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高中数学知识点总结


一、集合与常用逻辑 集合与常用逻辑 空集 子集

φ?A
A ? B :任意 x ∈ A ? x ∈ B

A∩ B = A ? A ? B
1.四种命题 原命题

A∪ B = B ? A ? B
? 逆命题
的必要条件: p 是 q 的必要条件: 的充要条件: p 是 q 的充要条件:

? 逆否命题

否命题

2.充分必要条件:p 是 q 的充分条件 充分必要条件: 3.复合命题的真值 ①q 真(假)?“

?q ”假(真)②p、q 同真?“p∧q”真 ③p、q 都假?“p∨q”假 同真? 都假?

4.全称命题、存在性命题的否定 全称命题、 函数概念与性质 二、函数概念与性质 1.奇偶性 f(x)偶函数 f(x)偶函数 f(x)奇函数 f(x)奇函数

注:①f(x)有奇偶性 f(x)有奇偶性

②f(x)奇函数,在 x=0 有定义 f(x)奇函数, 奇函数

? f (? x) = f ( x) ? ? f (? x) = ? f ( x) ? ? ?
定义域关于原点对称 f(0)=0

f(x)图象关于 f(x)图象关于

y 轴对称

f(x)图象关于原点对称 f(x)图象关于原点对称 图象关于

(公共定义域内) ③“奇+奇=奇” 公共定义域内) 2.单调性 f(x)增函数: f(x)增函数:x1<x2 增函数 或

? f(x )<f(x )
1 2

或 x1>x2

? f(x ) >f(x )
1 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0 x1 ? x 2

f(x)减函数:? f(x)减函数:? 减函数 判断单调性必须考虑 单调性必须考虑定义域 注:①判断单调性必须考虑定义域 f(x)单调性 单调性判断 ②f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法 定义法、图象法、性质法“增+增=增” 奇函数在对称区间上单调性相同 ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3.周期性

T 是 f (x) 周期 ? f (x +T) = f (x) 恒成立(常数 T ≠ 0 ) 恒成立(
4.二次函数 2 解析式: +bx+c,f(x)=a(x- 2 解析式: f(x)=ax +bx+c,f(x)=a(x-h) +k f(x)=a(x- )(xf(x)=a(x-x1)(x-x2)

?b x= 对称轴: 对称轴: 2a
单调性:a>0, 单调性:a>0, ( ?∞

b 4 ac ? b , 顶点: 顶点: ( ? 2a 4a
,?

2

)

b b , +∞ ) 递增 ] 递减, [ ? 递减, 2a 2 a
min

4 ac ? b 2 ?b 当x = ,f(x) = 4a 2a
奇偶性: 奇偶性:f(x)=ax +bx+c 是偶函数
2

? b=0

闭区间上最值: 闭区间上最值: 配方法、图象法、讨论法--配方法、图象法、讨论法--注意对称轴与区间的位置关系 注:一次函数 f(x)=ax+b 奇函数 三、基本初等函数

?

b=0

1.指数式 指数式

a = 1 ( a ≠ 0) a
0

?n

n 1 = n a m = m an a
(a>0,a≠1) a>0,a≠

2.对数式 对数式

log a N = b ? a b = N

log a MN = log a M + log a N
log a M = log a M ? log a N N

log a M n = n log a M
loga b = logm b lg b = logm a lg a
= 1 logb a

log a b = log a n b n
注:性质

log a a = 1 a log a N = N 常用对数 lg N = log10 N , lg 2 + lg 5 = 1
log a 1 = 0

自然对数

ln N = log e N , ln e = 1
y=a 与 y=logax
x

3.指数与对数函数 指数与

定义域、值域、过定点、单调性? 定义域、值域、过定点、单调性? x 注:y=a 与 y=logax 图象关于 y=x 对称 互为反函数) (互为反函数)

