9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

必修五2.3.1等差数列的前n项和公式(3课时)


高斯(Gauss,1777— 1855),德国著名数学 家,他研究的内容涉及 数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之 一,被誉为“数学王 子”.

问题1:怎样才能快速地计算出 一堆钢管有多少根?
5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14

先算出每层的根数------每层都是14根! 再计算层数------共5层!

所以共(14 ×5)/2=35根.

问题2:
一个堆放铅笔的V形架的最 下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层 多放一支,最上面一层放 100支.这个V形架上共放着 多少支铅笔? 问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=?”

S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.

高斯 Gauss.C.F (1777~1855) 德国著名数学家

高斯的算法
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101就等于5050了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

泰姬陵坐落于印 度距首都新德里200 多公里外的北方邦的 阿格拉市,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙 杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯 白大理石砌建而成的 主体建筑令人心醉神 迷,陵寝以宝石镶嵌, 图案细致,绚丽夺目、 美丽无比,令人叫绝. 成为世界八大奇迹之 一.

传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大 小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见左 图),奢靡之程度,可见一斑。

问题呈现

你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

问题3:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n

S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1 n( n ? 1) ? 2 S ? n(n ? 1) ? S ? 2
上述求解过程带给我们什么启示? (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示; (2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都 等于首项与末项的和。

问题4:设等差数列 {an} 的首项为a1,公差为d,如 何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?

解: 1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an S=a S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 两式左右分别相加,得

倒序相加
变式:能否用

a1,n,d表示Sn?

2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
n(a1 ? an ) an=a1+(n-1)d n( n ? 1) ? Sn ? Sn ? na1 ? d 2 2

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 问题4:
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? ? [a1 ? n ? 1)d ] ( Sn ? an ? (an ? d ) ? ? ? [an ? (n ? 1)d ]

2S n ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ? 1)d

n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

求和公式 等差数列的前n项和的公式: n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? (n ? 1)d

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n an

n(a1 ? an ) Sn ? 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n a1 an (n-1)d

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.

数列前n 项和的意义
这节课我们研究的问题是:(1)已知等差数列 { an }的首项a1,项数n,第n项an,求前n项 和Sn的计算公式;(2)对此公式进行应用。
数列{ an }: a1, a2 , a3 ,…, an ,…

我们把 a1+a2 + a3 + … + an 叫做数列{ an } 的前n项和,记作Sn

等差数列的前n项和公式的其它形式

???? ? ?
n 1

n(a1 ? an ) Sn ? 21) d a ?a ?( n?
a1 ? an ?( n ?1) d

???? ? ?

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 n(n ? 1) S n ? nan ? d 2
n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

分析公式的结构特征
若a1、d是确定的,那么 S n ? na1 ?

设 A ? d , B ? a ? d 上式可写成Sn=An2+Bn 1
若A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次式且缺常数项。

2

2

例1:根据下列条件,求相应的等差数列

?an ?



(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;
S50

10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

Sn

50 50 ? 1) ( ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.
32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, ?S 26 0.7

26 ? (14.5 ? 32) an ? ?1604n ? 1)d a ? ( .5. ? 2

公式应用
选用公式
例1 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m) 是: 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500

这位长跑运动员7天共跑了多少米? 本例提供了许多数据信息,学生可以从首项、尾 项、项数出发,使用公式1,也可以从首项、公差、 项数出发,使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要 素与结构的教学目的。
通过两种方法的比较,引导学生应该根据信息选 择适当的公式,以便于计算。

例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析:①找关键句;②求什么,如何求; 的资金构成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10. 故,该市在未来10年内的总投入为:
S10 ? 10 ? 500 ? 10 ? ?10 ? 1? 2 ? 50 ? 7250 ? 万元 ?



例1 如图,一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层多一支, 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔?

解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅
笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记 为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式,得

120 ? (1 ? 120) S120 ? ? 7 260 2

答:V形架上共放着 7 260支铅笔。

例2 等差数列 ?10,?6,?2,2,…前多少项的和是54?

