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惠州市2012届高三第一次调研考试数学(文科)答案与评分标准

惠州市 2012 届高三第一次调研考试

文科数学参考答案与评分标准

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

答案 B D D C D C B D A B

1.【解析】由韦恩图知: A? B ? ?3?,故选 B

2.【解析】 1 ? i ? (1 ? i)2 ? ? 2i ? ?i .故选 D 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

3.【解析】 a ?b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .即x ? 8 ? 0,? x ? ?8 ,故选 D. 4.【解析】由频率分布直方图知; a ? 0.03 ,∴身高在[120,130]内的学生人数为
100?0.03?10 ? 30 ,故选 C

5.【解析】由下标和性质知 3a3 ? 15, ,∴ a3 ? 5, ∴ S5 ? 5a3 ? 25, 故选 D

6.【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形,下面是边长为 2 的正方形

∴组合体的侧视图的面积为 S ? 2? 2 ? 1 ? 2? 3 ? 4 ? 3 ,故选 C 2

7.【解析】 f (x) ? 2sin(? ? x) cos(? ? x) ?1 ? 2cos2(? ? x) ?1 ? cos(? ? 2x) ? ?sin 2x,

4

4

4

2

故选 B .

8.【解析】双曲线 y 2 ? x 2 ? 1的两条渐近线为 y ? ? 1 x ,

4

2

Y A(1,2)

抛物线 y2 ? ?8x 的准线为 x ? 2 ,

X

当直线 y ? ?x ? z 过点 A(1, 2) 时, zmax ? 3 ,故选 D. 9.【解析】提示:当 x,z 都取负数时. lg x, lg z 无意义。选 A.

10.【解析】提示:根据运算有1? k ? 1 ? k 2 ? 3, k ? R*,? k ? 1.选 B.
二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上)
11. 1; 12. 720; 13. x2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ; 14. ? sin? ? 3 ; 15. 4? 。

11.【解析】 f (4) ? log2 4 ? 2, ∴ f ( f (4)) ? f (2) ? log2 2 ? 1 12.【解析】由程序框图知: S ?1?2?3?4?5?6 ? 720 13.【解析】设圆的方程为 x2 ? ( y ? b)2 ? r2 ,则圆心为 (0,b),

依题意有

?b ?? 0

?1 ?1

?

??r2 ? (b

?1 ?1)2

?

(0

?1)2

,得

?b ? 2 ??r2 ? 2

,所以圆的方程为

x2

?

(y

?

2)2

?

2。

14.【解析】点 (2, ? ) 的直角坐标为 (1, 3) ,∴过点 (1, 3) 平行于 x 轴的直线方程为 y ? 3 3

即极坐标方程为 ? sin? ? 3

15.【解析】由已知条件可求得圆 O 的半径 OA ? 2 ,∴圆 O 的面积为 4?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)

解:(1)依正弦定理 a ? b 有 bsin A ? asin B …………………………3 分 sin A sin B

又 a ? 4, sin A ? 4sin B ,∴ b ?1

…………………………6 分

(2)依余弦定理有 cos C

?

a2

? b2

? c2

? 16 ?1?13

?

1
……………………9



2ab

2? 4?1 2

又 0? < C <180? ,∴ C ? 60?

…………………………12 分

17.(本小题满分 12 分)

解:(1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ? x, y? 表示基本事件

从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,则共有 (5, 6), (5, 7), (5,8), (5,9), (6, 6), (6, 7),

(6,8),(6,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10, 6),(10,7),(10,8),(10,9) 。16 种结果…2 分

记 A ? {甲的成绩比乙高}

则 A 包含 (9, 6), (9, 7), (9,8), (10, 6), (10, 7), (10,8), (10,9) 有 7 种结果 …………4 分

∴ P? A? ? 7
16

…………………………………………6 分

(2)

甲的成绩平均数 x1

?

5 ? 6 ? 9 ?10 4

? 7.5

乙的成绩平均数

x2

?

6

?

7

? 4

8

?

9

?

7.5

甲的成绩方差 S12

?

(5 ? 7.5)2

? (6 ? 7.5)2

? (9 ? 7.5)2 4

? (10 ? 7.5)2

? 4.25

乙的成绩方差 S22

?

(6 ? 7.5)2

? (7 ? 7.5)2

? (8 ? 7.5)2 4

? (9 ? 7.5)2

? 1.25 ………10 分



x1

?

x2

, S12

?