4.幂函数

y = x 2 , y = x3 , y = x , y = x ?1
α >1
0<α <1

1 2

y = xα 在第一象限图象如下: 在第一象限图象如下:
α <0

四、函数图像与方程 1.描点法 函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调) 函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调) 取特殊点如零点、 取特殊点如零点、最值点等 2.图象变换 平移: 左加右减,上正下负” 平移: 左加右减,上正下负” “

y = f ( x) → y = f ( x + h)
每一点的横坐标变为原 来的 ? 倍 ? 伸缩: y = f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? → y = f ( 伸缩:

1

?

x)

对称: 对称谁,谁不变,对称原点都要变 “ 对称: 对称谁,谁不变,对称原点都要变”

x轴 y = f ( x) ??→ y = ? f ( x) y轴 y = f ( x) ??→ y = f (?x)

y = f ( x) ?原点 y = ? f (?x) ?→ ?

注:

y = f (x )

直线



x = a

y = f ( 2a ? x)

翻折: 翻折:

y = f (x) → y =| f ( x) | 保留 x 轴上方部分, 轴上方部分,
并将下方部分沿

x
a

轴翻折到上方
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

o

b

c

x

a

o

b

c

x

y = f (x) → y = f (| x |) 保留 y 轴右边部分, 轴右边部分, 并将右边部分沿 y 轴翻折到左边
y

y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

3.零点定理 零点定理


f ( a ) f (b) < 0 ,则 y = f (x ) 在 (a, b) 内有零点
f (x) 在 [ a , b ] 上图象连续不间断) 上图象连续不 续不间

(条件: 条件:

注:①

f (x) 零点: f ( x ) = 0 的实根 零点:

②在

[ a , b ] 上连续的单调函数 f (x) , f (a ) f (b) < 0 上有且仅有一个零点 则 f (x ) 在 ( a , b ) 上有且仅有一个零点
f ( a ) f (b ) < 0 ?
五、导数及其应用

③二分法判断函数零点--二分法判断函数零点--判断函数零点

2.导数公式 导数公

(C ) ′ = 0 (C 为常数) ( x n )′ = n ? x n ?1
(sin x) ′ = cos x
(cos x ) ′ = ? sin x

( e x )′ = e x

(ln x)′ = 1 / x

(u ± v) ' = u ' ± v ' .
? u ? u ' v ? uv' ? ? = v2 ?v?
3.导数应用
单调性: 单调性:如果
如果
/

(uv) ' = u ' v + uv ' . (Cu ) ' = Cu ' .
' ' y x = y u . u x'

f ' ( x) > 0 ,则 f (x) 为增函数
f ' ( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数
f (x) “左增 右减 ↗ ↘ ”


极大值点:在 x 0 附近

极小值点:在 x 0 附近

f (x) “左减 右增 ↘ ↗ ”

f ' ( x0 ) = 0

求极值: 求极值:

f (x) 定义域 f ' ( x) → f ' ( x) 零点→ 列表: 定义域→ x 范围、 f ' ( x) 符号、 f ( x) 增减、 f ( x) 极值

求[a,b]上最值: [a,b]上最值: 上最值

f ( x) 在(a,b)内极值与?(a)、?(b)比较
f / ( x) = 3ax 2 + 2bx + c
a > 0, ? > 0 a < 0, ? > 0

4.三次函数(利用导数中图像的特征、单调性、极值) 三次函数(利用导数中图像的特征、单调性、极值)

f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
图象特征: “↗ ↘ ↗ ” 极值情况: “↘ ↗ ↘ ”

? > 0 ? f ( x ) 有 极值 ? ≤ 0 ? f ( x) 无极值

5.定积分
定理:



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a) 其中 F ' ( x) = f ( x)

性质: a



b

kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k 为常数)
a

b



b

a

f ( x) ± g ( x)dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a a

b

b

应用: ①由直线 x=a,x=b,x 轴及曲线 y=f(x)

(f(x)≥0)围成曲边梯形面积 S = ∫ f ( x ) dx

b

a

②如图, f2(x) 围


曲 线 y1 = 在[a, b]上 成图形的 梯形 AMNB-S 曲

f1(x),y2= 面积 S=S 曲
边梯形 DMNC

= a



b

f1 ( x) dx ? ∫ f 2 ( x) dx
a
六、三角函数

b

1.概念

( 2kπ + 第二象限角

π
2

,2kπ + π ) ( k ∈ Z 1 lr 2

)

