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河北省保定市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题 扫描版含答案_图文

数学参考答案(理) 一、选择题:ABACC 二、填空题:13. 7.01 三、解答题: 17.解:(1)由 x -4ax+3a <0 得(x-3a)(x-a)<0,又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时,实数 x 的范围是 1<x<3…………2 分 由 q 为真时,实数 x 的范围是 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是(1,3).……………………………………5 分 (2)
2 2

BACBD 14.

BD

? ??, ?1?

15.

17 18

16 . 2017

?2 ? x ? 3,………………………4 分

? p :x≤a 或 x≥3a, ? q :x<-2 或 x>3,由 ? q 是 ? p 的充分不必要条件,有

? a ? ?2 ? ?3a ? 3 ……………………………………………………8 分 ?a ? 0 ?
得 0<a≤1,显然此时 ? p ? ? ? q ,即 a 的取值范围为(0,1].………10 分 18.解:(1)因为(0.004+0.006+0.018+a×2+0.028)×10=1, 所以 a=0.022………………………………………………3 分 (2)受访教师中评分在[50,60)的有: 50×0.006×10=3(人),记为 A1,A2,A3;………………………7 分 受访教师中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为 B1,B2…8 分 从这 5 名受访教师中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是{A1,A2},{A1,

A3} , {A1 , B1} , {A1 , B2} , {A2 , A3} , {A2 , B1} , {A2 , B2} , {A3 , B1} , {A3 , B2} , {B1 , B2}.…………………………11 分
又因为所抽取 2 人的评分都在[50,60)的结果有 3 种,即{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}, 故所求的概率为

3 …………………………………12 分 10

19.解:(1)抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=﹣1, ∴a ﹣b =1 ①,……………………………………………………………….1 分 又椭圆截抛物线的准线 x=﹣1 所得弦长为 3,
2 2

3 1 9 ),∴ 2 ? 2 ? 1 ②………………….2 分 2 a 4b 3 由①代入②得 4b4﹣9b2﹣9=0,解得 b2=3 或 b2= ? (舍去), 4
∴可得上面的交点为(﹣1, 从而 a =b +1=4,
2 2

∴该椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………5 分 4 3

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程可得, 3x12+4y12=12,3x22+4y22=12, 相减可得 3(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0,……………….8 分 由 x1+x2=2,y1+y2=1,可得直线 AB 的斜率为

3 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 3 ?? ? ? ,……………………….10 分 x1 ? x2 4 ? y1 ? y2 ? 2
即直线 AB 的方程为 y ?

1 3 ? ? ? x ? 1? ,即为 3x+2y﹣4=0. ....................12 分 2 2

20.解:(1)连接 OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD, ∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD, 在△AOC 中,由题设知 AO= 2 , CO ? ∴AO +CO =AC , ∵AO⊥BD,BD∩OC=O, ∴AO⊥平面 BCD; …………………………………………………….4 分
2 2 2

3 ? 2 2 ? 6 ,AC= 2 2 ,…………2 分 2

∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC,

(2)以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0, 2 ),B( 2 ,0,0),C(0, 6 ,0),D(﹣ 2 ,0,0),

???? ??? ? AD ? ? 2,0, ? 2 , BC ? ? 2, 6, 0 ………………………………6 分

?

?

?

?

???? ??? ? ???? ??? ? AD ? BC 2 ? cos ? AD, BC ?? ???? ??? ? ? 4 AD BC

∴异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值大小为 (3)解:由(2)知: AB ?

??? ?

?

2,0, ? 2

?

2 ………………………..8 分 4 ??? ? , BC ? ? 2, 6, 0 .

?

?

设平面 ABC 的一个法向量为 =(x,y,z),则

??? ? ? ? ? AB ? n ? 0 ? ? ? ??? ? ? BC ? n ? 0
令 y=1, 得 = ( 分 , 1,

? ? 2x ? 2z ? 0 即? ? ?? 2 x ? 6 y ? 0
) ……………………………………………………………………..11

又 AD ? ? 2, 0, ? 2 ,

????

?

?

