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甘肃省兰州一中2011-2012学年高一下学期期末考试数学试题 (2)


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甘肃省兰州一中 2011-2012 学年高一下学期期末考试数学试 题
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 100 分,考试 时间 100 分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡) . 第 I 卷(选择题) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分,将答案写在答题卡上) ......... 1.直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角是( A.150


) C.120


B.135



D. 30



2.直线 3x+4y-13=0 与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 的位置关系是(



A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法判定 3.若 a,b 是异面直线,且 a∥ 平面 α,则 b 和 α 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.b 在 α 内 D.平行、相交或 b 在 α 内 4.直线 3x ? y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为( )

A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

5.下列关于直线 l,m 与平面 α,β 的说法,正确的是( ) A.若 l ? ? 且 α⊥ β,则 l⊥ α B.若 l⊥ 且 α∥ 则 l⊥ β β α C.若 l⊥ 且 α⊥ 则 l∥ β β α D.若 α ? β=m,且 l∥ 则 l∥ m, α 6.经过直线 l1 :x-3y+4=0 和 l2 :2x+y+5=0 的交点,并且经过原点的直线方程是( A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.3x+19y=0 D.19x-3y=0 o 7.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 , 腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A. )

1 2 ? 2 2

B. 1 ?

2 2

C. 1 ? 2

D. 2 ? 2

8.已知 m,n 是两条直线,α,β 是两个平面.有以下命题: ① 相交且都在平面 α,β 外,m∥ m∥ , n∥ n∥ ,则 α∥ m,n α, β α, β β; ② m∥ m∥ , 则 α∥ 若 α, β β; ③ m∥ n∥ , m∥ 若 α, β n,则 α∥ β. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

9.一只虫子从点 O(0,0)出发,先爬行到直线 l:x-y+1=0 上的 P 点,再从 P 点出发爬行到点 A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( )

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A.

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C.3 D.4

2

B.2

10.当曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 与直线 kx ? y ? 2k ? 4 ? 0 有两个相异的交点时,实数 k 的取值 范围是( A. (0, ) B. ( , ]

5 ) 12

1 3 3 4

C. (

5 3 , ] 12 4

D. (

5 , ?? ) 12

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分,将答案写在答题卡上) 11.已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-1,2),直线 l2 经过点 C(1,2),D(-2,a+2),若 l1 ⊥l2 ,则 a 的值为 _____________. 12.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别是 1、 2 、 3 ,则此 三棱锥的外接球的表面积是____________. 13.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成 的角是______° ;直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是_________° . 14.过点 O(0,0)引圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 的两条切线 OA,OB, A,B 为切点,则直线 AB 的方程是______________. 15.已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 C 是圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上任意一点, 则△ABC 面积的最小值是______________. A D1 A1 B1 C1

D B

C

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1 A 2 C 3 D 4 D

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参考答案 5 B 6 C 7 D 8 B 9 B 10 C

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. 3 或-4 12.6π 13.60,30 14.2x+2y-7=0 15. 2 ?

5 2

三、解答题(共 40 分) 16. (本小题 8 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,若 F,E 分别为 PC,BD 的中点,求证: (l)EF∥ 平面 PAD; P (2)平面 PDC⊥ 平面 PAD 证明: (1)连结 AC,∵ ABCD 是正方形,∴ 为 BD 与 E F AC 的交点, ∵ F,E 分别为 PC,AC 的中点 ∴ EF∥ …………2 分 PA D ∵ PA 在 面 PAD 内 , EF 在 面 PAD 外 , ∴ EF∥平 面 C PAD …………4 分 E (2)∵ ABCD 是正方形 ∴ CD⊥ AD A B 又∵ PAD 与面 ABCD 的交线为 AD , 面 PAD⊥ 面 面 ABCD ∴ CD⊥ PAD…………6 分 面 又∵ 在面 PDC 内,∴ PDC⊥ PAD…………8 分 CD 面 面 17. (本小题 8 分)已知线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,且∣ AB∣ =2. (1)求线段 AB 的中点 P 的轨迹 C 的方程; (2)求过点 M(1,2)且和轨迹 C 相切的直线方程. 解: (1) 方法一:设 P(x , y ), ∵ AB∣ ∣ =2,且 P 为 AB 的中点, ∴ OP∣ ∣ =1 ……………………2 分 2 2 ∴ P 的轨迹方程为 x +y =1. ……………………4 分 点 方法二:设 P(x , y ), ∵ 为 AB 的中点, P ∴ (2x , 0 ), B(0 , 2y ), A ………………………2 分 又∵ AB∣ ∣ =2 ∴ 2+(2y)2=2 (2x) 化简得点 P 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=1. ……………4 分 (2) ① 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=1, 由条件易得 x=1 符合条件; ………………5 分 ② 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y-2=k(x-1) 即 kx-y+2-k=0 由

