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《创新设计》2017版高考数学(北师大版理科)一轮复习课件第5章 平面向量 第2讲_图文

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.掌 握平面向量的正交分解及其坐标表示; 3. 会用坐标表 示平面向量的加法、减法与数乘运算; 4. 理解用坐标 表示的平面向量共线的条件. 知识梳理 1.平面向量的基本定理 不共线 向量,那么对于这 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个 _______ 一平面内的任一向量 a ,存在唯一一对实数 λ1 , λ2 ,使 a = λ1e1+λ2e2,我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内 所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 互相垂直 把一个向量分解为两个 分解. 的向量,叫作把向量正交 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x2,y1+y2) , 2 2 ( x - x , y - y ) x + y 2 1 2 ,λa=(λx1,λy1),|a|= 1 1 . a-b= 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= (x2-x1,y2-y1) , 2 2 → ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 |AB|= . 4.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b? x1y2-x2y1=0 . 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( × ) (3)设 a,b 是平面内的一组基底,若实数 λ1,μ1,λ2,μ2 满 足 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2.( √ ) (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可以表 x1 y1 示成 = .( × ) x2 y2 (5)已知向量 a=(1-sin 则 θ 等于 45° .( × ) ?1 θ, 1), b=?2,1+sin ? ? θ?, 若 ? a∥ b, 2. 在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的 是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析 由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两向量 均共线,都不符合基底条件,故选B(事实上,a=(3, 2)=2e1+e2). 答案 B 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),C 为 π 坐标平面内第一象限内一点,且∠AOC= 4 ,且|OC|=2, → =λ OA → +μ OB → ,则 λ+μ=( 若OC A.2 2 B. 2 C.2 ) D.4 2 π 解析 因为|OC|=2,∠AOC= ,所以 C( 2, 2), 4 → =λ OA → +μ OB → ,所以( 2, 2)=λ(1,0)+μ(0,1) 又OC =(λ,μ),所以 λ=μ= 2,λ+μ=2 2. 答案 A 1 4.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB, 2 → =λ AB → +λ AC → (λ ,λ 为实数),则 λ +λ 的 BE= BC.若DE 1 2 1 2 1 2 3 值为________. 1→ 2 → 1→ 2 → → → → → 解析 DE=DB+BE=2AB+3BC=2AB+3(BA+AC) 1→ 2→ =-6AB+3AC, 1 2 1 所以 λ1=- ,λ2= ,即 λ1+λ2= . 6 3 2 1 答案 2 5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B,C 三 → |AC| → 2→ 1→ 点满足OC=3OA+3OB,则 → =________. |AB| 解析 1→ 1→ → 2→ 1→ → → ∵OC=3OA+3OB, ∴OC-OA=-3OA+3OB= → 1 → → |AC| 1 → 1→ 3(OB-OA),∴AC=3AB,∴ → =3. |AB| 1 答案 3 考点一 平面向量基本定理的应用 【例 1】 (1)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M, → → → N 分别为 CD,BC 的中点,若AB=λAM+μAN,则 λ+μ 等于( 1 A. 5 ) 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5 → 1→ (2)(2016· 南昌调研)如图, 在△ABC 中, AN=3NC, → → 2→ P 是 BN 上的一点, 若AP=mAB+ AC, 则实数 m 11 的值为________. 解析 → → → → → → (1)因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+ → → → → → → 1→ → (CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN-4AB-AM, 4 → 8→ 4 → 所以AB=5AN-5AM,所以 λ+μ=5. → → (2)设BP=kBN,k∈R. → → → → → → → → 因为AP=AB+BP=AB+kBN=AB+k(AN-AB) ?1 → →? → → k→ ? ? =AB+k 4AC-AB =(1-k)AB+4AC, ? ? → → 2→ k 2 且AP=mAB+11AC,所以 1-k=m,4=11, 8 3 解得 k=11,m=11. 3 答案 (1)D (2) 11 规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质 是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般 思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.(3)要 熟练运用平面几何的一些性质定理. 【训练 1】(


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