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二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数符号a


二次函数 y=ax +bx+c 的图像与系数符号 a,b,c 的关系 一、知识要点
二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定:

2

(1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则 a>0;开口向下,则 a<0. (2)b 和 a 共同决定对称轴的位置.(由对称轴公式 x= 时, 对称轴在 y 轴左侧;a,b 异号时,对称轴在 y 轴右侧;简称左同右异 (3)c 由抛物线与 y 轴的交点确定:交点在 y 轴正半轴,则 c>0;交点在 y 轴 负半轴,则 c<0.交点在原点, c=0. (4)b2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定:2 个交点,b2-4ac>0;1 个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0. (5)当 x=1 时,可确定 a+b+c 的符号,当 x=-1 时,可确定 a-b+c 的符号. (6)由对称轴公式 x= ,可确定 2a+b 的符号. 判断符号.)a,b 同号

二.例题 例 1: (黄冈市)已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图所示, 那么下列判断正确的是( ) 2 b ? 4 ac (A)abc>0 (B) >0 (C)2a+b>0 (D) 4a ? 2b ? c <0
例1图

练习:1、 (甘肃兰州)已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象如图所示,有下列 4 个结 论:① abc ? 0 ;② b ? a ? c ;③ 4a ? 2b ? c ? 0 ;④ b2 ? 4ac ? 0 ; 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
-1 y x=1

O

x

1

例 2: 已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图所示,它与 x 轴的两个 交点分别为(-1,0)(3,0),对于下面命题:① b ? 2a ? 0 ;② abc ? 0 ; ③ a ? 2b ? 4c ? 0 ;④ 8a ? c ? 0 ;其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

练习:(2013 烟台)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为 x=﹣1,且过点 (﹣3,0) .下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1) , 抛物线上两点,则 y1>y2.其中说法正确的是( ) A、①② B②③ C、①②④ D、②③④ 是

例 3:(德阳市 2013 年)已知二次函数 y=ax2+bx+c ( 0)的图象如图所示,有下列 5 个结论: ①abc<0; ②b<a+c; ③4a+2b+c>0④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1 的实数) 其中正确结论的序号有______

课后作业
1.(2015?广安)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0; ②b<a+c;③2a+b=0;④a+b>m(am+b) (m≠1 的实数) . 其中正确的结论有( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

2

2.如图,抛物线 y=ax 2 +bx+c 的对称轴是 x=1,下列结论:①b<0;②(a+c)2 >b 2 ;③2a+b-c >0;④3b<2c.其中正确的结论有 (填上正确结论的序号) .

1 题图

2 题图

3 题图

4 题图

3.(2014?广西)已知:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中: 2 2 ①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b) (m≠1 的实数) ;④(a+c) <b ;⑤a>1. 其中正确的项是( ) A、①⑤ B、①②⑤ C、②⑤ D、①③④ 4.(2015?天津)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0 其中,正确结论的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4 5.如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确序号是 号).①abc>0,②c=-3a,③b2-4ac>0,④a+b<m(am+b)(m≠1 的实数). 6.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示, 以下结论: ①a+b+c=0; ②4a+b=0; ③abc<0; ④4ac-b2 <0;⑤当 x≠2 时,总有 4a+2b>ax2+bx 其中正确的有 (填写正确结论的序号). (只填序

5 题图 5 题图
1 题图

6 题图 6 题图
1 题图

7 题图 7 题图

8 题图 8 题图

7.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,有下列 5 个结论:①abc<0;②a-b+c >0; ③2a+b=0; ④b2-4ac>0⑤a+b+c>m (am+b) +c, (m>1 的实数) , 其中正确的结论有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

3

8.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(x1,0),-3<x1<-2,对称轴为 x=-1.给出四个结论:①abc>0;②2a+b=0;③b2>4ac;④a-b>m(ma+b)(m≠-1 的实数); ⑤3b+2c>0.其中正确的结论有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 ) D.5 个

9.已知:如图所示,抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=-1,与 x 轴交于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,且 OB=OC,则下列结论正确的个数是( ①b=2a A.1 个 ②a-b+c>-1 B.2 个 ③0<b2-4ac<4 C.3 个 ) ④ac+1=b. D.4 个

10.如图所示,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2),且与 x 轴交点的横坐标 为 x1、x2,其中-2<x1<-1,0<x2<1,下列结论:①abc>0;②4a-2b+c<0;③2a-b>0;④ b2+8a>4ac,正确的结论是 (填写正确结论的序号).

9 题图 9 题图
9 题图

10 题图 10 题图
9 题图

11 题图 11 题图
9 题图

题图 12 12 题图
9 题图

11.(2014?武汉)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线 x=-1,与 x 轴的一个交点 为(x1,0),且 0<x1<1,下列结论:①9a-3b+c>0;②b<a;③3a+c>0.其中正确结论的 个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

12.如图为抛物线 y=ax2+bx+c 的图象,A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且 OA=OC=1,AB> AO,下列几个结论:(1)abc<0;(2)b>2a;(3)a-b=-1;(4)4a-2b+1<0.其中正确 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1

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