2.弧长

l = α ?r
sin α =
其中

S= 扇形面积

3.定义

y x cos α = r r
终边上一点,

tan α =

y x

P ( x, y ) 是 α

PO = r

4.符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”

“ 5.诱导公式: 奇变偶不变,符号看象限” 诱导公式: 奇变偶不变,符号看象限”


Sin(2π ? α ) = ? sin α , cos(π / 2 + α ) = ? sin α

6.基本公式

同角

sin 2 α + cos 2 α = 1

sin α = tan α cos α

和差

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
tan α ± tan β 1 ? tan α tan β

cos(α ± β ) = cosα cos β ? sin α sin β
tan (α ± β ) =

倍角

sin 2α = 2 sin α cos α
2 tan α 1 ? tan 2 α
1 ? cos 2α sin2α sin2α= 2

2 2 2 2 cos α =cos α ?sin α = 2cos α ?1=1?2sin α 2

tan 2α =

1 + cos 2α cos2α 降幂 cos2α= 2
叠加

sin α + cos α = 2 sin(α + ) 4
3 sin α ? cos α = 2 sin(α ? ) 6

π

π

a a sin α + b cos α = a 2 + b2 sin(α + ? ) (tan ? = ) b
9.解三角形 . 基本关系:sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC

tan(A+B)=-tanC

sin

A+ B C = cos 2 2

a b c 正弦定理: = = 正弦定理: sin A sin B sin C

a = 2 R sin A a : b : c = sin A : sin B : sin C
余弦定理: 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA(求边)

b2 + c2 ? a2 cosA= 2bc
1 面积公式:S△= absinC 2
注:

(求角)

?ABC 中,A+B+C=?
π
2 2 2

A < B ? sin A < sin B

a >b +c ?∠A>

2

七、数列
1、等差数列 、 定义: 定义:

a n +1 ? a n = d

通项: 通项: a n

= a1 + (n ? 1)d

n(a1 + a n ) Sn = 求和: 求和: 2 1 = na1 + n(n ? 1)d 2
性质: 性质:若 2、等比数列 、

b= 中项: 中项:

a+c 2

m + n = p + q ,则 a m + a n = a p + a q
通项: 通项:

a n +1 = q (q ≠ 0) 定义: 定义: a n
? na1 (q = 1) ? S n = ? a1 (1 ? q n ) 求和: 求和: (q ≠ 1) ? 1? q ?
性质: 性质:若

an = a1q n ?1

中项: 中项:

b 2 = ac

m+n= p+q



am ? an = a p ? aq

3、数列通项与前 、

n 项和的关系

?s1 = a1 (n = 1) an = ? ?s n ? s n ?1 (n ≥ 2)
4、数列求和常用方法 、 公式法、裂项法、 错位相减法、 公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

八、不等式
1.一元二次不等式解法 若

a > 0 , ax 2 + bx + c = 0 有两实根 α , β (α < β ) ,则

ax 2 + bx + c < 0 解集 (α , β ) ax 2 + bx + c > 0 解集 (?∞, α ) ∪ (β ,+∞)

注:若

a < 0 ,转化为 a > 0 情况

2.其它不等式解法—转化 其它不等式解法—

x < a ? ?a < x < a ? x 2 < a 2
x > a ? x > a 或 x < ?a ? x2 > a 2
f ( x) >0 g ( x)

?

f ( x) g ( x) > 0

a f ( x ) > a g ( x ) ? f ( x) > g ( x) ( a

> 1)
a < 1)

log a f ( x) > log a g ( x) ? ?
3.基本不等式 ①

? f ( x) > 0 ? (0 < ? f ( x) < g( x) ?