解:设题中的等差数列为{an},前n项和是 Sn,
则a1= ?10,d= ?6?(?10) ? 4,设 Sn=54,
根据等差数列前 n项和公式,得

n(n ? 1) ? 10 n ? ? 4 ? 54 2

n 2 ? 6n ? 27 ? 0 ?

n1?9,n2??3 (舍去)

等差数列-10,-6,-2,2,…前9项的和是54。

例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.

求前16项的和? 分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式

解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=(16/2 ) × 18=144 答:前16项的和为144。

例3 求集合 M ? m | m ? 7n, n ? N ? , 且m ? 100 的元素个数,并求这些元素的和.
解:

?

?

所以集合M中的元素共有14个.

100 2 ? 14 ? 7n ? 100 ?n ? 7 7


将它们从小到大列出,得

7, 2? 7, 3? 7, 4? 7,


14 ? 7,
n(a1 ? an ) Sn ? 2

7,14,21,28,…,98 这个数列是成等差数列,记为 ?an ?

? a1 ? 7, a14 ? 98, n ? 14
14 ? (7 ? 98) ?S14 ? ? 735 . 2

答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.

例1、计 算:

n( n ? 1) (1)1+2+3+…+n = ________. 2
(2)1+3+5+…+(2n-1)

=________ . n

2

(3)2+4+6+…+2n

n( n ? 1) =__________ .

(4)101? 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 64 ? __________ . _

例题讲解
例2 在等差数列{an}中, 已知

a3 ? a5 ? 40 ,求S7.
7(a1 + a 7 ) 7 ? 40 S7 = = = 140 2 2

变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最 上面一层铺瓦片21块,往下每一层多铺1 块,斜面上铺了19层,共铺瓦片多少块?
解:由题意,该屋顶斜面每层所铺的瓦 片数构成等差数列{an},且a1=21,d=1, n=19. 于是,屋顶斜面共铺瓦片:
S19 ? 19 ? 21 ? 19 ? ?19 ? 1? 2 ?1 ? 570 ? 块 ?

答:屋顶斜面共铺瓦片570块.

例4、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定 求其前n项和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 入公式 n(n ? 1) 可得 所以

2 ? ? 10a1 ? 45d ? 310 于是,a1 ? 4 ? ? ?d ? 6 ? 20a1 ? 190d ? 1220 n(n ? 1) 2 Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n ? n 2

Sn ? na1 ?

d

另解: 10 ? 10(a1 ? a10 ) ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ① S
S20

例4、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定 求其前n项和的公式吗?

2 20(a1 ? a20 ) ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

两式相减得

(n ? 1 n ) Sn ? a1n ? d ? 3n 2 ? n 2

? d ? 6 a1 ? 4

a20 ? a10 ? 60 ?10d ? 60

两个等差数列2,6, 10,…,190和2,8, 14,…200,由这两个等差 数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,求 这个新数列的各项之和.

解法:通项公式分别是an=2+(n-1)· 4 bn=2+(n-1)· 6 观察:
2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,… 2,8,14,20,26,32,38,77,50,39,43,47,51,…

因此,这两个数列相同项组成一个首项c1=2, 公差 d=12的等差数列{cn} 因为,相同的项不大于190和200中的较小者, 1 所以, cn=2+(n-1)· 12≤190 得 n≤16 又 n∈N* 3 故这两个数列中相同的项共有16个。从而这个 16 ?15 新数列的各项之和为

S ? 16 ? 2 ?

2

?12 ? 1472

练习1、计算 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 (2) 1+3+5+?+(2n-1) n2 法二: (3)1-2+3-4+5-6+?+(2n-1)-2n -n
1 ? 2? 解:? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ? 1? ? 2 n ? 2n 2 ? ?n 2 ?3? 解:原式=1 ? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ? 1? ? ? 2+4+6+…+2n ? n ?1 ? ? 2n ? 1? ? n ? 2 ? 2n ? ?? 2 ? ? ? n ? n ? n ? 1? ? ?n 2 2

n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? ?

