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直线的参数方程练习


直线的参数方程练习 一、选择题: 1、 直线 ?
? x=2 -t (t 为参数)上与点 A(2, -3)的距离等于 1 的点的坐标是( ? y=-3 +t

).

A.(1,-2)或(3,-4) B.(2- 2 ,-3+ 2 )或(2+ 2 ,-3- 2 ) C.(2-
2 2 2 2 ,-3+ )或(2+ ,-3- ) 2 2 2 2

D.(0,-1)或(4,-5)

? x ? a ? t cos? 2、在参数方程 ? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对 ? y ? b ? t sin ?
应的参数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是( )

3.经过点 M(1,5)且倾斜角为 参数方程是( )

? 的直线,以定点 M 到动 点 P 的位移 t 为参数的 3

1 1 ? ? x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 C. A. ? B. ? 3 ?y ? 5 ? ?y ? 5 ? 3 t t ? ? 2 2 ? ?

1 1 ? ? x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 D. ? ? 3 ?y ? 5 ? ?y ? 5 ? 3 t t ? ? 2 2 ? ?

1 ? ?x ? t ? 4.参数方程 ? t (t 为参数)所表示的曲线是 ( ? y ? ? 2 ?

)

A.一条射线

B.两条射线

C.一条直线

D.两条直线

? x ? 1 ? 2t 5、若直线的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
2 3 3 C. 2



A.

2 3 3 D. ? 2

B. ?

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 6、将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?



A.y ? x ? 2

B.y ? x ? 2

C.y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

D.y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

? x ? ?2 ? t 7、直线 ? (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( y ? 1 ? t ?
A. 98 B. 40
1 4



C. 82

D. 93 ? 4 3

1 ? x ? 1 ? t ? 2 ? 8、直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( A. (3, ?3) 二、填空题: 1、直线 l 过点 M 0 ?1,5? ,倾斜角是 的长为 ____.
? ? ? x=tsin 20 +3 ? ? ? y=- tcos 20

) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3)

B. (? 3,3)

? ,且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 3

2、直线的参数方程为 ? 为 .

(t 为 参 数 ) , 则 直 线 的 倾 斜 角

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 3、直线 ? 与圆 ? 相切,则 ? ? ______. ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?
? x ? ?2 ? 2t ?t为参数? 上与点 P?? 2, 4、直线 ? 3? 距离等于 2 的点的坐标是 y ? 3 ? 2 t ?
2

.

5. 已知双曲线 x ?

y2
2

= 1,过点 P(2,1)的直线交双曲线于 P1,P2,线段 P1P2

的中点 M 的轨迹方程是_________. 6、一个小虫从 P(1,2)出发,已知它在 x 轴方向的分速度是?3,在 y 轴方向 的分速度是 4,小虫 3s 后的位置 Q 的坐标为________. 7、点 A(?1,?2)关于直线 l:2x ?3y +1 =0 的对称点 A' 的坐标为_______.

8、直线 l 过点 P(1,2),其参数方程为? +y ?2 =0 交于点 Q,PQ=______. 三、解答题:

? ?x ? ?y

=1 ?t, (t 是参数),直线 l 与直线 2x =2 +t

1.过点 P(

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的最小值及相应的 ? 的值。 2、经过点 P(?1,2),倾斜角为 ? 2 2 的直线 l 与圆 x +y = 9 相交于 A,B 两点, 4

求 PA +PB 和 PA · PB 的值。 3、已知抛物线 y2 = 2px,过焦点 F 作倾斜角为 θ 的直线交抛物线于 A,B 两点, 求证:AB = 2p 。 sin2 θ

4、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60°的 直线交椭圆于 A,B 两点,若 FA =2FB,求则椭圆的离心率。 5、已知直线 l : y ? kx(k ? 2 2 ? 2) 交抛物线 y ? x 2 ? 2x ? 2 于 P1 , P2 两点,在 线段 P 1P 2 上取一点,使|OP1|、|OQ|、|OP2|成等比数列,求 Q 点的轨迹方程。 探究: 1、过点 B(0,?a) 作双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 右支的割线 BCD,又过右焦点 F 作平行于 BD 的直线,交双曲线于 G、H 两点。 (1)求证:

BC BD ? ? 2; GF FH

(2)设 M 为弦 CD 的中点, S ?MBF ?

3 2 2 a ,求割线 BD 的斜率。 2

2、过边长 a 为的正三角形重心 G 作一直线交两边于 E、F,设|EG|= p ,|FG|= q . 求证:

1 1 1 9 ? 2? ? 2. 2 p q pq a
参考答案

一、选择题:ABDBDCCD 二、填空题:1、 10 ? 6 3 2、1100 3、

? 5? ,或 6 6

4、 (-1,2)或(-3,4)

5、 2x2 ?y2 ?4x +y = 0

6、 (?8,12)7、(?