S

2 2

∴选派乙运动员参加决赛比较合适

…………………………………………12 分

18.(本小题满分 14 分)

B

E

(1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? 1 DE . 2 ∵ AB ?平面 ACD , DE ?平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ? 1 DE ,∴ GF ? AB . …………3 分 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG .……………5 分 ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .…………7 分
(2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD …………9 分

∵ DE ?平面 ACD , AF ? 平面ACD,∴ DE ? AF .……………10 分

又 CD ? DE ? D ,∴ AF ?平面 CDE .……………………………12 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE .…………………………………13 分 ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE .………………14 分
19. (本小题满分 14 分)

解:(1)当 n ?1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ?1,∴ a1 ? 1

…………1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 ,

即 an ? 2 an?1

…………………………………………………………………3 分

∴数列{an}是以 a1 ? 1为首项, 2 为公比的等比数列,∴ an ? 2n?1, Sn ? 2n ?1…5 分

设{bn}的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1? 3d ? 7 ,∴ d ? 2

∴ bn ? 1? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 …………………………………………………8 分

(2) cn

?

1 bnbn?1

?

(2n

1 ?1)(2n

? 1)

?

1 2

(1 ? 2n ?1

1) 2n ?1

…………………………10



∴ Tn

?

1 2

(1?

1 3

?

1 3

?

1 5

? ... ?

1? 2n ?1

1) 2n ?1

?

1 2

(1?

1) 2n ?1

?

n 2n ?1

……12



由 Tn

>

1001 2012

,得

n 2n ?1

>

1001 2012

,解得

n

>100.1



Tn

>

1001 2012

的最小正整数

n



y

101 …………………………………………14 分

A

20. (本小题满分 14 分)
解:(1)∵| AB |?| AC |? 7 ,| BC |? 2 ∴| BO |?| OC |? 1, 2

P x

B

OC

| OA |? | AC |2 ? | OC |2 ? 49 ?1 ? 3 5 ………2 分

4

2

∴ B(?1, 0), C(1, 0), A(0, 3 5 ) ∴ P(1 , 3 5 ) ……4 分

2

24

依椭圆的定义有: 2a ?| PB | ? | PC |? (1 ?1)2 ? (3 5 ? 0)2 ? (1 ?1)2 ? (3 5 ? 0)2 ? 9 ? 7 ? 4

2

4

2

4

44

∴ a ? 2 ,…………………………………………………………………………6 分

又 c ?1,∴ b2 ? a2 ? c2 ? 3………………………………………………………7 分

∴椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1……………………………………………8 分 43
(求出点 p 的坐标后,直接设椭圆的标准方程,将 P 点的坐标代入即可求出椭圆方程, 也可以给满分。)
(2) 椭圆的右顶点 A1(2, 0) ,圆 E 圆心为 E(1, 0) ,半径 r ? 2 。 假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为1: 3 的两段弧,

则 ?MEN ? 90? ,圆心 E(1, 0) 到直线 l 的距离 d ? 2 r ? 1 ………………10 分 2
当直线 l 斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 , 此时圆心 E(1, 0) 到直线 l 的距离 d ?1(符合)……………………………11 分

当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k(x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 ,

∴圆心 E(1, 0) 到直线 l 的距离 d ? | k | ? 1 ,无解……………………………13 分 k2 ?1
综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为1: 3 的两段弧,此时 l 方程为 x ? 2 …14 分。
21.(本小题满分 14 分)
解:(1) f '(x) ? 3x2 ? 3a …………………………………………………………………1 分

依题意有

? ? ?

f f

'(1) ? 3 ? 3a ? 0 (1) ?1? 3a ? b ?

2

,………………………………………………3



解得

?a ??b

? ?

1 4

,……………………………………………………………………4



此时 f '(x) ? 3x2 ?3 ? 3? x ?1?? x ?1? ,

x???1,1?, f '?x? ? 0, x??1,???, f '?x? ? 0, 满足 f ? x? 在 x ?1处取极小值

∴ f (x) ? x3 ? 3x ? 4 ……………………………………………………………5 分

(2) f '(x) ? 3x2 ? 3

∴ g(x) ? m f ' (x) ? 2x ? 3 ? m (3x2 ? 3) ? 2x ? 3 ? mx2 ? 2x ? m ? 3 …………6 分

3

3

当 m ? 0时, g(x) ? ?2x ? 3 ,∴ g(x) 在[0, 2] 上有一个零点 x ? 3 (符合),……8 分 2

当 m ? 0 时,

①若方程 g(x) ? 0 在[0, 2] 上有 2 个相等实根,即函数 g ? x? 在[0, 2] 上有一个零点。

?? ? 4 ? 4m(?m ? 3) ? 0



? ???0

?

1 m

?

2

,得 m ?

3? 2

5

……………………………………10 分

②若 g(x) 有 2 个零点,1 个在[0, 2] 内,另 1 个在[0, 2] 外,

则 g(0)g(2) ? 0 ,即 (?m ? 3)(3m ?1) ? 0 ,解得 m ? 1 ,或 m ? 3 …………12 分 3
经检验 m ? 3 有 2 个零点,不满足题意。

综上: m 的取值范围是 m ? 1 ,或 m ? 3 ? 5 ,或 m ? 3 ……………………14 分

3

2



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