练习2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a4+a5=18,则S8等于(D )

A.18

B.36

C.54

D.72

课堂小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法;

3.公式的应用(知三求二)。

1.教材P52 A组1(3)(4),2,3,4,5,6

2. 在等差数列{an}中,
(1)已知a2+a5+a12+a15=36,求a16;

(2)已知a6=20, 求S11.
3.在等差数列{an}中,

(1)若a1+a2=p,a3+a4=q.求其前6项的和S6;
(2)若a2+a4=p,a3+a5=q.求其前6项的和S6.

2.(1)18(2)220 3. (1) 2p+2q (2)3(p+q)/2

例1:已知数列?an ? 的前n项和为S n ? n 2 ? 1 n, 求这个数列的通项公式 , 2 并判断这个数列是等差 数列吗?如果是,它的 首项与公差各是多少?
解:根据 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? an与Sn ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 (n?1)
当n?1时,an ? S n ? S n ? 1 ? (n 2 ?
1 2

n) ? [( n ? 1) 2 ? 1 (n ? 1)] ? 2n ? 2
1 2

1 2

当n ? 1时,a1 ? S1 ?

3 2

满足an ? 2n ?

数列?an ?是以 3 为首项,为公差的等差数列。 2 2
数列前n项和与通项公式的关系 : ?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

所以数列?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 1 2

( n ? 1) ( n?1)
当n ? 1时, 不一定满足: an ? S n ? S n ?1
探索

一般地,如果一个数列 ?an ? 的前n项和为 : S n ? pn 2 ? qn ? r 如果是,它的首项与公 差分别是什么?

其中p、q、r为常数,且 p ? 0, 那么这个数列 ?an ?一定是的等差数列吗?

解:根据上例解得 an

只有r ? 0时,数列?an ?才是等差数列 首项为: a1 ? p ? q, 公差为: d ? 2 p 如果数列?an ? 的前n项和是常数项为 0,且是

( n ? 1) ?p ? q ? r ?? ?2 pn ? p ? q ( n?1)

关于n的一元二次关系式,那 么数列?an ?是等差数列。

例2:已知等差数列 5,7 ,7 , 的前n项和为 S n , 42 34 ? 求使得 S n最大的序号 n的值。

解1:由已知可得, a1 ? 5, d ? 可得S n ? 5n ?
n ( n ?1) 5 (? 7 ) 2

5 ? 7 , 代入S n

? na1 ?

n ( n ?1) 2

d

?

75n ?5n 2 14

5 即:S n ? ? 14 (n ? 15 ) 2 ? 1125 2 56

于是当n取与 15 最接近的正整数 7或8时,S n取最大值。 2
本例解法是将 S n 看作是关于 n的二次函数, 利用二次函数最值问题 的解题思路。

例2:已知等差数列 5,7 ,7 , 的前n项和为 S n , 42 34 ? 求使得 S n最大的序号 n的值。
解2:由已知条件得: 5 40 5 a n ? a1 ? ( n ? 1) ? d ? ? n ? , a n ?1 ? ? n ? 5 7 7 7 ?a n ? 0 由? 解得: ? n ? 8, 则n取7或8 7 ?a n ?1 ? 0

于是当n取正整数 7或8时,S n 取最大值。
本例解法是利用通项 an的正负情况与前 n项和S n 的变化情况的关系,

一.等差数列?an ? 的首项a1 ? 0, 公差d ?0时,前n项和S n 有最大值

1、利用S n:S n ? d n 2 ? (a1 ? d )n.借助二次函数最值问题 2 2
2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an ? 0且an ?1 ? 0
二.等差数列?an ? 的首项a1 ? 0, 公差d ? 0时,前n项和S n 有最小值

