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怀安县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

怀安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 已知函数 ,函数 ) C. D. ) ,其中 b∈R,若函数 y=f(x)

座号_____

姓名__________

分数__________

﹣g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( A. B.

2. 设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? y ? x, ? 3. 设 m ? 1 ,在约束条件 ? y ? mx, 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( ? x ? y ? 1. ?
A. (1,1 ? 2) 4. 若 a=ln2,b=5 ,c= B. (1 ? 2, ??) xdx,则 a,b,c 的大小关系( C. (1,3) ) D. (3, ??)



A.a<b<cB B.b<a<cC C.b<c<a D.c<b<a

5. 已知向量 a ? (m, 2) , b ? (?1, n) ( n ? 0 ),且 a ? b ? 0 ,点 P(m, n) 在圆 x2 ? y 2 ? 5 上,则

?

?

? ?

? ? | 2a ? b |? (

) B. +1 的图象大致为( B. ) C. ) D. C. 4 2 D. 3 2

A. 34 6. 函数 f(x)=lnx﹣ A.

7. 在空间中,下列命题正确的是(

A.如果直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,那么 m∥n B.如果平面 α 内的两条直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β C.如果平面 α 外的一条直线 m 垂直于平面 α 内的两条相交直线,那么 m⊥α D.如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么必有 m⊥β 8. P 是双曲线 =1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则△ PF1F2 ) C.c D.a+b﹣c )

的内切圆圆心的横坐标为( A.a 9. 双曲线 B.b

的焦点与椭圆

的焦点重合,则 m 的值等于(

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A.12

B.20

C.

D. )

10.若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是( A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ? ? ? ? m, m / / n ,则 ? / / ? C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,? ? ? ,则 ? ? ? 11.已知函数



,若

,则





A1 B2 C3 D-1
2+ai 12.设 a,b∈R,i 为虚数单位,若 =3+bi,则 a-b 为( 1+i A.3 C.1 B.2 D.0 . )

二、填空题
3 2 13.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 , x ? ?3 是函数 f ( x ) 的一个极值点,则实数 a ?

14. 【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测 (一) 】 已知函数 f ? x ? ? ( e 为自然对数的底数)上存在点 ? x0 , y0 ? 使得 f 15.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为 ; .

? f ? y ?? ? y
0

2e x ?1 lnx ? x ? a ?a ? R ? , 若曲线 y ? 2 x x e ?1

0 ,则实数

a 的取值范围为__________.



②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

16.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是 A1D1 的中点,点 P 在侧面 BCC1B1 上运动.现有下列命 题: ①若点 P 总保持 PA⊥BD1,则动点 P 的轨迹所在曲线是直线; ②若点 P 到点 A 的距离为 ,则动点 P 的轨迹所在曲线是圆;

③若 P 满足∠MAP=∠MAC1,则动点 P 的轨迹所在曲线是椭圆; ④若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离比为 1:2,则动点 P 的轨迹所在曲线是双曲线; ⑤若 P 到直线 AD 与直线 CC1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在曲线是抛物丝.

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其中真命题是

(写出所有真命题的序号)

三、解答题
17.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| . (1)若不等式 f ( x ? ) ? 2m ? 1(m ? 0) 的解集为 ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? ,求实数 m 的值; (2)若不等式 f ( x) ? 2 ?
y

1 2

a ? | 2 x ? 3 | ,对任意的实数 x, y ? R 恒成立,求实数 a 的最小值. 2y

【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识,以及考查等价转化的 能力、逻辑思维能力、运算能力.

18.已知等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

的公差



, ,求

. 的最大值.

的通项公式; ,记数列 前 n 项的乘积为

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19.已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且椭圆 C 上一点到两个焦点的距离之和为 4. (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)已知 P、Q 是椭圆 C 上的两点,若 OP⊥OQ,求证: (Ⅲ)当 为定值.

为(Ⅱ)所求定值时,试探究 OP⊥OQ 是否成立?并说明理由.

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F1 作垂直 8 4 于轴的直线,直线 l 2 垂直于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M . (1)求点 M 的轨迹 C2 的方程;
20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 : (2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 AC 、BD ,且分别交椭圆于 A、B、C、D ,求四边形 ABCD 面积 的最小值.

21.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a32=9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.

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22.若已知

,求 sinx 的值.

