 则只需要 <1+ <2,即等价为 1<an﹣1<2,

当且仅当它的前一项 an﹣2 满足 1<an﹣2<2, ∴只需要 1<a4<2 都有 <an<2, (n≥5) , ∵a4= ,

∴满足 <

<2,即





,解得 a>0,

即 a 的取值范围为(0,+∞) , 故答案为: (0,+∞) 点评: 本题主要考查递推数列的应用,结合不等式进行递推是解决本题的关键.综合性较 强,难度较大. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)函数 f(x)=cos(πx+φ) (0<φ< (Ⅰ)写出 φ 及图中 x0 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+f(x+ ) ,求函数 g(x)在区间 上的最大值和最小值. )的部分图象如图所示.

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由题意可得 值. (Ⅱ)先求得 g(x)的函数解析式,由 而可求函数 g(x)在区间 解答: (共 13 分) 解: (Ⅰ)∵ ∴φ 的值是 ∵ =cos(0+φ) .…(2 分) ) ,可得 x0 的值是 .…(5 分) . … ,可得 ,从 =cos(0+φ) ,可得 φ 的值.由 =cos(πx0+ ) ,可得 x0 的

上的最大值和最小值.

=cos(πx0+ =πx0+

∴2π﹣

(Ⅱ) 由题意可得: (7 分) 所以 = …(8 分) = 分) 因为 所以 , . =

.…(10

所以 当 当

,即 ,即

时,g(x)取得最大值 时,g(x)取得最小值

; .…(13 分)

点评: 本题主要考察了,三角函数化简求值,三角函数的图象与性质,三角函数最值的解 法,属于中档题. 18. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,AC=2, BD=2 ,E 是 PB 上任意一点. (Ⅰ)求证:AC⊥DE; (Ⅱ)已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为 角的正弦值. ,若 E 为 PB 的中点,求 EC 与平面 PAB 所成

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面 所成的角;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题. 分析: (I)证明线线垂直,正弦证明线面垂直,即证 AC⊥平面 PBD; (II)分别以 OA,OB,OE 方向为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 PD=t,用坐标表示点, 求得平面 PBD 的法向量为 ,平面 PAB 的法向量为 ,可求 t 的值,从而可得 P

,根据二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为

的坐标,再利用向量的夹角公式,即可求得 EC 与平面 PAB 所成的角. 解答: (I)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD ∴PD⊥AC 又∵ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,BD∩PD=D ∴AC⊥平面 PBD,∵DE?平面 PBD ∴AC⊥DE…(6 分) (II)解:分别以 OA,OB,OE 方向为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 PD=t,则

由(I)知:平面 PBD 的法向量为



令平面 PAB 的法向量为

,则根据





因为二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为

,则

,即





…(9 分)

∴ 设 EC 与平面 PAB 所成的角为 θ, ∵ ∴ , …(12 分)

点评: 本题考查线线垂直,考查线面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定,利用空间向 量解决线面角问题,属于中档题.

19. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为

.设 P

是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求|PA| +|PB| 的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为 ,
2 2

求出 c,a,可得 b,即可求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设点 P(m,0) (﹣ ≤m≤ ) ,则直线 l 的方程为 y=x﹣m,代入椭圆方程,表示出 2 2 2 2 |PA| +|PB| ,利用韦达定理代入,即可求|PA| +|PB| 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为 ,

∴c=1, = ∴a= ∴b= ,



=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

∴椭圆的方程为

(Ⅱ)设点 P(m,0) (﹣ ≤m≤ ) ,则直线 l 的方程为 y=x﹣m,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 2 2 代入椭圆方程, 消去 y, 得 3x ﹣4mx+2m ﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (4 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1x2= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣(6 分) 2 2 2 2 2 2 ∴|PA| +|PB| =(x1﹣m) +y1 +(x2﹣m) +y2 =2 =2=﹣ m + ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) ∵﹣ ≤m≤ ,即 0≤m ≤2
2 2 2 2 2 2

∴当 m=0 时, (|PA| +|PB| )max= ,|PA| +|PB| 的最大值为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣(10 分) 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考 查学生的计算能力,属于中档题. 20. (12 分)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 (2)购买基金: 投资结果 获利 20% 概 率 (Ⅰ)当 p 时,求 q 的值;

不赔不赚

亏损 10% q

(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少 有一人获利的概率大于 ,求 p 的取值范围;

(Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中 选择一种,已知 , ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期

望较大?给出结果并说明理由. 考点: 互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据 p+ +q=1 解出即可; (Ⅱ)设出各个事件后得 , ,从而求出 P 的范围; ,根据

(Ⅲ)分别求出 EX,EY 在值,通过比较得到结论. 解答: (Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种,且 三种投资结果相互独立, 所以 p+ +q=1.…(2 分) 又因为 所以 q= , . …(3 分)

(Ⅱ)解:记事件 A 为“甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事 件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,…(4 分) 则 由上表可知, 所以 = 因为 所以 又因为 所以 所以 . .…(8 分) .…(7 分) ,q≥0, , = ,且 A,B 独立. ,P(B)=p. …(5 分) .…(6 分)

(Ⅲ)解:假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 X 为丙投资股票的获利金额(单位: 万元) , 所以随机变量 X 的分布列为: X 4 0 ﹣2 P

…(9 分) 则 .…10 分

假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位:万元) , 所以随机变量 Y 的分布列为: Y 2 0 ﹣1 P …(11 分) 则 .…(12 分)

