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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(四川卷)理 (解析版)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 理工类 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分 1 至 2 页,第二部分 3 至 4 页,共 4 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上及试题卷,草稿纸上答题无效,满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 球的表面积公式

s = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

4 v = π R2 3
其中 R 表示球的半径

Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p ) n ? k (k = 0,1, 2,...n)
第一部分(选择题 注意事项: 1.选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2.本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 (A) 共 60 分)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

答案:B 解析:从 31.5 到 43.5 共有 22,所以 P = 2、复数 ?i + =

22 1 = 。 66 3

1 i

(A) ? 2i (B)

1 i (C)0 (D) 2i 2
-1-

答案:A 解析: ?i + = ?i ? i = ?2i 3、 l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ⊥ l2 , l2 ⊥ l3 ? l1 l3 (B) l1 ⊥ l2 , l2 l3 ? l1 ⊥ l3 (C) l2 l3 l3 ? l1 , l2 , l3 共面 (D) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 答案:B 解析:A 答案还有异面或者相交,C、D 不一定 4、如图,正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF =

1 i

(A)0 (B) BE (C) AD (D) CF 答案 D 解析: BA + CD + EF = BA + AF + EF = BF + EF = CE + EF = CF 5、5 函数, f ( x) 在点 x = x0 处有定义是 f ( x) 在点 x = x0 处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 不必要的条件 答案:B 解析:连续必定有定义,有定义不一定连续。
2 2 2

(C)充要条件

(D)既不充分也

6.在 ? ABC 中. sin ≤ sin B + sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是 (A)(0,

π
6

]

(B)[

π
6

, π ) (c)(0,

π
3

]

(D) [

π
3

,π )

答案:C 解 析

















a 2 ≤ b 2 + c 2 ? bc ? b 2 + c 2 ? a 2 ≥ bc ?

b2 + c2 ? a2 1 π ≥ 1 ? cos A ≥ ? 0 < A ≤ bc 2 3

7.已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x > 0 时, f ( x) = ( ) + 1 ,则 f ( x) 的反函数的图像大
x

1 2

致是

-2-

答案:A 解析:由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域,原函数的定义域为反函数的值域。 当 x > 0, 0 < ( ) < 1, ? 1 < y < 2 ,故选 A
x

1 2

8. 数 列 {an } 的 首 项 为 3 , {bn } 为 等 差 数 列 且 bn = an +1 ? an ( n ∈ N *) . 若 则 b3 = ?2 ,

b10 = 12 ,则 a8 =
(A)0 B 解 析 (B)3 (C)8 (D)11











bn = 2n ? 8, an +1 ? an = 2n ? 8,









(a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + ? + (a8 ? a7 ) = ?6 + ?4 + ?2 + 0 + 2 + 4 + 6 = 0 ? a8 = a1 = 3
9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用 的每吨甲型卡车虚配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工 人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元 答案:C

?0 ≤ x ≤ 8 ?0 ≤ y ≤ 7 ? ? 解析:由题意设派甲,乙 x, y 辆,则利润 z = 450 x + 350 y ,得约束条件 ? x + y ≤ 12 画出 ?10 x + 6 y ≥ 72 ? ?2 x + y ≤ 19 ?
可行域在 ?

? x + y ≤ 12 ?x = 7 的点 ? 代入目标函数 z = 4900 ?2 x + y ≤ 19 ?y = 5

10.在抛物线 y = x 2 = ax ? 5( a≠0) 上取横坐标为 x1 = ?4 , x = 2 的两点,过这两点引一条
2

割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5 x 2 + 5 y 2 = 36 相切, 则抛物线顶点的坐 标为

-3-

(A) ( ?2, ?9)

(B) (0, ?5)

(C) (2, ?9)

(D) (1, ?6)