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怀安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 D 【解析】解:∵g(x)= ﹣f(2﹣x), ∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣ +f(2﹣x), 由 f(x)﹣ +f(2﹣x)=0,得 f(x)+f(2﹣x)= , 设 h(x)=f(x)+f(2﹣x), 若 x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2, 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x , 若 0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2, 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若 x>2,﹣x<﹣2,2﹣x<0,
2 2 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2) +2﹣|2﹣x|=x ﹣5x+8. 2

作出函数 h(x)的图象如图:

2 2 当 x≤0 时,h(x)=2+x+x =(x+ ) + ≥ , 2 2 当 x>2 时,h(x)=x ﹣5x+8=(x﹣ ) + ≥ ,

故当 = 时,h(x)= ,有两个交点, 当 =2 时,h(x)= ,有无数个交点, 由图象知要使函数 y=f(x)﹣g(x)恰有 4 个零点, 即 h(x)= 恰有 4 个根,

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则满足 < <2,解得:b∈( ,4), 故选:D. 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.

2. 【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限, ∴ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题. 3. 【答案】A ,∴θ 为第二象限角,

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【解析】

考点:线性规划. 【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目,采用线性规划的知识进行求解;关键是弄清楚的几何意 义直线 z ? x ? my 截距为

z ,作 L : x ? my ? 0 , 向可行域内平移 ,越向上 ,则的值越大 ,从而可得当直线直线 m ? x0 ? y 0 ? 1 ? z ? x ? my 过点 A 时取最大值,? y 0 ? m x0 可求得点 A 的坐标可求的最大值,然后由 z ? 2, 解不等式可求 m

的范围.

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4. 【答案】C 【解析】解:∵ b=5 c= = xdx= , , a=ln2<lne 即 ,

∴a,b,c 的大小关系为:b<c<a. 故选:C. 【点评】本题考查了不等式大小的比较,关键是求出它们的取值范围,是基础题. 5. 【答案】A 【解析】

考点:1、向量的模及平面向量数量积的运算;2、点和圆的位置关系. 6. 【答案】A 【解析】解:∵f(x)=lnx﹣ ∴f′(x)= ﹣ = , +1,

∴f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减; 且 f(4)=ln4﹣2+1=ln4﹣1>0; 故选 A. 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用. 7. 【答案】 C 【解析】解:对于 A,直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,则 m 与 n 可能平行,可能异面,故不正确; 对于 B,如果平面 α 内的两条相交直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β,故不正确; 对于 C,根据线面垂直的判定定理可得正确; 对于 D,如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么可能 m⊥β,也可能 m 和 β 斜交,; 故选:C. 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的 位置关系,同时考查了推理能力,属于中档题.

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8. 【答案】A 【解析】解:如图设切点分别为 M,N,Q, 则△PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 Q 横坐标相同. 由双曲线的定义,PF1﹣PF2=2a. 由圆的切线性质 PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a, ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c, ∴F2Q=c﹣a,OQ=a,Q 横坐标为 a. 故选 A.

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质,强调了双曲线的定义. 9. 【答案】A 【解析】解:椭圆 由双曲线 故选:A. 10.【答案】C 【解析】 试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以 A 不正确;两个平面平行,两 个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平 行,所以 D 不正确;根据面面垂直的判定定理知 C 正确.故选 C. 考点:空间直线、平面间的位置关系. 11.【答案】A 【解析】g(1)=a﹣1, 的焦点为(±4,0), 的焦点与椭圆的重合,可得 =4,解得 m=12.

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若 f[g(1)]=1, 则 f(a﹣1)=1, 即 5|a﹣1|=1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1 12.【答案】 2+ai 【解析】选 A.由 =3+bi 得, 1+i 2+ai=(1+i)(3+bi)=3-b+(3+b)i, ∵a,b∈R,

?2=3-b ? ∴? ,即 a=4,b=1,∴a-b=3(或者由 a=3+b 直接得出 a-b=3),选 A. a = 3 + b ? ? 二、填空题
13.【答案】5 【解析】 试题分析: f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3,? f ' (?3) ? 0,? a ? 5 . 考点:导数与极值. 14.【答案】 ? ??, ? e

? ?

1? ?

2e x ?1 1 ? e2 x 2e x ?1 【解析】结合函数的解析式: y ? 2 x 可得: y ' ? , 2 e ?1 e2 x ? 1

?

?

?

?

