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贵州省遵义第四中学2016-2017学年高二上学期第二次月考试题 数学(文)


遵义四中 2016----2017 学年度第一学期高二第三次月考考试试卷

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A 则 A ? B 为( ? ( x , y ) x ? 2 y ? 2 ,( B ? x , y ) 2 x ? y ? 4 , ? ? ? ? A. ?2,0? B. ?x ? 2, y ? 0? C. ?(2,0)? D. ?(0,2)? ) )

2.已知命题 p : ?x0 ? R , x02 ? 4x0 ? 6 ? 0 ,则 ? p 为( A. ?x ? R , x2 ? 4 x ? 6 ? 0 C. ?x ? R , x02 ? 4x0 ? 6 ? 0

B. ?x0 ? R , x02 ? 4x0 ? 6 ? 0 D. ?x0 ? R , x02 ? 4x0 ? 6 ? 0 )

3. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? 2x ? 8 ? 0 ”成立的(

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选择简单随机抽样、系统抽样 和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为

P 1, P 2, P 3 ,则(
A. P 1 ?P 2 ?P 3

) B. P2 ? P 3 ?P 1 C. P 1 ?P 3 ?P 2 D. P 1 ?P 2 ?P 3 )

5.已知 {an}为等差数列,若 a ,则 c ? a ? a ? 8 o s ( aa ?? )( 1 5 9 2 8 A. ?
1 2

?
1 2

B. ?

3 2

C.

D.

3 2

6.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的 数据整理后,画出了频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的 前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 2 小组的频数为 12,则抽取 的学生总人数是( ) A.12 B.24 C.48 D.56

?x ? y ? 4 ? 0 ? 7 .已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? ( x ? 1)2 ? y 2 的最大值是 ? x ?1 ? 0 ?

( A.1

) B.9 C.2 D.11

8.某商场为了了解毛衣的月销售量 y (件)与月平均气温 x ( ?C )之间的关系, 随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 月平均气温 x?C 月销售量 y (件) 17 24 13 33 8 40 2 55

? ?a ? 中的 b ? ? ?2 ,气象部门预测下个月的平均 由表中数据算出线性回归方程 ? y ? bx
气温为 6?C ,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( ) A.58 件 B.40 件 C.38 件 D.46 件 9.执行如图所示程序框图所表达的算法,输出的结果是( ) A.99 B.100 C.120 D.142 10. 如图, 阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方 1 形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为 , 若直角三角形 5 b 的两条直角边的长分别为 a ,则 ? ( ) , b a ? b ? ? a
1 3 1 2
3 3 2 2

A.

B.

C.

D.

11.椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点,过 AB 中点 M 与坐标原点的直线的斜率为
m 2 ,则 的值为( n 2



A.

2 2

B.

2 3 3

C.1

D.2

12.已知 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆 中心并且交椭圆于点 M , N ,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率 为( ) B. 2 ? 3 C.
2 2

A. 3 ?1

D.

3 2

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.设某总体是由编号为 01,02,...,19, 20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表 选取 6 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右 依次选取两个数字,则选出来的第 6 个个体的编号是_________.

7816 6572 0802 6316 0702 4369 9728 1198 3204 9234 4915 8200 3623 4869 6938 7481
14.掷两枚质地均匀的硬币,出现“两个正面向上”的概率是____________. 15.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息: ①题目: “在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 1 的左顶点为 A ,过点 A 作两条斜率之积为 2 的射线与椭圆交于 B, C ,?”
1 ? 2k 2 2k 5 , ) , D(? , 0) ,?” ②解: “设 AB 的斜率为 k ,?点 B( 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3

据此,请你写出直线 CD 的斜率为

. (用 k 表示)

16.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①函数 y ? 2x3 ? 3x ? 1的图象关于点 ? 0,1? 成中心对称; ②对 ?x, y ? R, 若 x ? y ? 0 ,则 x ? 1, 或y ? ?1 ;

.

y 的最大值为 3 ; x?2 ④若 ?ABC 为钝角三角形, ?C 为钝角,则 sin A ? cos B. 三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,18---22 题每题 12 分,共 70 分.解 答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

③若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1, 则

17. (本题满分 10 分) 设 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0(其中 a ? 0 ) ,q : 实数 x 满 足
x ?3 ?0. x?2

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)已知“若 q ,则 p ”是真命题,求实数 a 的取值范围. 18. (本题满分 12 分) 如图, 在△ABC 中, BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0, ∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0,若点 B 的坐标为 (1, 2) ,求: (1)点 A 和点 C 的坐标;

(2)求△ABC 的面积.