a 2 + b 2 ≥ 2ab
a+b ≥ ab 2

+ ②若 a, b ∈ R ,则

注:用均值不等式 a + b ≥ 2 ab 求最值条件是“一正二定三相等” 求最值条件是“一正二定三相等” 4.平面区域与线性规划 不等式表示的平面区域判断: 不等式表示的平面区域判断: ①在直线

ab ≤ ( 、

a+b 2 ) 2

Ax + By + C = 0 一侧取一个特殊点 ( x0 , y0 )

(通常是原点) 通常是原点)

②由

Ax0 + By0 + C 的正负,判断 Ax + By + C > 0 表示 的正负,
Ax + By + C ,得到实数的符号都相同

直线哪一侧的平面区域 注:直线同侧所有点的坐标代入

线性规划问题的一般步骤: 线性规划问题的一般步骤: 设所求未知数; 列约束条件(不等式组) ①设所求未知数;②列约束条件(不等式组) ; 建立目标函数; 作可行域; ③建立目标函数;④作可行域;⑤求最优解

例:设

x, y

? x ? 4 y ≤ ?3 ? 3 x + 5 y ≤ 25 满足 ? ?x ≥ 1 ?

y

x =1 C

A x ? 4y + 3 = 0
B
O

3x + 5y ? 25 = 0 x

求 当 过 当 过

z = 2 x + y 最值
最大, 最大, 最小

l A(5, 2) 时, z l B (1,1) 时, z

九、复数与推理证明 复数与推理证明
1.复数概念 复数: 复数:

z = a + bi (a,b ∈ R ) ,实部 a、虚部 b b = 0 ) 虚数( b ≠ 0 ) 复数集 C ,虚数 ,复数集 ,虚数( ,

分类:实数( 分类:实数( 注:

z 是纯虚数 ? a = 0 , b ≠ 0
模:

相等: 相等:实、虚部分别相等 共轭: 共轭:

z = a ? bi

z = a2 + b2

z?z = z

2

复平面:复数 z 对应的点 复平面:

( a, b)

2.复数运算 加减: a+bi) (c+di)=? (a+bi 加减: a+bi)±(c+di)=? ( 乘法: a+bi) +di) (a+bi ( (c 乘法: a+bi) c+di)=? ( 除法: 除法:

a + bi (a + bi)(c ? di) c + di = (c + di)(c ? di) ==…

乘方: 乘方:

i 2 = ?1 , i n = i

4k +r

= ir

3.合情推理 类比: 归纳: 类比:特殊推出特殊 归纳:特殊推出一般 演绎: 般导出特殊(大前题→小前题→结论) 演绎:一般导出特殊(大前题→小前题→结论) 4.直接与间接证明 综合法: 综合法:由因导果 比较法:作差—变形—判断— 比较法:作差—变形—判断—结论 反证法:反设—推理—矛盾— 反证法:反设—推理—矛盾—结论 分析法: 分析法:执果索因 分析法书写格式: 分析法书写格式: 要证 A 为真,只要证 B 为真,即证……, 为真, 为真,即证……, …… 为真, 为真, 这只要证 C 为真,而已知 C 为真,故 A 必为真 常用分析法探索证明途径, 注:常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程 数学归纳法: 5.数学归纳法: (1)验证 (1) 验证 当 n=1 时 命题成立 ,

(2)假设 n=k(k∈ 1)时命 (2) 假设 当 n=k(k ∈ N* , k ≥ 1) 时命 题成立 , 证明 当 n=k+1 时命 题也成立 (1)(2)知这命题对所有正整数 由 (1)(2) 知这命题对所有正整数 n 都成立 数学归纳法证题时 两步缺一不可 证题时, 缺一不可, 注 : 用 数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用 三.算法案例 算法案例 1、求两个数的最大公约数 、 辗转相除法: 辗转相除法:到达余数为 0 更相减损术: 更相减损术:到达减数和差相等 2、多项式 、

f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 的求值

秦九韶算法: v1=anx+an-1 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 vn=vn-1x+a0 注:递推公式 v0=an vk=vk-1X+an-k(k=1,2,…n) 求 f(x)值,乘法、加法均最多 n 次 3、进位制间的转换 进制数转换为十进制数: k 进制数转换为十进制数:

a n a n ?1 .....a1 a 0 ( k ) = a n × k n + a n ?1 × k n ?1 + ......... + a1 × k + a 0
进制数: 取余法” 十进制数转换成 k 进制数: 除 k 取余法” “ 辗转相除法求得 例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 例 2 已知 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求 f(5) 6x+7,秦九韶算法求 123=2×48+27 v0=2 48=1×27+ =2× 48=1×27+21 v1=2×5-5=5 27=1×21+6 v2=5×5-4=21 21=3×6+ =21× 21=3×6+3 v3=21×5+3=108 =108× 2×3+0 6=2×3+0 v4=108×5-6=534 =534× v5=534×5+7=2677 十一、 十一、平面向量 向量加减 三角形法则,平行四边形法则 三角形法则, 1.向量加减

AB + BC = AC 首尾相接, OB ? OC = CB 共始点 首尾相接,
中点公式: 中点公式:

AB + AC = 2 AD ? D 是 BC 中点

2.

向量数量积 向量数量积

a ?b
0

=

a ? b ? cos θ
0

=

x1 x 2 + y1 y 2

注:①

a,b

夹角:00≤θ≤1800 夹角: ≤θ≤180



a, b 同向: a ? b = a ? b 同向:

3.基本定理

a = λ1e1 + λ 2 e2 ( e1 , e2 不共线--基底) 不共线--基底) --基底

平行: 平行:

a // b ? a = λ b ? x1 y 2 = x 2 y1 ( b ≠ 0 )
a⊥b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y 2 = 0


垂直: 垂直:

模:

a

x +y
2

2

a+b

2

= (a + b)2 = ?

夹角: 夹角:

cosθ =


a ?b | a || b |

注:①

0∥a

a ? b ? c ≠ a ? b ? c (结合律)不成立 结合律)

( ) ( )



a ?b = a ?c

? b = c (消去律)不成立 消去律)

1.三视图

十二、立体几何 十二、 正视图、侧视图、 正视图、侧视图、俯视图

2.直观图:斜二测画法 直观图:斜二测画法

∠X 'O 'Y ' =45

0

的线段, 平行 X 轴的线段,保平行和长度 的线段,保平行, 平行 Y 轴的线段,保平行,长度变原来一半 体积与侧面积 3.体积与侧面积

V 柱=S 底 h

1 V 锥 = S 底h 3
S 圆台侧=

4 V 球= π R3 3
S 球表

S 圆锥侧=

πrl

π ( R + r )l

4πR 2 =

确定一个平面的条件: 一个平面的条件 4.公理与推论 确定一个平面的条件: 线的三点 ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线 公理: 公理:平行于同一条直线的两条直线平行 定理:如果两个角的两条边分别对应平行, 定理:如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。 那么这两个角相等或互补。 相交、平行、 5.两直线位置关系 相交、平行、异面 异面直线——不同在任何一个平面内 ——不同在 异面直线——不同在任何一个平面内 6.直线和平面位置关系

a ?α

a ∩α = A

a // α

7.平行的判定与性质 .平行的判定与性质 线面平行: 线面平行:

a ∥ b , b ? α , a ? α ? a ∥α a ∥α , a ? β , β ∩α = b ? a ∥ b
面面平行: 面面平行:

β

a b

α

AB ∥ α , AC ∥ α ? 平面 ABC ∥ α

α ∥β ,a ?α ? a∥β
8.垂直的判定与性质 .垂直的判定与性质 的判定与 线面垂直: 线面垂直:

p ⊥ AB , p ⊥ AC ? p ⊥ 面ABC
a ⊥ α,a ? β ? β ⊥ α

面面垂直: 面面垂直:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直; 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直; 两个平面垂直, 若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