令 y′=0,解得:x=0, 当 x>0 时,y′>0,当 x<0,y′<0, 则 x∈(-∞,0),函数单调递增,x∈(0,+∞)时,函数 y 单调递减, 则当 x=0 时,取最大值,最大值为 e, ∴y0 的取值范围(0,e], 结合函数的解析式: f ? x ? ? x∈(0,e), f ' ? x ? ? 0 , 下面证明 f(y0)=y0. 假设 f(y0)=c>y0,则 f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不满足 f(f(y0))=y0. 同理假设 f(y0)=c<y0,则不满足 f(f(y0))=y0. 综上可得:f(y0)=y0.
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x 2 ? lnx ? 1 lnx ? x ? a ? a ? R ? 可得: f ' ? x ? ? , x x2

则 f(x)在(0,e)单调递增,

lnx ? x?a ? x . x lnx 1 ? lnx 设 g ? x? ? ,求导 g ' ? x ? ? , x x2
令函数 f ? x ? ? 当 x∈(0,e),g′(x)>0, g(x)在(0,e)单调递增, 当 x=e 时取最大值,最大值为 g ? e ? ? 当 x→0 时,a→-∞, ∴a 的取值范围 ? ??, ? . e

1 , e

? ?

1? ?

点睛:(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.而解答本题(2)问时,关键是分离 参数 k,把所求问题转化为求函数的最小值问题. (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x) ≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. 15.【答案】 ≤a<1 或 a≥2 .

【解析】解:①当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)=2 ﹣1 为增函数,f(x)>﹣1,
x



2 2 当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x ﹣3x+2)=4(x﹣ ) ﹣1,

当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ②设 h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1, 所以 ≤a<1,
x 若函数 h(x)=2 ﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点,

则函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去), 当 h(1)=2﹣a≤0 时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点满足 x1=a,x2=2a,都是满足题意的,

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综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2. 16.【答案】 ①②④ 【解析】解:对于①,∵BD1⊥面 AB1C,∴动点 P 的轨迹所在曲线是直线 B1C,①正确; 对于②,满足到点 A 的距离为 ②正确; 对于③,满足条件∠MAP=∠MAC1 的点 P 应为以 AM 为轴,以 AC1 为母线的圆锥,平面 BB1C1C 是一个与 轴 AM 平行的平面, 又点 P 在 BB1C1C 所在的平面上,故 P 点轨迹所在曲线是双曲线一支,③错误; 对于④,P 到直线 C1D1 的距离,即到点 C1 的距离与到直线 BC 的距离比为 2:1, ∴动点 P 的轨迹所在曲线是以 C1 为焦点,以直线 BC 为准线的双曲线,④正确; 对于⑤,如图建立空间直角坐标系,作 PE⊥BC,EF⊥AD,PG⊥CC1,连接 PF, 设点 P 坐标为(x,y,0),由|PF|=|PG|,得 ∴P 点轨迹所在曲线是双曲线,⑤错误. 故答案为:①②④.
2 2 ,即 x ﹣y =1,

的点集是球,∴点 P 应为平面截球体所得截痕,即轨迹所在曲线为圆,

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了圆锥曲线的定义和方方程,考查了学生的空间想象能力和 思维能力,是中档题.

三、解答题
17.【答案】 【解析】(1)由题意,知不等式 | 2 x |? 2m ? 1(m ? 0) 解集为 ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? .

1 1 ? x ? m ? ,……………………2 分 2 2 1 3 所以,由 m ? ? 2 ,解得 m ? .……………………4 分 2 2
由 | 2 x |? 2m ? 1 ,得 ? m ?

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a a ? | 2 x ? 3 | 等价于 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |? 2 y ? y , y 2 2 a y 由题意知 (| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |) max ? 2 ? y .……………………6 分 2
(2)不等式 f ( x) ? 2 ?
y

18.【答案】 【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】(Ⅰ)由题意,得 解得 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 所以 所以只需求出 由(Ⅰ),得 因为 所以当 ,或 时, , 取到最大值 . . 或 (舍). . . . 的最大值. .

所以 的最大值为 19.【答案】

【解析】(I)解:由题意可设椭圆的坐标方程为

(a>b>0).

∵离心率为 ,且椭圆 C 上一点到两个焦点的距离之和为 4. ∴ ,2a=4,解得 a=2,c=1.

2 2 2 ∴b =a ﹣c =3.