19. (本题满分 12 分)某学校高中毕业班有男生 900 人,女生 600 人,学校为了对高 三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样 ,抽取 200 名学 生成绩,统计数据如下表所示: 分数段(分) [50,70) 频数
[70,90) [90,110) [110,130) [130,150]

总计

20

40

70

50

20

200

(1)若成绩在 90 分以上(含 90 分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩 和及格学生人数; (2)如果样本数据中,有 60 名女生数学成绩及格,请完成如下数学成绩与性别的 列联表,并判断是否有 90%的把握认为: “该校学生的数学成绩与性别有关”. 女生 男生 总计 及格人数 60 不及格人数 总计
n(ad ? bc)2 参考公式: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

k0

20. (本题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD中, 底面 ABCD为菱形,E、P、Q 分别是棱 AD、SC、AB 的中点,且 SE ? 平面 ABCD. (1)求证: PQ // 平面 SAD; (2)求证:平面 SAC? 平面 SEQ .

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an }是公差不为零的等差数列, 且 a2 , a a1 ? 1 , 4 ,8a 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an }的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足: a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ??? anbn ? 2n?1 , n ? N ? ,令 cn ?

bn ?1 , 2n ?1

n ? N ? ,求数列 {cn cn?1} 的前 n 项和 S n .

22.已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 2 a b 3

的长半轴为半径的圆与直线 2x ? 2 y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点 A , B 为动直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴

??? ? 2 ??? ? ??? ? 上是否存在点 E ,使 EA ?EA AB 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若 ?
不存在,请说明理由.
遵义四中 2016---2017 学年度高二第三次月考 文科数学参考答案 2A 3B 4D 5A 6C 7B 8D 9C 10B 11A 12A 14.

1C

13. 04

1 4

15.

3k 2k 2 ? 4

16.①②

17. (1) ?x | 2 ? x ? 3? ; (2) ?a |1 ? a ? 2? . 试题解析:因为 p : a ? x ? 3a, q : 2 ? x ? 3 , (1)若 a ? 1, p ? q 为真,因此: ?

?1 ? x ? 3 则 x 的取值范围是: ?x | 2 ? x ? 3? ; ?2 ? x ? 3 ?a?2 ,解得: 1 ? a ? 2 , ?3a ? 3

(2) “若 q ,则 p ”是真命题,则有 ?

所以实数 a 的取值范围是 ?a |1 ? a ? 2? . 18(1) A(?1,0) , C (5, ?6) ; (2) 12 .

试题解析: (1)解:由 ?

? x ? 2 y ? 1 ? 0, 得顶点 A(?1,0) . ? y ? 0.

又 AB 的斜率 k AB ?

2?0 ? 1 .∵ x 轴是 ? A 的平分线, 1 ? (?1)


故 AC 的斜率为 ?1 , AC 所在直线的方程为 y ? ?( x ? 1)

已知 BC 上的高所在直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,故 BC 的斜率为 ?2 , BC 所在的直线方程为 y ? 2 ? ?2( x ?1) (2) BC ? ② 解①,②得顶点 C 的坐标为 (5, ?6) .

?1 ? 5? ? ? 2 ? 6?
2

2

? 4 5 又直线 BC 的方程是 2 x ? y ? 4 ? 0
,

A 到直线的距离 d ?

?2 ? 4 5

?

6 1 1 6 ? 12 所以 ?ABC 的面积 ? BC ? d ? ? 4 5 ? 2 2 5 5,

19. (1)平均成绩 101 分,及格人数 1050 人; (2)没有 90%的把握认为“该校学生的数学成 绩与性别有关” 试 题 解 析 : ( 1 ) 解 : 高 三 学 生 数 学 平 均 成 绩 为

1 ?60 ? 20 ? 80 ? 40 ? 100 ? 70 ? 120 ? 50 ? 140 ? 20 ? ? 101 200 70 ? 50 ? 20 估计高三学生数学平均成绩约为 101 分,及格学生人数为 ? ?900 ? 600 ? ? 1050 200
(2)解: 女生 及格人数 不及格人数 总计 60 20 80 男生 80 40 120
2

总计 140 60 200

200 ? ?60 ? 40 ? 20 ? 80 ? 100 K 的观测值 k ? ? ? 1.587 ? 2.706 80 ? 120 ? 60 ? 140 63
2

所以没有 90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”. 20.试题解析: (1)取 SD 中点 F ,连结 AF, PF .

