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充分条件与必要条件


《充分条件与必要条件》教案
一、背景分析 教学重点:充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。 教学难点: “充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概 念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题 则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而 必要条件的定义又是本节内容的难点.学生对”充分条件”的概念较 易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称 A 是 B 的必 要条件难于接受,A 本是 B 推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学 生难于理解。 教学关键:找出 A、B,根据定义判断 A=>B 与 B=>A 是否成立。教学中,要强调 先找出 A、B,否则,学生可能会对必要条件难以理解。 二、教学目标设计: (一) 知识目标: 1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。 2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念,熟练判断四种命题间的关 系。 3、在理解定义的基础上,可以自觉地对定义进行转化,转化成推理关系及集合 的包含关系。 (二)能力目标: 1、培养学生的观察与类比能力:“会观察”,通过大量的问题,会观察其共性 及个性。 2、培养学生的归纳能力:“敢归纳”,敢于对一些事例,观察后进行归纳,总 结出一般规律。 3、培养学生的建构能力:“善建构”,通过反复的观察分析和类比,对归纳出 的结论,建构于自己的知识体系中。 (三)情感目标: 1、通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知 识的感受。 2、通过对命题的四种形式及充分条件,必要条件的相对性,培养同学们的辩证 唯物主义观点。

3、通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新, 多方位审视问题的创造技巧, 敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来,并在问 题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。 三、教学结构设计: 数学知识来源于生活实际, 生活本身又是一个巨大的数学课堂,我在教学过 程中注重把教材内容与生活实践结合起来,加强数学教学的实践性,给数学找到 生活的原型。我对本节课的数学知识结构进行创造性地“教学加工”,在教学方 法上采用了“合作——探索”的开放式教学模式,使课堂教学体现“参与式”、 “生活化”、“探索性”,保证学生对数学知识的主动获取,促进学生充分、和 谐、自主、个性化的发展。 整体思路为:教师创设情境,激发兴趣,引出课题 ? 引导学生分析实例,给出 定义 ? 例题分析 (采用开放式教学)? 知识小结 ? 扩展例题 ? 练 习反馈 四、教学过程设计: 第一,创设情境,激发兴趣,引出课题: 考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足, 为了让学生更易接受这一节内 容, 我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题,并与学生共同利用原有的 知识分析,事例中包括几个问题,为后面定义的分析埋下伏笔。 例 1(1):“做一件衬衫,需用布料,到布店去买,问营业员应该买多少? 他说买 3 米足够了。”这样,就产生了“3 米布料”与“做一件衬衫够不够”的 关系。 用这个事件目的是为了第二部分引导学生得出充分条件的定义。这里要强 调该事件包括:A:有 3 米布料;B:做一件衬衫够了。 例 1(2)“一人病重,呼吸困难,急诊住院接氧气。”就产生了“氧气” 与“活命与否”的关系。用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出必要条 件的定义。这里要强调该事件包括:A:接氧气;B:活了。 用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系,会使学生感到 亲切自然,有助于提高兴趣和深入领会概念的内容,特别是它的必要性。 第二,引导学生分析实例,给出定义。 在第一部分激发起学生的学习兴趣后,紧接着开展第二部分,引导学生分析 实例, 让学生从事例中抽象出数学概念,得出本节课所要学习的充分条件和必要 条件的定义。在引导过程中尽量放慢语速,结合事例帮助学生分析。

得出定义之后,这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种 命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。(用前面的例子来说即:“活了, 则说明在输氧”)可记作: B ? A 。 还应指出的是“必要条件”的定义,有如绕口令,要一次廓清,不可拖泥带 水。这里,只要一下子“定义”清楚了,下边再解释“ B ? A ,A 是 B 的必要条 件”是怎么回事。这样处理,学生更容易接受“必要”二字。(因无 A 则无 B, 故欲有 B,A 是必要的)。 当两个定义分别给出后,我又对它们之间的区别加以分析说明, (充分条件 可能会有多余,浪费,必要条件可能还不足(以使事件 B 成立))从而顺理成章 地引出充要条件的定义(既是必要条件,又是充分条件,就称为充分必要条件, 简称充要条件,记作: A ? B 。(不多不少,恰到好处)。使学生在此先对两 个充分条件和必要条件两个概念的不同有了第一次的认识, 第三部分再利用具体 的数学事例来强化。 第三,例题分析: 在分析各组题时都注意,让学生先养成找出 A、B 的习惯,以使学生突破学 习难点:“A=>B”,称 B 是 A 的必要条件,这里最好能让学生避免将 A、B 理解成 条件和结论,否则学生就可能会有这样的想法:“B 本是 A 推出的结论,怎么又 变成条件了呢?”。 选的第一组题,旨在对“充分条件”、“必要条件”、概念的复习巩固,选 题的难度控制在极大部分学生能接受的范围程度, 除第 4 小题对不等式符号的处 理需要教师略加点拨外,其余学生均能自行解答。命题内容涉及几何、代数较广 泛领域,也包括初学的“集合”知识,达到预期目标。 [第一组题:(1) " a , b ?
R " 是 " a ? b ? 0 " 的(充分不必要)条件。
?