1、利用S n:S n ? d n 2 ? (a1 ? d )n.借助二次函数最值问题 2 2
2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an ? 0且an ?1 ? 0

例3:已知数列?an ?是等差数列, sn是其前 n项的和。 求证: s6 , ( s12 ? s6 ), ( s18 ? s12 )也成等差数列
解:设等差数列首项为 a1 , 公差为 d,则有 : s6 ? 6a1 ? 15 d s12 ? 12 a1 ? 66 d s18 ? 18 a1 ? 153 d ? s12 ? s6 ? 6a1 ? 51d s18 ? s12 ? 6a1 ? 87 d ? ( s12 ? s6 ) ? s6 ? 36 d ? ( s18 ? s12 ) ? ( s12 ? s6 ) ? s6 , s12 , s18也成等差数列,公差为 36 d

能不能把此结论推广到 一般情况:如果 ?an ?为等差数列, sk , s2k ? sk , s3k ? s2 k 也成等差数列。( k ? Z )
公差为原来公差的 k 2倍

本节课学习的主要内容有: 1、如何利用数列的前n项和 求通项公式 2、等差数列前n项和最值求解 3、等差数列简单性质.

练习2:已知数列?an ? 的前n项的和为: S n ? 1 n 2 ? 2 n ? 3, 4 3 求数列通项公式。
解:根据 S n ? 1 n 2 ? 2 n ? 3与S n ? 1 ? 1 (n ? 1) 2 ? 2 (n ? 1) ? 3(n?1) 4 3 4 3
当n?1时,an ? S n ? S n ? 1 ? ( 1 n 2 ? 2 n ? 3) ? [ 1 (n ? 1) 2 ? 2 (n ? 1) ? 3] 4 3 4 3
5 ? n ? 12 ? 6n?5 2 12
1 4

当n ? 1时,a1 ? S1 ?

? ?3 ?
2 3

59 12

不满足an ?
(n ? 1) (n?1)

6n ?5 12

59 ? 12 ? 所以数列?an ? 的通项公式为: an ? ? 6n ?5 ? 12 ?

返回

该数列?an ? 的前n项和取最大的 n值?此时最大值为?
解:假设数列?an ? 的前n项和为Tn , 公差为d 由已知可得 , a1 ? 0且公差d ?0,所以Tn 有最大值。
( ? an ? 0 ?1024 ? 1 ? n) lg 2 ? 0 由? 得? 解得 1024 ?n ? 1024 ? 1 ?a lg 2 lg 2 ? n ?1 ? 0 ?1024 ? n lg 2? 0

2.已知an ? 1024 ? lg 21? n , 2 ? 0.3010 ),n ? N ? ,问: (lg

即3401.99?n ? 3401.99 ? 1

所以n ? 3402
? 1935868 .977

故数列?an ? 的前n项和Tn 取最大的 n值为3402
此时a3402?114.077,T3402 ?
3402(1024?114.077) 2

返回

3.在等差数列 ?a n ? 中,S n为前n项和,公差 d ? 2 且S 4 ? 1,求: a17 ? a18 ? a19 ? a20的值

解:由已知可得数列 S 4,S8 ? S 4, ,S 20 ? S16 ? 是等差数列,公差为 4 d ? 32。
2

所以S 20 ? S16 ? S 4 ? (5 ? 1) ? 32 ? 129 因为a17 ? a18 ? ? ? a20 ? S 20 ? S16 , 则

a17 ? a18 ? ? ? a20的值为129。
返回

1.已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?