33 4 , ) 13 13

8、

3 2 2

三、解答题

? 10 ? t cos ? ?x ? 1、解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 所以当 sin 2 ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2

? ?x = 2、解:直线 l 的方程可写成? ? ?y=2

?1 + +

2 t, 2

2 t 2

,代入圆的方程整理得:t2 + 2

t?4=0,设点 A,B 对应的参数分别是 t1 ,t2,则 t1 +t2 = ? 2,t1 ·t2 = ?4,
由 t1 与 t2 的符号相反知 PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 ?t2| = = 3 2,PA · PB =| t1 · t2 | = 4。 (t1 +t2)2?4 t1 ·t2

p ? ?x = +t cos θ , 2 3、解:由条件可设 AB 的方程为? (t 是参数),代入抛物线 ? ?y = t sin θ
方程,

得 t2 sin2 θ ?2pt cos θ ?p2

? ?t +t = 0,由韦达定理:? ? ?t ·t
1 1 2

2

=

2pcos θ , sin2 θ

2

= ?

p2
sin2 θ





AB = |t1 ?t2| =

(t1 ?t2) ?4 t1· t2 =

4p2cos2θ 4p2 + = sin4θ sin2θ

2p 。 sin2θ

4、解:设椭圆方程为

x2 y2 + = 1,左焦点 F1(c,0) ,直线 AB 的方程为 a2 b2

? ?x ? ? ?y

= ?c + = 3 t 2

1 t, 2

1 3 ,代入椭圆整理可得:( b2 + a2)t2 ? b2ct ?b4 = 0,由于 t1= ? 4 4

?t +t ? 2t , 则? t ·t ? ?
1 2 1 2 2

2

2

= ? t2 1 2 3 2 b + a 4 4 ?b4 = ? = ?2 t22 1 2 3 2 b + a 4 4 =

b2c

①, ,①2×2+②得:2c2 = ② 1 2 3 2 b + a, 4 4

将 b2 =a2 ?c2 代入,

c2 4 2 8 c = 3 a + a ?c ,得 e = 2 = ,故 e = 。 a 9 3
2 2 2

5、解:设直线的参数方程为 ?

? x ? t cos ? , (t 为参数) ? y ? t sin ?

其中 ? 是直线的倾斜角, tan? ? k 将它代入抛物线方程得 t 2 cos2 ? ? (sin? ? 2 cos? )t ? 2 ? 0 设方程的两根为 t1 , t 2 ,则 t1t 2 ?

2 cos 2 ?

由参数的几何意义知 OP 1 ? t 1 , OP 2 ? t2 . 设 Q 点对应的参数为 t ,由题意知 t ? t1 ? t 2
2

? t ? 0,? t ? t1t 2 ?

2 (cos? ? 0) cos?

? 2 x? ? cos? ? 2 ? ? cos? 则 Q 点对应的坐标 ( x, y) 有 ? ? y ? 2 ? sin ? ? 2k ? cos? ?
从而点的轨迹方程是 x ? 2 且 y ? 4 ? 2 2 . 探究: 1、 (1)证明:当 a ? 0 时,设直线的倾斜角为 ? ,则割线的参数方程为

? x ? t cos ? (t 为参数) ? ? y ? ? a ? t sin ?
则过焦点 F 平行于 BD 的直线 GH 的参数方程为



? x ? 2a ? t cos? (t 为参数) ? y ? ? t sin ? ?



将①代入双曲线方程,得 t 2 cos 2? ? 2at sin ? ? 2a 2 ? 0

设方程的解为 t1 , t 2 ,则有 BC ? BD ? t1t 2 ? ?

2a 2 , cos 2?

同理, GH ? FH ? ? FG ? FH ? ?

a2 BC BD ,? ? ? 2. cos 2? GF FH

当 a ? 0 时,同理可得上述结果。 (2)解:当 a ? 0 时,首先确定割线 BD 的斜率范围,显然1 ? tan? ? 2 , 于是 BM ?

BC ? BD t1 ? t 2 a sin ? ? ?? ?0 2 2 cos 2?
? tan? ? 2? ? 0 ? a sec ? 2a tan? ? ? , sec ?

设 F 到 BD 的距离为 d,则 d ?

?

1 a sin ? 2a tan? ? a 3 2 2 ? ? (? )? ? a , 2 cos 2? sec? 2 3 2 或 tan? ? ? 2 (舍) 4

? tan? ?

同时,当 a ? 0 时, ? 2 ? tan? ? ?1

同理可求得 tan? ? ?

3 2 4 3 2 3 2 。 或4 4

综上可知,BD 的斜率为

2、证明:建立如图所示的坐标系,

y

O

x

设直线 EF 的倾斜角为,则过 G 点的直线 EF 的参数方程为

? 3 a ? t cos? ?x ? , ? 3 ? y ? t sin ? ?



又直线 OA 与 OB 的方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 0,



2 3 a2 将①代入②,得 (cos ? ? 3 sin ? )t ? ③ ? a cos? ? t ? 3 3
2 2 2

由直线参数方程的几何意义知,方程③的两根 t1 , t 2 分别为 p,? q ,

? 2 3 ? a cos? ? 3 ?p ? q ? ? cos 2 ? ? 3 sin 2 ? , 则? a2 ? ? 3 p ? (?q) ? ? 2 cos ? ? 3 sin 2 ? ?
1 1 1 1 1 2 1 ( p ? q) 2 1 ? 2 ? ?( ? ) ? ? ? ? 2 2 p q pq p q pq ( ? pq) ? pq 1 a2 3 cos 2 ? ? 3 sin 2 ? 12 cos 2 ? 3 cos 2 ? ? 9 sin 2 ? ? ? a2 a2 9 cos 2 ? ? 9 sin 2 ? ? a2 9 ? 2 a ? (? 2 3 a cos ? ) 2 3 ? a2 2 ( ) 3



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