1 CD . 2 1 ∵ 在 菱 形 ABCD 中 , Q 是 AB 的 中 点 , ∴ AQ // CD , 且 AQ ? CD , 即 FP // AQ 且 2
∵ P、F 分别是棱 SC、SD的中点,∴ FP// CD ,且 FP ?

FP ? AQ .
∴ AQPF 为平行四边形,则 PQ // AF .∵ PQ ? 平面 SAD, AF ? 平面 SAD,∴ PQ // 平

面 SAD. (2)连结 BD ,∵ ABCD是菱形,∴ AC ? BD , ∵ E、Q 分 别 是 棱 AD 的 中 点 , ∴ EQ // BD , ∴ 、 AB , AC ? EQ ∵ SE 平面 ABCD , AC 平面 ABCD,∴ AC ? SE , ? ? ∵ SE ? EQ ? E , SE、EQ ? 平 面 SEQ , ∴ AC 平面 ? , SEQ ∵ AC 平面 SAC ,∴平面 SAC? 平面 SEQ . ? 21. (Ⅰ) an ? n ; (Ⅱ) Sn ?

n . 2(n ? 2)

试题解析: (Ⅰ)设等差数列 {an }的公差为 d , ∵ a1 ? 1 ,且 a2 , a4 , a8 成等比数列,∴ a4 ? a2 ? a8 ,即 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) ,
2 2

解得 d ? 0 (舍)或 d ? 1,∴ 数列 {an }的通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d ? n ,即 an ? n ; (Ⅱ)由 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? anbn ? 2 两式相减得 anbn ? 2
n?1
n?1

, a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ??? an?1bn?1 ? 2 ( n ? 2 )
n

? 2n ? 2n ,即 bn ?

2n (n?2) , n

则 cn ?

bn ?1 b ?2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? , cn ?1 ? n ,所以 cn cn ?1 ? , n ?1 n?2 2 n ?1 2 n?2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? ? ? ? . 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2)
??? ? ??? ? x2 y 2 7 5 ? ? 1; (2)定点为 E ( , 0) , EA ? EB ? ? . 6 2 3 9
c 6 6 6 ,得 = ,即 c= a ① a 3 3 3
又因为以原点 O 为圆心,

则 Sn ?

22. (1)

试题解析: (1) 由 e=

2 2 2 椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x +y =a ,且与直线 2x- 2 y+6=0 相切,

?

a=

6 22 ?

? 2?

2

= 6 ,代入①得 c=2,所以 b =a -c =2.
2 2 2

?

椭圆的方程为

x2 y2 + =1. 6 2

? x2 y 2 ?1 ? ? (2)由 ? 6 2 ? y ? k ? x ? 2? ?

得: (1+3k )x -12k x+12k -6=0.

2

2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,所以 x1+x2=

12k 2 12k 2 ? 6 , x , 1·x2= 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

→2 → → → → → → → 根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0) ,使得EA +EA·AB=EA· (EA+AB)=EA·EB为定 值, → → 则有: EA·EB=(x1-m,y1) · (x2-m,y2)=(x1-m) · (x2-m)+y1y2 =(x1-m) (x2-m)+k (x1-2) (x2-2) =(k +1)x1x2-(2k +m) (x1+x2)+(4k + 2 m)
2 3m2 ?12 m ? 10 ? k2 ? ? m ? 6 ? 12k 2 ? 6 12k 2 2 2 2 =(k +1) · -(2k +m) · +(4k +m )= 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k ? 1
2 2 2 2 2

?.

要使上式为定值,即与 k 无关,则应使 3m -12m+10=3(m -6) , 即m ?
2 2

此时 EA ? EB ? m 2 ? 6 ? ?

??? ? ??? ?

7 , 3

5 7 为定值,定点为 E ( , 0) . 9 3


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