2.求1000以内能被11整除的所有自然数之和。
3.求一切被7除余1的三位数之和。

四、Sn的深入认识
an

Sn
O

Sn = 2n2-12n 6 n

an = 4n-14

O

n

公式应用
横用公式
例4 在等差数列 {an }中

1、已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求s16 ; 2、已知a6 ? 20, 求s11
这一题组是对等差数列的概念、性质以及求和公式的横 向综合应用,培养学生综合解决问题的能力。

利用s ,判断一个数列是否为等差数列
n

例5 根据数列{a }前n项和公式,判断下列数列
n

是否为等差数列.
(1) s =2 n – n
n
2

(2) s =2 n – n + 1
n
2

课外探索
? 已知等差数列16,14,12,10, … (1)前多少项的和为72? (2)前多少项的和为0? (3)前多少项的和最大?

二、选择题: 1.已知a、b、c的倒数成等差数列,如果a、b、c 互不相等,则 a ? b 为 ( C) b?c a c a b A. a B. C. c D. b c 2.已知等差数列{an}的公差d=1,且a1+a2+a3+· · · +a98=137 ,那么a2+a4+a6+·+a98的值等于 · · (C )
A.97 B.95 C.93 D.91

? 例1:在等差数列a n ?中,
()以知a1 ? 3, a 50 ? 101, 求s 50 ; 1

1 ( )以知a1 ? 3, d ? , 求s10 . 2 2 解: 1 ()根据等差数列前项和公式,得 n
3 ? 101 Sn ? ? 50 ? 2600 2
( )根据等差数列前项和公式,得 2 n

10 ? 9 1 105 S n ? 10 ? 3 ? ? ? 2 2 2

思考感悟

n?n-1? 在公式 Sn=na1+ d 中, n 一定是关于 n 的 S 2 二次函数吗?
n?n-1? d 2 提示:不一定.由 Sn=na1+ d= n +(a1 2 2 d - )n,其中 a1,d 为常数,当 d≠0 时,Sn 是项数 2 n 的二次函数,且不含常数项,即 Sn = An2 + Bn(A≠0);当公差 d=0 时,Sn=na1.

2.等差数列前n项和的最值

(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为_____ 负数
项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最___值; 小

正数 (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为_____
项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最___值. 大 S1 小 特别地,若a1>0,d>0,则___是{Sn}的最___值; S1 若a1<0,d<0,则___是{Sn}的最___值. 大

1 例2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n + n,求这 2
2

个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如 果是,它的首项与公差分别是多少?

【思路点拨】

?S1,n=1 由 an=? 求 an. ?Sn-Sn-1,n≥2

【解】 根据Sn=a1+a2+…+an与Sn-1=a1+ a2+…+an-1(n≥2),可知当n≥2时, an=Sn-Sn-1

1 1 1 2 =n + n-[(n-1) + (n-1)]=2n- .① 2 2 2 1 3 2 当 n=1 时,a1=S1=1 + ×1= 也满足①式, 2 2 1 所以数列{an}的通项公式为 an=2n- . 2 3 由此可知,数列{an}是一个首项为 ,公差为 2 的 2
2

等差数列.

变式训练2

若数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求

an.

解:∵Sn=3+2n, - ∴Sn-1=3+2n 1, - an=Sn-Sn-1=2n 1(n≥2), 而 a1=S1=5,
?5 ∴an=? n-1 ?2

?n=1? . ?n≥2?

等差数列前n项和的性质

等差数列的前 n 项和 Sn 的主要性质 (1)项数(下标)的“等和”性质: n?a1+an? n?am+an-m+1? Sn= = ; 2 2
(2)项的个数的“奇偶”性质: 等差数列{an}中,公差为d: ①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1); S偶-S奇=nd;S偶∶S奇=an+1∶an;

②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1; S偶-S奇=-an+1;S偶∶S奇=n∶(n+1); (3)“片断和”性质: 等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公 差为k2d的等差数列.

例3 在等差数列{an}中:

(1)若a4+a17=20,求S20; (2)若S4=1,S8=4,求S20.

【思路点拨】

(1)利用a1+a20=a4+a17.

(2)利用S4,S8-S4,S12-S8,…成等差数列.

