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甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质及应用教案 新人教A版选修1-1


甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质 及应用教案 新人教 A 版选修 1-1

?F1PF2 ? ? , 则 S ?F1PF2 ? b 2 tan
? (2c) 2 ? F1 F2
2 2

?
2


2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?

2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? 2 PF 1 PF 2 (1 ? cos? )

? PF1 PF2 ?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 4c 2 2(1 ? cos? )

?

4a 2 ? 4c 2 2b 2 ? 2(1 ? cos? ) 1 ? cos?

? S?F1PF2

1 b2 ? ? PF1 PF2 sin ? ? sin ? ? b 2 tan 2 1 ? cos ? 2 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 左右两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 , a2 b2

性质二:已知椭圆方程为

若 ?F1 PF2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点。 证明:设 P( xo , yo ) ,由焦半径 公式可知: PF 1 ? a ? exo , PF 1 ? a ? exo 在 ?F1 PF2 中, cos? ?

PF1 ? PF1 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

2

2

?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2

?
? ?a ? x 0 ? a

2b 2 4a 2 ? 4c 2 4b 2 ?1 ?1 ? ?1= 2 2 2 PF1 PF2 2(a ? exo )(a ? exo ) a ? e 2 xo
2 ? xo ? a2

x2 y2 性质三 : 已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 a b

?F1 PF2 ? ? , 则 cos? ? 1 ? 2e 2 .
证明:设 PF 1 ?r 1 , PF 2 ? r2 , 则在 ?F 1 PF2 中,由余弦定理得:
1

cos? ?

r12 ? r22 ? F1 F2 (r ? r ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 ? 1 2 ? ?1 2r1r2 2r1r2 2r1r2
? 2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e 2 . 2 r1 ? r2 2 2a 2( ) 2
命题得证。

2

(2000 年高考题)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在一点 P, a2 b2

使得 ?F1 PF2 ? 1200 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。 简解:由椭圆 焦点三角形性质可知 cos120 ? 1 ? 2e . 即 ?
0 2

1 ? 1 ? 2e 2 2

,

于是得到 e 的取值范围是 ?

? 3 ? ,1? ?. 2 ? ?

性质四 :已知椭圆 方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 , a2 b2
sin(? ? ? ) 。 sin ? ? sin ?

?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则椭圆的离心率 e ?
?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,
由正弦定理得:

F 1F2 sin(180 ? ? ? ? )
o

?

PF2 sin ?

?

PF1 sin ?

由等比定理得:

F 1F2 sin(? ? ? )

?

PF 1 ? PF2 sin ? ? sin ?
∴e ?



F 1F2 sin(? ? ? )

?

PF 1 ? PF2 2c 2a , ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? sin ? ? sin ?

c sin(? ? ? ) ? 。 a sin ? ? sin ?

已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|P F2| 的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若 点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,求 tanF1PF2.

解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b= 3 ∴椭圆的方程为

x2 y2 ? =1. 4 3
2

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2F1=60°-θ

? 椭圆的离心率 e ?

1 2



1 sin(180o ? ? ) ? ? 2 sin 120o ? sin(60o ? ? )

sin ? 3 ? sin(60o ? ? ) 2



整 理得:5sinθ = 3 (1+co sθ )

3 2? ? 3 sin ? 3 5 3 5 ? ∴ 故 tan ? ,tanF1PF2=tanθ = . ? 3 1 ? cos ? 5 11 2 5 1? 25 教学反思:

3



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