???? ? AD ? n ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 2 42 ∴点 D 到平面 ABC 的距离 h ? ……………12 分 ? = ? 7 3 ? 1+3 n

21. 解: (1)因为点 M 到点 F(1,0) 的距离比到 y 轴的距离大 1,所以点 M 到点 F(1,0) 的距离等于它到直线 m:x=-1 的距离……………2 分 由抛物线定义知道,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,m 为准线的抛物线或 x 轴负半轴 设轨迹 C 的方程为: y ? 2 px ,
2 2

p ?1 2
……………5 分

轨迹 C 方程为: y ? 4 x 或 y ? 0( x ? 0) (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), P(x0,y0) 直线 l 化成斜截式为 y ? ?

1 x?2 2

当直线 l 的平行线与抛物线相切时△ABP 的面积最大……………6 分 由图知 P 点在第四象限.抛物线在 x 轴下方的图象解析式:

1 y ? f ( x) ? ?2 x ,所以 f ' ( x) ? ? x

………7 分

f ' ( x0 ) ? ?

1 1 ? ? ,解得 x0 ? 4 , y0 ? ?4 2 x0

所以 P 点坐标 (4, ?4) ……………8 分 P 点到 l 的距离 d ?

?8 ? 4 ? 4 5

?

8 ……………9 分 5

A,B 两点满足方程组

? y2 ? 4x ? 2 ? 1 化简得 x ? 24 x ? 16 ? 0 . ?y ? ? x ? 2 ? 2
x1,x2 为该方程的根. 所以 x1 ? x2 ? 24, x1 ?x2 ? 16

1 AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? )(242 ? 4 ?16) ? 8 10 …………11 分 4
? S?ABP ? 1 1 8 AB d ? ? 8 10 ? ? 32 2 2 2 5
……………12 分

22. (1)解:h(x)=f(x)-g(x)= x ? ( a ? 1) ln x ?

a ? 3 ,定义域为 ? 0, ??? x
,(x>0)…………1 分

h?( x) ? 1 ?
?

a ? 1 a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? 2 ? ? x x x2 x2

a ? 0 时, h?( x) >0 得 x>1; h?( x) <0 得 0<x<1.

所以 h(x)在(1, ?? )递增, (0,1)递减…………………………………2 分 ? a=1 时, h?( x) ? ?

( x ? 1) 2 ? 0 ,所以 h(x)在(0, ?? )递增……………3 分 x2

0<a<1 时,h?( x) >0 得 0<x<a,或 x>1; h?( x) <0 得 a<x<1.所以 h(x)在 (0,a) 和(1, ?? )

递增,(a,1)递减……………………………4 分 ? a>1 时,h?( x) >0 得 0<x<1,或 x>a;h?( x) <0 得 1<x<a. 所以 h(x)在(0,1)和(a, ?? )

递增,(1,a)递减…………………………………5 分 综上: a ? 0 时,h(x)在(1, ?? )递增, (0,1)递减 a=1 时,h(x)在(0, ?? )递增

0<a<1 时,h(x)在(0,a)和(1, ?? )递增,(a,1)递减 a>1 时,h(x)在(0,1)和(a, ?? )递增,(1,a)递减…………………6 分 (2) 若任意 x ?

?1, e?

,都有 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立。令 h(x)= f(x)- g(x),

只需 h( x)min ? 0 即可 ?由(1)知, a ? 1 时,h(x)在 ?1, e? 递增, h( x)min =h(1)=4-a ? 0,解得 a ? 4.又 a ? 1 , 所以 a ? 1 ……………………………………7 分 ?a ? e 时,h(x)在 ?1, e? 递减, h( x)min =h(e)= e ? ( a ? 1) ? a ? e,所以 ?

a e(e ? 2) ? 3 ? 0 解得 a ? ,又 e e ?1

e?a?

e(e ? 2) ………………………………8 分 e ?1

1<a<e 时,h(x)在 ?1, a ? 递减, ? a, e? 递增。

h( x)min =h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna ? 0
因为 h?(a ) ? 1 ? (ln a ?

a ?1 1 ) ? ? ln a ? ? 0 ,所以 h(a)在(1,e)递减。所以 a a

h(a) ? h(e) ? 1,则 h(a) ? 0 恒成立,所以 1<a<e…………………………10 分
综上:a ?

e(e ? 2) ………………………………………………12 分 e ?1



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