PO ⊥ α , AO ⊥ a ? PA ⊥ a PO ⊥ α , PA ⊥ a ? AO ⊥ a
在平面内的一条直线, 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直 逆定理? 逆定理? 9.空间角、距离的计算 空间角、 范围( 90° 异面直线所成的角 范围(0°,90°] 平移法:转化到一个三角形中, 平移法:转化到一个三角形中,用余弦定理 范围[0 [0° 90° 直线和平面所成的角 范围[0°,90°] 定义法: 直线在平面内射影, 定义法:找直线在平面内射影,转为解三角形 二面角 范围[0°,180°] 范围[0° 180° [0 定义法:作出二面角的平面角, 定义法:作出二面角的平面角,转为解三角形 点到平面的距离 体积法---用三棱锥体积公式 体积法--用三棱锥体积公式 计算过程, 一作二证三求” 注:计算过程, 一作二证三求” “ , 都要写出 10. 10.立体几何中的向量解法
A

三垂线定理: 三垂线定理:

P
O

α

a

法向量求法: 法向量求法:设平面 ABC 的法向量

n =(x,y) x,y)
A B

n ⊥ AB, n ⊥ AC n ? AB = 0, n ? AC = 0
解方程组,得一个法向量 解方程组,得一个法向量

α

C

n

线线角: 线线角:设 1

n , n2 是异面直线 l1 , l2 的方向向量, 的方向向量,

l1 , l2 所成的角为 θ ,则 cos θ =
即 1 线面角: 线面角:

cos < n1 , n2 >

l , l2 所成的角等于 < n1 , n2 > 或 π ? < n1, n2 > 所成的角等于



n 是平面 α

的法向量, 的法向量,

AB 是平面 α
所成的角为



一条斜线, 一条斜线,

AB 与平面 α

θ,



sin θ = cos < n, AB >=

AB ? n AB ? n
的法向量,二面角

二面角:设

n1 , n2

是面

α,β

α ?l ? β

的大小为

θ

,则

cosθ = cos < n1 , n2 > 或 ? cos < n1 , n2 >
即二面角大小等于 < 点到面距离: 点到面距离: 若

n1 , n2 > 或 π ? < n1 , n2 >

AB 是平面 α 的一条斜线段,且 B ∈ α , 的一条斜线段,

n 是平面 α

的法向量, 的法向量,

则点

A 到平面 α

的距离

d=

AB ? n n

十三、 十三、直线与圆

1、倾斜角 范围

[0, π )
y2 ? y1 x2 ? x1

斜率

k = tan α =

注:直线向上方向与 直线向上方向与 向上方向 倾斜角为 2、直线方程 点斜式

x

轴正方向所成的最小正角 正方向所成的最小正角 所成的

90° 时,斜率不存在
x y + =1 a b

y ? y 0 = k ( x ? x0 ) ,斜截式 y = kx + b
y ? y1 x ? x1 = , y 2 ? y1 x 2 ? x1
截距式

两点式

一般式

Ax + By + C = 0

注意适用范围: 注意适用范围:①不含直线 ②不含垂直

x = x0

x 轴的直线

③不含垂直坐标轴和过原点的直线 位置关系(注意条件) 3、位置关系(注意条件)

? k1 = k2 b1 ≠ b2 垂直 ? k1k 2 = ?1 垂直 ? A A2 + B1 B2 = 0 1
平行 4、距离公式 两点间距离: 两点间距离:|AB|= 间距离

( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2
Ax0 + By0 + C A2 + B 2

点到直线距离: 点到直线距离: 距离

d=

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 标准方程: 5、圆标准方程:

圆心 一般方程: 圆一般方程:

(a ,b )

,半径

r
= D2 + E 2 ? 4F 2
相离

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (条件是?) 条件是?)
半径 r

? D E? ? ,? ? 圆心 ? 2? ? 2
直线与圆位置关系 6、直线与圆位置关系 位置关系 几何特征 代数特征 相切

相交

d =r d <r
△= 0

d >r

△> 0 △< 0

注:点与圆位置关系

( x0 ? a)2 + ( y0 ? b)2 > r 2 ?