(2)“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的(必要不充分)条件。 (3) “设集合 A= ?x | x ? 3? , ?x B= 的(必要不充分)条件。 (4) " a ? b
? 0" 是 " a b

| x ? 4? ” 则 x ? A ,“

” “x? 或

B

” " x ? A ? B" 是

? 0 " 的(必要不充分)条件。]

选的第二组题,旨在加强学生思维的灵活性、辩析深刻性。编题者与答题者 答案不尽相同,可以形成开放性求解研究的趣味,在选择比较答案的过程中,加 深对数学实质内涵的认识。如第(2)小题,学生提出三个不同答案:(1) a ? 0 且 b ? 0 ;(2) a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ;(3) a ? 3 且 b ? ? 1 。紧扣概念,教师 引导分析结论的正确性(说明还有其他答案),比较答案(1)、(2),则是同 类答案的优化问题;比较答案(1)、(3),则是一般性和特殊性的问题,可引 申作点评。 学生在问题的讨论过程中感悟到探索的价值,认识到与传统的演绎推

理方法的差异, 体现了群体中个体的优势。 鼓励和倡导了创造性思维。 至此, “开 放”的目的基本到位。学生思维被“激活”,充分体现出“开放性”的活力。 [第二组题: (1)写出 x (2)写出 a
? 2

的一个必要不充分条件( 可答 的一个充分不必要条件 ( 可答
2

x

2

? 2

)。 。

? b >0

a ? 0且 b ? 0 )

(3)二次函数 y

? ax

? bx ? c 当字母 a , c 满足 ( 可答 a ? 0 且 c ? 0 ) 条件,是函数图

象与 x 轴有交点的充分不必要条件。] 选的第三组题,旨在纠偏纠错,让学生先发现或是数学问题,或是语言表述 问题的错误, 从而先改正后分析。 这样, 既可以让学生发现问题, 及时改正错误, 对语言表述引起重视,又可以培养团结协作的精神。 [第三组题: (1)“Q 是 R 的充分不必要条件” 改正为: " x ? Q " 是 " x ?
R" 的

条件;

(2) “等腰三角形底角相等是什么条件” 改正为: “一个三角形为等腰三角形” 是“一个三角形有两个角相等”的 条件。] 分析完以上三组题, 新课的目标已在顺理成章中基本完成。学生在认知变化 过程中,不机械模仿,不自我封闭,即使在“开放”过程中暴露知识缺陷,经过 学生讨论辩析,教师答题解惑,在顺应作用下发展,实现了“质”的变化。这种 教学思想来源于著名的瑞士教育心理学家、发生认识论创始人让·皮亚 (JeanPiage1896—1980),提出的发生认识论原理。 例 1 讲评结束时我注意给学生提供了适度的学习指导, 加深对数学本质的理 解,让学生反思例 1,引导学生归纳、总结并概括本堂课的学习内容。特别是让 学生从集合的角度来理解充分条件和必要条件。在学生归纳的同时,进行板书。 [板书:1、简化定义:如果已知 A ? 必要条件。
B

,则说 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的

2、判别步骤:(1)找出 A 和 B.(2)考察 A 根据定义下结论。 3、判别技巧:(1)可先简化命题。

? B

和B

? A 的真假。(3)

(2)否定一个命题只要举出一个反例即可。 (3)可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

4、从集合的角度来理解:

① 即:要使

,相当于

,即

或 就足够了——有它就行.

成立,只要

② 即:为使

,相当于

,即

或 ——缺它不行.

成立,必须要使 。

等价于



,相当于

,即

即:互为充要的两个条件刻划的是——同一事物. 考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念,它与人们日常生活中 的推理判断密切相关,因此设计了例 2,它既是本节课的画龙点睛之笔,又与本 节课开始由生活事例引出课题首尾呼应。 [例 2:探讨下列生活中名言名句的充要关系. (1)水滴石穿 (2)骄兵必败 (3)有志者事竟成

(4)头发长,见识短(5)名师出高徒(6)放下屠刀,立地成佛。] 第四,作业布置:



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