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高中数学北师大版选修2-2第二章《4.1导数的加法与减法法则》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试教案

高中数学北师大版选修 2-2 第二章《4.1 导数的加法与减法 法则》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教 案 【名师授课教案】 1 教学目标 知识与技能 1.理解导数的加减法和乘除法法则. 2.运用导数公式和导数的四则运算法则求一些函数的导数. 过程与方法 通过导数的加法、减法法则,理解导数的学习思路和学习方法 情感态度价值观 通过导数的学习,使学生掌握思考相关问题的方法. 2 学情分析 学生在学过导数的定义和常用公式后,势必会接触一些比较复杂的函数求导,所以学习导数 的四则运算法则就是顺理成章的事情。由于加减法运算比较简单,所以通过导数定义结合一 些实例,学生很容易理解。 另外,鉴于本节课内容简单,过于单薄,所以将乘除法运算一并加进 来,利用类比等教学手段,学生可以理解,也能很好掌握。 3 重点难点 教学重点:理解导数的四则运算法则. 教学难点:运用导数公式和导数的四则运算法则求一些函数的导数. 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】导数的四则运算法则 一学习引导 1.导数公式表 函数 导函数 y=c (c 是常数) y′=0 y=xα (α 为实数) y′=α xα -1 y=ax (a>0,a≠1) y′=axln_a 特别地(ex)′=ex y=logax y′= 特别地(ln x)′= y=sin x y′=cos_x y=cos x y′=-sin_x y=tan x y′= y=cot x y′=2.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x), [f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x). 3.若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x),则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x) g′(x); ′=. 特别地,当 g(x)=k 时,有[kf(x)]′=kf′(x). (a>0,a≠1) 二思考引导 探究点一 导数的加法与减法法则 思考 1 怎样求函数 f(x)=x+x2 的导函数? 答 根据导数定义Δ y=f(x+Δ x)-f(x) =(x+Δ x)+(x+Δ x)2-(x+x2)=Δ x+2x·Δ x+(Δ x)2. ∴=1+2x+Δ x,∴ =1+2x, 即 f′(x)=1+2x,可以看出(x+x2)′=x′+(x2)′. 思考 2 将思考 1 的结论推广,可得到导数的加法、减法法则,请你写出来. 答 [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x), 例 1 求下列函数的导数 [f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x). (1)y=x3+x2+x;(2)y=2x+. 解 (1)y′=(x3+x2+x)′=(x3)′+(x2)′+(x)′=3x2+2x+1. (2)y′=(2x+)′=(2x)′+()′=2x·ln 2+. 反思与感悟 利用导数的加法与减法法则,将两个函数的和差的导数转化为两个函数的导数 的和差. 跟踪训练 1 已知 f(x)=tan x+sin x,求 f′. 解 f′(x)=(tan x)′+(sin x)′=+cos x, 探究点二 导数的应用 例 2 已知函数 f(x)=x3+x,求函数在点(2,10)处的切线方程. 解 f′(x)=(x3+x)′=(x3)′+(x)′=3x2+1. ∴所求切线的斜率是 13. ∴切线方程为 y-10=13(x-2),即 13x-y-16=0. ∴所求切线的方程是 13x-y-16=0. 感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率,对较复杂函数的求导,可利用导数公式和运算法 则. 跟踪训练 2 已知函数 f(x)=sin x+cos x,求曲线 y=f(x)在 x=处的切线方程. 解 ∵f′(x)=(sin x+cos x)′=(sin x)′+(cos x)′=cos x-sin x,∴f′=cos -sin = 0. ∴曲线 y=f(x)在 x=处的切线斜率为 0.又 f=,∴所求切线方程为 y=. 探究点三 导数的乘法与除法法则 思考 1 设函数 y=f(x)在 x0 处的导数为 f′(x0),g(x)=x2,怎样用导数定义求 y=f(x)g(x)=x 2f(x)在 x0 处的导数? 答 经计算得: y=x2f(x)在 x0 处的导数为 xf′(x0)+2x0f(x0). 小结 一般地,若 f(x)、g(x)的导数分别是 f′(x)、g′(x),则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f (x)g′(x), ∴f′(2)=3×22+1=13. ∴f′=4+=. ′=(g(x)≠0). 思考 2 应用导数公式和四则运算法则求导有哪些注意点? 答 (1)要准确判断函数式的结构特点,选择合适的公式和法则;(2)求导前可以先对解析式适 当化简变形,以利于求导. 例 3 求下列函数的导数: (1)y=x2ex;(2)y=sin x;(3)y=xln x. 解 (1)函数 y=x2ex 为函数 f(x)=x2 与 g(x)=ex 之积, 由导数公式分别得出 f′(x)=2x,g′(x)=ex. 根据两函数之积求导法则,得 (x2ex)′=2xex+x2ex=(2x+x2)ex. (2)y=sin x 为函数 f(x)=与 g(x)=sin x 之积, 由导数公式分别得出 f′(x)=,g′(x)=cos x. 根据两函数之积的求导法则,得 (sin x)′=+cos x. (3)函数 y=x ln x 为函数 f(x)=x 与函数 g(x)=ln x 之积,由导数公式分别得出 f′(x)=1,g′(x)=, 根据两函数之积的求导法则,得(xln x)′=1·ln x+x·=ln x+1. 反思与感悟 对较复杂的式子进行化简变形对求导十分必要,否则将增大计算量甚至导致错 误.如题中(1)、(2)、(3)变形后求导很方便. 跟踪训练 3 求下列函数的导数:(1)y


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