P ( x0 , y0 ) 在圆外

7、直线截圆所得弦长 直线截圆所得弦长

AB = 2 r 2 ? d 2
十四、 十四、圆锥曲线
一、定义 椭圆: 2a(2a 2a>|F 椭圆: |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 双曲线: 双曲线:|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|) 抛物线: 抛物线:与定点和定直线距离相等的点轨迹 标准方程与几何性质( 几何性质 二、标准方程与几何性质(如焦点在 x 轴)

x2 y2 + 2 = 1 ( a>b>0) a>b>0) 椭圆 2 a b

x2 y2 ? 2 = 1 (a>0,b>0) a>0,b>0) 双曲线 2 a b

中心原点 对称轴? (c,0)、 中心原点 对称轴? 焦点 F1(c,0)、F2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b),双曲线(±a,0) 顶点: 椭圆( a,0), b),双曲线( 范围: 椭圆范围: 椭圆-a≤x≤a,-b≤y≤b 双曲线|x| 双曲线|x| ≥ a,y∈R 焦距: 2c( 焦距:椭圆 2c(c= 2c( 双曲线 2c(c=

a2 ? b2
a2 + b2

) )

2a、2b:椭圆长轴、短轴长, 2a、2b:椭圆长轴、短轴长, 双曲线实轴、 双曲线实轴、虚轴长 离心率:e=c 0<e<1 e<1, 离心率:e=c/a 椭圆 0<e<1,双曲线 e>1

x2 y2 b ? 2 = 1 渐近线 y = ± x 注:双曲线 2 a a b
方程 方程
2

mx 2 + ny 2 = 1 表示椭圆 ? m > 0, n > 0.m ≠ n

mx 2 + ny 2 = 1 表示双曲线 ? mn < 0
顶点(原点) 顶点(原点) 范围 x≥0 对称轴( 对称轴(x 轴) 离心率 e=1

=2px( 抛物线 y =2px(p>0)

开口(向右) 开口(向右)

p F ( ,0 ) 焦点 2

准线 x

=?

p 2

十五、 十五、计数原理 加法分类, 1. 计数原理 加法分类,乘法分步 差异---排列有序而组合无序 ---排列 .. 差异---排列有序而组合无序 2.排列组合 ..

m 公式 An = n( n ? 1) ? ( n ? m + 1) =
m C n = n(n ? 1) ? (n ? m + 1) =

n! (n ? m)!

1× 2 × ? × m

n! m!(n ? m)! ?

Anm = m!C n ? m 关系: 关系:
性质: 性质:

m Cn = Cn

n?m

0 1 2 n Cn + Cn + Cn +?+ Cn = 2n

3.排列组合应用题 排列组合应用题 原则:分类后分步 先选后排, 原则:分类后分步,先选后排,先特殊后一般 解法:相邻问题“捆绑法” 不相邻“插空法” 解法:相邻问题“捆绑法” 不相邻“插空法” , 复杂问题“排除法” 复杂问题“排除法”

4.二项式定理
0 1 2 r n (a +b)n = Cn an +Cnan?1b +Cn an?2b2 +?+Cnan?rbr +?+Cn bn

1 r (1 + x) n = 1 + Cn x + ? + Cn x r + ? + x n 特例

通项 Tr +1


r = C n a n ? r b r (r = 0,2 ?,n) 1,

r C n --- 第 r + 1 项 二 项 式 系 数
赋值法: 赋值法:取

性质:所有二项式系数和为

2n 中间项二项式系数最大

x = 0,1,?1 等代入二项式

十六、概率与统计 十六、概率与统计
1.加法公式:若事件 加法公式:

A 和 B 互斥,则 互斥,

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A ) = 1 ? P A

( )

互斥事件: 互斥事件:不可能同时发生的事件 对立事件:不同时发生, 对立事件:不同时发生,但必有一个发生的事件 2 . 常用抽样 ( 不放回 ) 简单随机抽样:逐个抽取 个数少) 抽取( 简单随机抽样:逐个抽取(个数少) 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多)分层抽样:总体分成几层, 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多)分层抽样:总体分成几层,各层按比例抽取 (总体差异明显) 总体差异明显) 3.用样本估计总体 众数: 众数:出现次数最多的数据 中位数:按从小到大, 中位数:按从小到大,处在中间的一个数据 或中间两个数的平均数) (或中间两个数的平均数)