2?k k ?1
2

?1

得 k=

3 , 4

∴ 切线方程为 y-2=

3 (x-1) 4

即 3x-4y+5=0 综上,过点 M(1,2)且和轨迹 C 相切的直线方程为: x=1 或 3x-4y+5=0 ……………………8 分
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18 . ( 本 小 题 8 分 )

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已 知 圆 C:

x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 9 ? 0 及 直 线

l : 2mx ? 3my ? x ? y ?1 ? 0(m ? R)
(1)证明:不论 m 取何值,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的直线方程. 解:由 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0 得 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 22 ∴ C 的圆心为(2,3),半径为 2……………2 分 圆 (1)由 l : 2mx ? 3my ? x ? y ? 1 ? 0(m ? R) 得 m(2 x ? 3 y) ? x ? y ?1 ? 0

由?

?2 x ? 3 y ? 0 ? x ? 3 得? ? x ? y ?1 ? 0 ? y ? 2

∴ 不论 m 取何值,直线 l 恒过点 P(3,2)…………….4 分 ∵3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 2 ? 9 ? ?2 ? 0
2 2

∴ P(3,2)在圆 C 内……………3 分 点 所以不论 m 取何值,直线 l 与圆 C 恒相交…………….5 分 (2)当直线 l 垂直 CP 时,直线 l 被圆 C 截得的弦长最短 ∵kCP ? ?1 …………….7 分 所以所求的直线方程为 y=x-1…………….8 分

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19. (本小题 8 分)已知三棱锥 A—BCD 及其三视图如图所示. (1)求三棱锥 A—BCD 的体积与点 D 到平面 ABC 的距离; (2)求二面角 B-AC-D 的正弦值. (1) 由三视图可得△ABC 为直角三角形, ∠ DBC 为 直 角 , AD⊥ 面 DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2 分 作 DE⊥ 于点 E AB ∵ AD⊥ DBC,∴ 面 AD⊥ BC ∵ DBC 为直角 ∴ ∠ BC⊥ ADB 面 ∴ BC⊥ DE ∴ DE⊥ ABC………3 分 面 ∴ 的长为点 D 到面 ABC 的距离 DE ∵ DB=1,AD=2 ∴ DE=

2 5 5

∴ D 点

到平面 ABC 的距离为 ∵S? DBC ?

30 ………4 分 6

1 1 1 1 ,∴V ? ? ? 2 ? ………5 分 2 3 2 3

(2) 作 DF⊥ 于点 F,连结 EF, AC ∵ DE⊥ ABC ∴ 面 DE⊥ AC ∴ AC⊥ DEF ∴ 面 AC⊥ EF ∴ DFE 是二面角 B-AC-D 的平面角………7 分 ∠ ∵ DB=BC=1 ∴ DC= 2 ∴ DF=

2 3 3

∴ sin∠ DFE=

15 5 15 ………8 分 5

∴ 二面角 B-AC-D 的正弦值是

20. (本小题 8 分)已知圆 C 过点 M(0,-2) 、N(3,1) ,且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0) 的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设圆 C 的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0

? D ? - 2 - E ?1 ? 0 ? 则有 ? 4 - 2 E ? F ? 0 ?10 ? 3 D ? E ? F ? 0 ? ?
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…………………2 分

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? D ? ?6 ? 解得 ? E ? 4 ?F ? 4 ?

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∴ C 的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0 …………4 分 圆 (2)设符合条件的实数 a 存在, 由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 C (3, ? 2) 必在 l 上. 所以 l 的斜率 kPC ? ?2 , 而 k AB ? a ? ?

1 1 , 所以 a ? . 2 k PC

…………5 分

把直线 ax-y+1=0 即 y=ax +1.代入圆 C 的方程, 消去 y ,整理得 (a2 ? 1) x2 ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 . 由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两点, 故 ? ? 36(a ?1)2 ? 36(a2 ? 1) ? 0 , 即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 则实数 a 的取值范围是 (??, 0) .…………………7 分 由于

1 ? (??, 0) , 2

故不存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的直线 l 垂直平分弦 AB .………8 分

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