答案:A 解析:由已知的割线的坐标

(?4,11 ? 4a ), (2, 2a ? 1), K = 2 ? a ,设直线方程为 y = (a ? 2) x + b ,则

36 b2 = 又 5 1 + (2 ? a) 2

? y = x 2 + ax ? 5 ? b = ?6 ? a = 4 ? (?2, ?9) ? y = (a ? 2) x + b ?
11. 已 知 定 义 在 [ 0, +∞ ) 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) = 3 f ( x + 2) , 当 x ∈ [ 0, 2 ) 时 ,

f ( x) = ? x 2 + 2 x .设 f ( x ) 在 [ 2n ? 2, 2n ) 上的最大值为 an (n ∈ N *) ,且 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 lim S n =
n →∞

(A)3 答案:D 解 析

(B)

5 2


(C)2

(D)

3 2







f ( x + 2) =

1 f ( x) 3

,



[2n ? 2, 2n]





1 1 ? ( )n 1 1 2 1 n ?1 3 ? lim S = 3 n = 1, f ( x) = 1, n = 2, f ( x) = , n = 3, f ( x) = ( ) ? an = ( ) ? S n = n 1 3 3 3 2 1? 3
12.在集合 {1, 2,3, 4,5} 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 α = (a , b) . 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行 四边形的个数为 n ,其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 m ,则 ... (A)

m = n

4 15

(B)

1 3

(C)

2 5

(D)

2 3
2

答案:D

由 基本事件: (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,5), (4,3), n = C6 = 3 × 5 = 15 其中面积为 1 的平行四边
形 的 个 数 (2,3)(4, 5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其 中 面 积 为 2 的 平 行 四 边 形 的 个 数 为

(2,3)(2, 5); (2,1)(2,3) 其中面积为 3 的平行四边形的个数 (2,3)(4,3);(2,1)(4,5) 其中面积为 4
的平行四边形的个数 (2,1)(2,5);(4,1)(4, 3); (4, 3)(4,5) 其中面积为 5 的平行四边形的个数

(2,3), (4,1); (2,5)(4,5) ;其中面积为 7 的平行四边形的个数 (2,5), (4, 3) 其中面积为 8 的平
-4-

行四边形的个数 (4,1)(4, 5) 其中面积为 9 的平行四边形的个数 (2,5), (4,1) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.计算 (lg 答案: ?20
1 ? 1 1 1 解析: (lg ? lg 25) ÷ 100 2 = lg ÷ = ?20 4 100 10 1 ? 1 ? lg 25) ÷ 100 2 = 4

.

15.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改圆柱的 . 侧面积之差是 答案: 2π R 解 析
2



S侧 = 2π r ? 2 R 2 ? r 2 = 4π r 2 ( R 2 ? r 2 ) ? S侧 max
R2 2 ?r= R ,则 4π R 2 ? 2π R 2 = 2π R 2 2 2





r 2 = R2 ? r 2 ? r 2 =

16.函数 f(x) 的定义域为 A,若 x1,x 2 ∈ A且f(x1) (x 2) =f 时总有

x1 =x 2,则称f(x) 为单函数.例如,函数 f(x) =2x+1( x ∈ R )是单函数.下列命
题: ① 函数 f(x) x 2 (x ∈ R)是单函数; = ② 若 f(x) 为单函数, x1,x 2 ∈ A且x1 ≠ x 2,则f(x1) f(x 2); ≠ ③ 若 f:A → B 为单函数,则对于任意 b ∈ B,它至多有一个原象; ④ 函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. .(写出所有真命题的编号) 其中的真命题是

-5-

答案:②③ 解析 :①错,∵ x1 = ± x2 ,②③④正确。 三、解答题 17、 已知函数 f ( x ) = sin( x +

7 3 π ) + cos( x ? π ), x ∈ R 4 4

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( β ? a ) =

4 4 π , cos( β + α ) = ? , (0 < α < β ≤ ) ,求证: [ f ( β )]2 ? 2 = 0 5 5 2

7π 7π 3π 3π + cos x sin + cos x cos + sin x sin 4 4 4 4 解析: = 2 sin x ? 2 cos x f ( x) = sin x cos = 2 sin( x ? ) 4
∴T = 2π , f ( x) max = 2

