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高中数学 第一章4 空间图形的基本关系与公理第2课时目标导学 北师大版必修

第 2 课时 问题导学 1.公理 4 的应用 活动与探究 1 公理 4(平行公理)与异面直线所成的角 在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,AD 上的点且 AE CF 2 ? ? , EB FB 3 请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点 G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH, (1)为平行四边 形? (2)为菱形? 迁移与应 用 如图,已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; (2)若四边形 EFGH 是矩形, 求证:AC⊥BD. 空间中证明两直线平行的方法: (1)借助平面几何知识,如三角形的中位线性质、平行四边形的性质,成比例线段平行. (2)利用公理 4,即证明两条直线都与第三条直线平行. 2.等角定理的应用 活动与探究 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,M1 分别是棱 AD 和 A1D1 的中点. (1)求证:四边形 BB1M1M 为平行四边形; (2)求证:∠BMC=∠B1M1C1. 迁移与应用 如图,空间图形 A-BCD 的四个面分别为△ABC,△ACD,△ADB 和△BCD,E,F,G 分别 是线段 AB,AC,AD 上的点, 且满足 AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD.求证:△EFG∽△BCD. 1 1.要明确等角定理的两个条件,即两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,这 两个条件缺一不可. 2.空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,还 可以利用平行四边形的对角相等.在利用等角定理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系. 3.异面直线及其所成的角 活动与探究 3 如图,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线 BC′是异面直线? (2)求异面直线 AD′与 B′C、A′C 与 AB 所成角的正切值. 迁移与应用 已知正方体 ABCD-A′B′C′D′,求: (1)BC′与 CD′所成的角; (2)AD 与 BC′所成的角. 由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是: 平移→构造三角形→解三角 形→作答. 在几何体中进行平移构造异面直线所成角时, 一般选择两异面直线中一条上的一 点,或几何体顶点、棱的中点等特殊点. 当堂检测 1.空间两个角 α ,β 的两边分别对应平行,且 α =50°,则 β 等于( ). A.50° B.130° C.40° D.50°或 130° 2. 空间四边形的两条对角线长度相等, 顺次连接四条边的中点得到的四边形是( ). A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 3.如图,正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,则异面直线 EF 与 2 B1D1 所成的角为________. (第 3 题图) 4.如图所示,在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在 的直线中,异面直线共有________对. (第 4 题图) 提示: 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的 精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记. 答案: 课前预习导学 预习导引 1.平行 a∥c 预 习交流 1 提示:(1)本质:表明了空间中线线平行的传递性. (2)作用:公理 4 给出了空间两条直线平行的一种证明方法.它是论证平行问题的主要 依据之一,也 是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础. (3)关键:寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理 4 证明线线平行的关键. 2.相等或互补 预习交流 2 提示:相等;互补. 3.不在 预习交流 3 提示:一定不相交.若对角线相交,则四个顶点共面,这与定义中四个顶 点不共面相矛盾. 4.锐角 直角 互相垂直 预习交流 4 提示:两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]. 课堂合作探究 问题导学 AE CF 2 活动与探究 1 思路分析:由 = = ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH 为平行 EB FB 3 四边形,需证明 GH=EF,且 GH∥AC;为使四边形 EFGH 为菱形,在(1)成立的情况下,还需 证明 EH=EF,进一步可得 AC,BD 的关系. AH CG 2 解:(1)当 = = 时, HD GD 3 四边形 EFGH 为平行四边形. 3 AE CF 2 理由:∵ = = , EB FB 3 3 ∴EF∥AC 且 EF= AC. 5 AH CG 2 若 = = , HD GD 3 3 则 HG∥AC 且 HG= AC. 5 ∴EF∥HG,EF=HG, ∴四边形 EFGH 为平行四边形. AH CG 2 2 (2)当 = = 且 AC= BD 时,四边形 EFGH 为菱形. HD GD 3 3 AH CG 2 理由:由(1)知,若 = = , HD GD 3 3 2 2 3 2 则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD,则 EF= AC= BD= 5 5 3 5 5 EH. ∴平行四边形 EFGH 为菱形. 迁移与应用 证明:(1)如题图,在△ABD 中, ∵EH 是△ABD 的中位线, 1 ∴EH∥BD,EH= BD. 2 又 FG 是△CBD 的中位线, 1 ∴FG∥BD,FG= BD, 2 ∴FG∥EH,∴E,F,G,H 四点共面.又 FG=EH, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)由(1)知 EH∥BD,同理 AC∥GH. ∵四边形 EFGH 是矩形, ∴EH⊥GH.∴AC⊥BD. 活动与探究 2 思路分析:(1)欲证四边形 BB1M1M 是平行四边形,可证其一组对边平行 且相等;(2)可结合(1)利用定理证明或利用三角形全等证明. 证明:(1)在正方形 ADD1A1 中,M,M 1 分别为 AD,A1D1 的中点, ∴MM1=AA1,MM1∥


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