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1.2.1 绝对值三角不等式(人教A版选修4-5)


不等式和绝对值不等式

1.2 1.2.1

绝对值不等式 绝对值三角不等式

1.理解绝对值的几何意义. 2.能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不 等式:

在数轴上,

a 的几何意义

表示点A到原点的距离

a ? b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离 a ? b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a
0 A a x

a ?b
B -b

A
a

a ?b
O b

B

x

探 究
设a, b为实数, 你能比较 a ? b 与 a ? b 之 间的大小关系吗?

当ab>0时,a ? b ? a ? b 当ab<0时,a ? b ? a ? b

a ?b ? a ? b

当ab=0时,a ? b ? a ? b

定理1 如果a,b是实数,则 a ? b ? a ? b 当且仅当

ab ? 0 时,等号成立。

你能解释它的几何意义吗?

当向量

a, b

不共线时,
y

a?b ? a ? b
当向量

a?b

b
x

a, b

共线时,
O

a

同向: a ? b ? a ? b

a?b ? a ? b
反向: a ? b ? a ? b

定理1 如果a,b是实数,则 a ? b ? a ? b 定理1的完善
绝对值三角不等 式

a ? b ? a?b ? a ? b
a ? b ? a ?b ? a ? b

定理1的推广 如果a,b,c是实数,则

(1). a ? b ? c ? a ? b ? c (2). a ? c ? a ? b ? b ? c
定理2

定理 1(绝对值三角形不等式)如果 a , b 是实数, 则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)
如果把 a , b 换为向量 a , b ,根据向量加法的三 角形法则,易知 a ? b ≤ a ? b .(同向时取等号)
a?b a

b

a?b

b a 将定理中的实数a、b换成向 量(或复数)仍成立

注意:1? 左边可以“加强”同样成立,即
| a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b |
2? | a ? b |?| a | ? | b | 中,当且仅当“a, b同号

或其中一个为0”时取=;
| a | ? | b | ?| a ? b | 中,当且仅当“a, b异号 或其中一个为0”时取=;
3? 这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形 中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边

推论1: | a1 ? a2 ? a3 | ? | a1 | ? | a2 | ? | a3 |

推论2: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |

例1 已知ε >0,|x-a|<ε ,|y-b|<ε ,求证:

|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .

定理2

如果a, b, c是实数,那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 证明:根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。
例 : 若 x ? m ? ? , y ? m ? ? , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y ? ? C . x ? y ? 2? B . x ? y ? 2? D. x ? y ? ?

练习:课本P19第1、2题
1 .求证:(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|

(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
2.用几种方法证明

1 |x ? |? 2( x ? 0) x

2、求证:(1)

x ? a ? x ?b ? a ?b

( 2) x ? a ? x ? b ? a ? b 求 x ? 3 ? x ? 9 的最大值 求

x ? 3 ? x ? 9 的最小值

求 2x ? 3 ? x ? 9的最小值

一层练习 1.若a、b∈R,则以下命题正确的是( A.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| B.|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b| C.当且仅当ab>0时,|a+b|=|a|+|b|

A )

D.当且仅当ab≤0时,|a-b|=|a|-|b|

2.设a,b是满足ab<0的实数,则下列不等式中正确的 是( B )
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|

C.|a-b|<||a|-|b||

D.|a-b|<|a|+|b|

3.若|a+b|<-c,则下列不等式:①a<-b-c;②a+ b<c;③a+c<b;④|a|+c<|b|;⑤|a|+|b|<-c.其中,一定 成立的个数是( B ) A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

4.如果 a,b 都是非零实数,则下列不等式中不成立的 是(

A

) B.2 ab≤|a+b|(ab>0)
?b a? ? + D.? ?a b?≥2 ? ?

A.|a+b|>a-b C.|a+b|≤|a|+|b|

5.已知a>b>c,求函数y=|x-a|+|x-b|+|x-c| 的最小值. 解析:由绝对值的几何意义知|x-a|+|x-b|+|x-c| 表示数轴上任意一点P(x)到定点A(a),B(b),C(c)三点距离 的和,即y=|x-a|+|x-b|+|x-c|=|PA|+|PB|+|PC|.

因为a>b>c,所以由数轴知

当x=b时,(|PA|+|PB|+|PC|)min=a-c 所以函数y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值为a-c, 此时x=b.

定理 1(绝对值三角形不等式)如果 a , b 是实数, 则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)
如果把 a , b 换为向量 a , b ,根据向量加法的三 角形法则,易知 a ? b ≤ a ? b .(同向时取等号)
a?b a
b

a?b

a
? an ≤ a1 ? a2 ?

b
? an

推论 1 a1 ? a2 ?

定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. -

当且仅当ab ≥0时, 等号成立.

将定理中的实数a、b换成向 量(或复数)仍成立


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