π

4 cos( β ? α ) = cos α cos β + sin α sin β = …… (1) 5 4 cos( β + α ) = cos α cos β ? sin α sin β = ? ?? (2) (2) 5 cos α cos β = 0
∵0 < α < β ≤

π
2

? cos β = 0 ? β =

π
2

∴ f ( β ) = 2 ? ( f ( β )) 2 ? 2 = 0

18、本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准 是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小 时计算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率 分别为

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过 4 2 2 4

四小时。 (Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列与数学期望 Eξ ; 解析:

-6-

(1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为 P = 1 元为 P3 =

1 1 1 1 1 1 ? = ,付 2 元为 P2 = ? = ,付 4 4 2 8 2 4 8

1 1 1 ? = 4 4 16 5 16

则所付费用相同的概率为 P = P + P2 + P = 1 3

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ξ , ξ 可为 0, 2, 4, 6,8

P(ξ = 0) = P(ξ P(ξ P(ξ P(ξ

1 8 1 1 1 1 5 = 2) = ? + ? = 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 = 4) = ? + ? + ? = 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 = 6) = ? + ? = 4 4 2 4 16 1 1 1 = 8) = ? = 4 4 16

分布列

ξ
P Eξ =

0

2 5 16

4 5 16

6 3 16

8 1 16

1 8

5 5 9 1 7 + + + = 8 4 8 2 2

19.(本小题共 l2 分) 如图,在直三棱柱 AB-A1B1C1 中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D 是棱 CC1 上的一 P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1∥平面 BDA. (I)求证:CD=C1D: (II)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点 C 到平面 B1DP 的距离.

解析: (1)连接 B1 A 交 BA1 于 O ,∵ B1 P // 面BDA1 , B1 P ? 面AB1 P, 面AB1 P ∩ 面BA1 D = OD,

-7-

∴ B1 P // OD

,



O



B1 A









∴ D为AP







∴ C1为A1P ,∴?ACD ? ?PC1 D ∴ C1 D = CD ,D 为 CC1 的中点。
(2)由题意 AB ⊥ AC , AB ⊥ AA1 ? AB ⊥ 面AA1C1C ,过 B 作 AH ⊥ AD ,连接 BH ,则

BH ⊥ AD , ∴∠AHB 为 二 面 角 A ? A1 D ? B 的 平 面 角 。 在 ?AA1 D 中 ,

2 5 5 5 2 5 3 5 AH 2 AA1 = 1, AD = , A1 D = ,则 AH = , BH = , cos ∠AHB = = 5 = BH 3 5 3 2 2 5 5 5
(3)因为 VC ? B1PD = VB1PCD ,所以 h ? S ?B1PD =

1 3

1 A1 B1 ? S ?PCD , A1 B1 = 1 3

S ?PCD = S ?PC1C ? S ?PC1D =

1 1 1 ? = , 2 4 4

9 5 +5? 3 5 4 = 2 5 ,sin ∠DB P = 5 , .cos ∠DB1P = 4 在 ?B1 DP 中, B1D = , B1P = 5, PD = 1 3 2 2 5 5 2? ? 5 2 ∴ S ?B1PD = 1 3 5 3 1 ? ? 5? = ,h = 2 2 5 4 3

20.(本小题共 12 分) 设 d 为非零实数, an =

1 1 2 n (Cn d + 2Cn d 2 + ? + (n ? 1)Cn ?1 d n ?1 + nCnn d n ](n ∈ N * ) n

(1)写出 a1 , a2 , a3 并判断 {an } 是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由; (II)设 bn = ndan ( n ∈ N ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
*