1 n x = ∑ xi 平均数: 平均数: n i =1
4.频率分布直方图

1 n S = ∑ ( xi ? x) 标准差 s 方差 n i =1
2

频率 小长方形面积=组距× 小长方形面积=组距× 组距 =频率
各小长方形面积之和为 1 众数— 众数—最高矩形中点的横坐标 中位数— 中位数—垂直于

x 轴且平分直方图面积的直线与 x 轴交点的横坐标
十七、 十七、随机变量的概率分布

茎叶图: 茎叶图:由茎叶图可得到所有的数据信息如 众数、中位数、 众数、中位数、平均数等

条件概率 1.条件概率

P ( B A) = 发生条件下 发生: A 发生条件下 B 发生:
2.独立事件的概率 独立事件的概率 同时发生: A、B 同时发生:

P ( AB ) n( B ) P ( A) 或 n( A)

P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )

一般: 一般: 独立, 若 A 与 B 独立,则

P ( AB ) = P ( A) P ( B A)
A 与 B 、 A 与 B 也相互独立

3.独立重复试验的概率 独立重复试验的概率 一次试验中事件 A 发生的概率是 重复这试验, 重复这试验,事件 A 恰好发生 ....

p , n 次独立

k 次: ..

k P (k) = Cn Pk (1? P)n?k n
4.离散型随机变量的概率分布: 离散型随机变量的概率分布: 概率分布 性质

ξ
P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

pi ≥ 0
p1 + p 2 + ? + p n = 1

离散型随机变量的期望与方差 5. 离散型随机变量的期望与方差 定义: 定义:

E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ? + xn pn (平均值) 平均值)

D( X ) = [x1 ? E( X )]2 p1 + [x2 ? E( X )]2 p2 + ?+ [xn ? E( X )]2 pn
性质: 性质:

E (aξ + b) = aEξ + b
6.常用分布 两点分布 两点分布 二项分布 二项分布

D ( aξ + b ) = a 2 Dξ

B(1, P) : E ( Χ) = p , D ( Χ ) = p (1 ? P ) B(n, P) : E ( Χ) = np , D(Χ) = np(1? P)
P(Χ = k) = C nk p k q n ? k

超几何分布 超几何分布 H ( N , M , n) :

E ( Χ) = n ?

M N

D(Χ) = n ?

M M N ?n (1 ? ) ? N N N ?1
( x ? ? )2 2σ 2

P(Χ = k ) = ?

7.正态分布密度函数

? 1 f ( x) = e 2πσ

, x ∈ (?∞, +∞)

性质: 轴上方、 性质:曲线在 x 轴上方、关于
频频/组组

x = ? 对称,曲线与 x 轴围成面积为 1 对称,
内取值的概率等于 变量在区间 ( a, b ) 内取值的概率等于 密度曲线与 x 轴、直线 x = a 、 x = b

总总总总标标

单单
O

所围成曲边梯形的面积 所围成曲边梯形的面积

a

b

y 标标标标标标标标 f(x) =

( )
1 2?π

x2 ?e 2

( )

图中阴影部分面积 图中阴影部分面积 表示概率

P( x < x0 )

x

x

8.标准正态分布

N (0,1) :

E ( Χ ) = 0, D ( X ) = 1

P ( Χ < a ) = φ ( a ) 可查表
P ( a < Χ < b ) = φ (b ) ? φ ( a )

a < 0,φ ( a ) = 1 ? φ ( ? a )
正态分布

a = 0,φ (0) = 0.5

N ( ? ,σ 2 ) :
a??

E (Χ) = ? , D( X ) = σ 2
P ( Χ < a ) = F (a ) = φ (

σ

)

P ( a < Χ < b ) = F (b ) ? F ( a )
P( X ≥ a) = 1 ? P( X < a)


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