因为 EX>EY, 所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.…(13 分) 点评: 本题考查了互斥事件的概率问题,考查了期望问题,是一道基础题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x+xlnx,h(x)=x﹣lnx﹣2 (Ⅰ)试判断方程 h(x)=0 在区间(1,+∞)上根的情况 (Ⅱ)若 k∈Z,且 f(x)>kx﹣k 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值 (Ⅲ)记 a1+a2+…+an= n∈N ) 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;数列的求和. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,则 h'(x)=1﹣ ,得到函数 h
*

,若 ai=2ln2+3ln3+…+klnk(k>3,k∈N ) ,证明

*

<1(n>k,

(x)在(1,+∞)上单调递增,得到根的情况 (2)分离参数 k,转化为恒成立问题,构造新函数,利用导数求解. * (3)由(2)可知,xlnx>2x﹣3(x>1) ,取 x=k(k≥2,k∈N ) ,得到新函数,利用新函数的 性质,利用放缩法求证. 解答: 解: (1)由题意 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,则 h'(x)=1﹣ 所以函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增 因为 h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0, 所以 h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0, 所以方程 h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4) (2)因为 f(x)=x+xlnx, 可知 k< 对任意 x>1 恒成立,即 k< 对任意 x>1 恒成立

令 g(x)=

,求导 g'(x)=

由(1)知,h(x)=x﹣lnx﹣2,h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3, 4) 当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g'(x)<0 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g'(x)>0 所以函数 g(x)= 在(1,x0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.

因之,min=g(x0)=



从而 k<min=x0∈(3,4) ,故整数的最大值为 3; * (3)证明:由(2)可知,xlnx>2x﹣3(x>1) ,取 x=k(k≥2,k∈N ) ,则有: 2ln2>2×2﹣3,3ln3>2×3﹣3,…,klnk>2k﹣3, 将上式各式子相加得: 2 2 2ln2+3ln3+…+klnk>2(2+3+4+…+k)﹣3(k﹣1)=k ﹣2k+1=(k﹣1) , 即 ,可得, ,从而有:

= = .

点评: 本题主要考查导数在含参数问题,证明题目中的应用,利用放缩法证明不等式,属 于难度较大的题目,2015 届高考常作为压轴题. 【选修 4-1 几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)已知△ ABC 中,AB=AC,D 为△ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重 合) ,延长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F (1)求证:∠CDF=∠EDF; (2)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 推理和证明. 分析: (I) 根据 A, B, C, D 四点共圆, 可得∠ABC=∠CDF, AB=AC 可得∠ABC=∠ACB, 从而得解.

(II)证明△ BAD∽△FAB,可得 AB =AD?AF,因为 AB=AC,所以 AB?AC=AD?AF,再根 据割线定理即可得到结论. 解答: 证明: (I)∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠ABC=∠CDF 又 AB=AC∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠C DF; (II)由(I)得∠ADB=∠ABF, ∵∠BAD=∠FAB, ∴△BAD∽△FAB, ∴ =
2

2



∴AB =AD?AF, ∵AB=AC, ∴AB?AC=AD?AF, ∴AB?AC?DF=AD?AF?DF, 根据割线定理 DF?AF=FC?FB, ∴AB?AC?DF=AD?FC?FB. 点评: 本题以圆为载体,考查圆的内接四边形的性质,考查等腰三角形的性质,考查三角 形的相似,属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 P(x,y)在曲线 C: 上运动.以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 为参数,θ∈R) .

(Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求△ ABM 面积的最大 值. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: (1)先将原极坐标方程 利用三角函数的和角公式后再化成直

角坐标方程,再利用消去参数 θ 得到曲线 C 的直角坐标方程. (2)欲求△ ABM 面积的最大值,由于 AB 一定,故只要求 AB 边上的高最大即可,根据平面 几何的特征,当点 M 在过圆心且垂直于 AB 的直线上时,距离 AB 最远,据此求面积的最大 值即可. 2 2 解答: 解: (1)消去参数 θ,得曲线 C 的标准方程: (x﹣1) +y =1. 由 得:ρcosθ﹣ρsinθ=0,

即直线 l 的直角坐标方程为:x﹣y=0. (2)圆心(1,0)到直线 l 的距离为 则圆上的点 M 到直线的最大距离 ,



(其中 r 为曲线 C 的半径) ,

.设 M 点的坐标为

(x,y) , 则过 M 且与直线 l 垂直的直线 l'方程为:x+y﹣1=0, 则联立方程 ,

解得

,或



经检验

舍去.

故当点 M 为
max=

时,△ ABM 面积的最大值为(S△ ABM) .

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及利用平面几何知识解决最值问题.利 2 2 2 用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.设实数 a,b 满足 2a+b=9. (i)若|9﹣b|+|a|<3,求 x 的取值范围; 2 (ii)若 a,b>0,且 z=a b,求 z 的最大值. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (i)由题意可得|9﹣b|=2|a|,不等式|9﹣b|+|a|<3 可化为|a|<1,由此解得 a 的范围. 2 (ii)因为 a,b>0,2a+b=9,再根据 z=a b=a?a?b,利用基本不等式求得它的最大值. 解答: 解: (i)由 2a+b=9 得 9﹣b=2a,即|9﹣b|=2|a|. 所以|9﹣b|+|a|<3 可化为 3|a|<3,即|a|<1,解得﹣1<a<1. 所以 a 的取值范围﹣1<a<1. (ii)因为 a,b>0,2a+b=9, 所以 ,当且仅当 a=b=3 时,等号成立.

故 z 的最大值为 27.…(7 分) 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,体现了转化的数学思想, 属于基础题.


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