解析: (1)

a1 = d a2 = d (d + 1) a3 = d (d + 1) 2
0 1 n an = Cn d + Cn d 2 + Cn2 d 3 + ? + Cn ?1d n = d (1 + d )n ?1

an +1 = d (1 + d ) n an +1 = d +1 an
因为 d 为常数,所以 {an } 是以 d 为首项, d + 1 为公比的等比数列。

-8-

bn = nd 2 (1 + d ) n ?1
(2) S n = d (1 + d ) + 2d (1 + d ) + 3d (1 + d ) + ?? + nd (1 + d )
2 0 2 1 2 2 2 n ?1

= d 2 [(1 + d )0 + 2(1 + d )1 + 3(1 + d ) 2 + ?? + n(1 + d )n ?1 ](1)
(1 + d ) S n = d 2 [(1 + d )1 + 2(1 + d ) 2 + 3(1 + d )3 + ?? + n(1 + d ) n ](2)

1? (1 ? (1 + d )n ) (2) ? (1) = dS n = ?d [ + d 2 n(1 + d )n = d + (d 2 n ? d )(1 + d ) n 1 ? (1 + d )
2

∴ S n = 1 + (dn ? 1)(1 + d )n
21.(本小题共 l2 分) 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点, 并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (I)当|CD | =

3 2 时,求直线 l 的方程; 2

(II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值。

解析:由已知可得椭圆方程为

y2 + x 2 = 1 ,设 l 的方程为 y ? 1 = k ( x ? 0), k 为 l 的斜率。 2
4 ? ? y1 + y2 = 2 + k 2 ? ? 2 ? y y = ?2 k + 2 ? 1 2 2 + k2 ?

2k ? ? y = kx + 1 ? x1 + x2 = ? 2 + k 2 ? ? 则 ? y2 ? (2 + k 2 ) x 2 + 2kx ? 1 = 0 ? ? 2 ? + x =1 ? x x = ?1 ?2 ? 1 2 2 + k2 ?

( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 =

8k 2 + 8 8k 4 + 8k 2 9 + = ? k2 = 2 ? k = ? 2 2 2 2 2 (2 + k ) (2 + k ) 2

∴ l 的方程为 y = ? 2 x + 1

-9-

22.(本小题共 l4 分) 已知函数 f ( x ) =

2 1 x + , h( x) = x 3 2

(I)设函数 F ( x ) = f ( x ) ? h( x ) ,求 F ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ∈ R ,解关于 x 的方程 log 4 [ (Ⅲ)试比较 f (100) h(100) ? 22、解析: (1) F ( x ) =
100

3 3 f ( x ? 1) ? ] = log 2 h(a ? x) ? log 2 (4 ? x) 2 4
1

∑ h(k ) 与 6 的大小.
k =1

2 1 x+ ? x, 3 2
1

F ' ( x) =

2 1 ?2 ? x 3 2

F ' ( x) > 0 ? x >

9 ; 16 9 16

令 F ' ( x) < 0 ? 0 ≤ x <

F ' ( x) = 0 ? x =
所以 x =

9 16

9 1 1 是其极小值点,极小值为 。 x = 0 是其极大值点,极大值为 16 8 2 3 3 (2) f ( x ? 1) ? = x ? 1 ; 2 4
log 2 h(a ? x) ? log 2 (4 ? x) = log 2

a?x
4? x

由 log 4 [

3 3 a?x f ( x ? 1) ? ] = log 2 h(a ? x) ? log 2 (4 ? x) ? log 2 ( x ? 1) = log 2 4 2 4? x

x ?1 =

a?x ? x2 ? 6 x + a + 4 = 0 4? x

10 36 ? 4(a + 4) < 0 ? a > 5 时方程无解 20 36 ? 4(a + 4) = 0 ? a = 5 时 x = 3 30 36 ? 4(a + 4) > 0 ? a < 5 方程的根为 x1 = 3 + 5 ? a , x2 = 3 ? 5 ? a
(3) F (100) h(100) =

2015 100 , ∑ h( k ) = 1 + 2 + 3 + ? + 100 3 k =1

- 10 -


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