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∴椭圆 C 的标准方程为



(II)证明:当 OP 与 OQ 的斜率都存在时,设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OQ 的方程为 y=﹣ x (k≠0),P(x,y). 联立 ,化为 ,

2 2 2 ∴|OP| =x +y =

2 ,同理可得|OQ| =

, = 为定值.



=

+

当直线 OP 或 OQ 的斜率一个为 0 而另一个不存在时,上式也成立. 因此 (III)当 = 为定值. = 定值时,试探究 OP⊥OQ 是否成立?并说明理由.

OP⊥OQ 不一定成立.下面给出证明. 证明: 当直线 OP 或 OQ 的斜率一个为 0 而另一个不存在时, 则 当直线 OP 或 OQ 的斜率都存在时, 设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OQ 的方程为 y=k′x(k≠k′,k′≠0),P(x,y). 联立 ,化为 , = = = , 满足条件.

2 2 2 ∴|OP| =x +y =

, , = + = .

2 同理可得|OQ| =


2 化为(kk′) =1,

∴kk′=±1. ∴OP⊥OQ 或 kk′=1. 因此 OP⊥OQ 不一定成立.

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【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直 的直线斜率之间的关系,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20.【答案】(1) y 2 ? 8x ;(2) 【解析】 试题分析:(1)求得椭圆的焦点坐标,连接 MF2 ,由垂直平分线的性质可得 MP ? MF2 ,运用抛物线的定 义,即可得到所求轨迹方程;(2)分类讨论:当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,此时四
2

64 . 9

边形 ABCD 面积 S ? 2b .当直线 AC 和 BD 的斜率都存在时,不妨设直线 AC 的方程为 y ? k ?x ? 2? ,则直 线 BD 的方程为 y ? ?

1 ?x ? 2 ? .分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式可得 AC , k 1 利用四边形 ABCD 面积 S ? AC BD 即可得到关于斜率的式子, 再利用配方和二次函数的最值求法, BD . 2

即可得出.

(2) 当直线 AC 的斜率存在且不为零时, 直线 AC 的斜率为,A( x1 , y1 ) , 则直线 BD 的斜率为 ? C ( x2 , y2 ) ,

1 , k

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立 ? x 2 y 2 ,得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 8 ? 0 .111] ?1 ? ? 4 ?8 8k 2 ? 8 8k 2 x x ? ∴ x1 ? x2 ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1 32(k 2 ? 1) 2 2 | AC |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? .由于直线 BD 的斜率为 ? ,用 ? 代换上式中的。可得 2 k k 2k ? 1 2 32(k ? 1) . | BD |? k2 ? 2 1 16(k 2 ? 1)2 ∵ AC ? BD ,∴四边形 ABCD 的面积 S ? | AC | ? | BD |? 2 . 2 (k ? 2)(2k 2 ? 1) 64 (k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 1) 2 3(k 2 ? 1) 2 2 2 2 2 ] ?[ ] ,∴ S ? 由于 (k ? 2)(2k ? 1) ? [ ,当且仅当 k ? 2 ? 2k ? 1 ,即 9 2 2 k ? ?1 时取得等号. 易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S ? 8 .
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综上,四边形 ABCD 面积的最小值为 考点:椭圆的简单性质.1

64 . 9

【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得 | MP |?| MF2 | ,运用抛物线的定义,即可得所求的 轨迹方程.第二问分类讨论,当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为 2b .当直线
2

AC 和 BD 的斜率都存在时,分别设出 AC, BD 的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得

AC , BD ,从而利用四边形的面积公式求最值.
21.【答案】
2 2 2 2 【解析】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q =



由条件可知各项均为正数,故 q=

. .

由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= 故数列{an}的通项式为 an= .

(Ⅱ)bn= 故 则 =﹣ + +…+

+

+…+ =﹣2( =﹣2=﹣ ﹣ , . )

=﹣(1+2+…+n)=﹣



所以数列{

}的前 n 项和为﹣

【点评】 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值, 掌握对数的运算性质及等差数列的前 n 项和的 公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题. 22.【答案】 【解析】解:∵ ∴sin( )=﹣ )﹣ =﹣ ]=sin( . ,∴ < <2π,

=﹣ . )cos ﹣cos( )sin

∴sinx=sin[(x+ =﹣ ﹣

【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式,属于基础题.

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