【解】 (1)由等差数列的性质知:a1+a20 =a4+a17=20, 20 20 20 ∴S20= (a1+a20)= (a4+a17)= ×20= 2 2 2 200. (2)S4=1,S8-S4=3, 而 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16 成等差数列, 即 1,3,5,7,9,a17+a18+a19+a20=S20-S16= 9. ∴S20=1+3+5+7+9=25.

等差数列前n项和的最值

求数列的最值问题,可以参考函数的最值问题的 处理方法,当然也要注意由数列本身的特点所决
?an≥0 ?an≤0 定的一些方法, 如用? 或? 来确定 ?an+1≤0 ?an+1≥0

最值.

例4

在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 建立Sn关于n的二次函数式,利用

前n项和Sn的最大值.
【思路点拨】

二次函数求最小值,也可确定an≥0,an+1<0时的
n值,从而确定最大值.

【解】 法一:由 S17=S9,得 17?17-1? 9?9-1? 25×17+ d=25×9+ d,解得 d 2 2 =-2,

n?n-1? 2 ∴Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13) +169, 2 由二次函数性质得, n=13 时, n 有最大值 169. 当 S 法二:先求出 d=-2(同法一), ?an=25-2?n-1?≥0, ∵ a1 = 25 > 0 , 由 ? 得 ?an+1=25-2n<0,
? ?n≤131, ? 2 ? 1 ? ?n>122. ?

1 1 即 12 <n≤13 . 2 2

∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

【名师点评】

综合上面的解法我们可以得到求

数列前n项和的最值问题的解法:(1)运用配方法
转化为二次函数,借助函数的单调性以及数形结

合,从而使问题得解;(2)通项公式法:求使
an≥0(或an≤0)成立的最大n即可.这是因为:当an

<0时,Sn<Sn-1,即单调递减.

变式训练3

数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.

(1)求证:{an}是等差数列;
(2)问{an}的前多少项和最大. 解:(1)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n, 又当n=1时,a1=S1=32=34-2×1满足an=34 -2n.

故{an}的通项为an=34-2n.

所以an+1-an=34-2(n+1)-(34-2n)=-2.

故数列{an}是以32为首项,-2为公差的等差数
列.

(2)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,
故数列{an}的前17项大于或等于零.

又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最
大.

3.公式an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N*都成

立,而只对n≥2的正整数才成立.由Sn求通项公
式an=f(n)时,要分n=1和n≥2两种情况分别计

算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,
若不能,则用分段函数的形式表示.

4.求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其

前n项和的最值,但要注意n∈N*,结合二次函数
图象的对称性来确定n的值,更加直观.
?an≥0 (2)通项法:当 a1>0,d<0,? 时,Sn 取 ?an+1≤0 ?an≤0 得最大值;当 a1<0,d>0,? 时,Sn 取 ?an+1≥0

得最小值.

课堂练习
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187,求n. n=11 提示:a1+a2+a3+a4=26 an+an-1+an-2+an-3=110

a1+an=34

n(a1 ? an ) 34n Sn ? ? ? 187,? n ? 11 2 2

课堂练习
10 ? 9 解:S 10 = 10a1 + d = 100 2 100 ? 99 S 100 = 100a1 + d = 10 2

-110

在等差数列{an }中,S 10 = 100,S 100 = 10,求S 110

{

?

{

9 a1 + d = 10 2 99 1 a1 + d= 2 10

22 1099 \ d= , a1 = 100 100 S 110 110 ? 109 = 110a1 + d = - 110 2

等差数列的前n项和公式:
n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

S n ? An ? Bn
2

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: d 2 d 由 (1) 利用 S n : S n ? n ? (a 1 ? )n 2 2 利用二次函数配方法求得最值时n的值
(2)利用 a n : 当 a1 >0,d<0,前n项和有最大值。可由 ? an ? 0 ,求得n的值。 ? ? a n ?1 ? 0
当 a1 <0,d>0,前n项和有最小值。可由

?a n ? 0 ,求得n的值。 ? ?an ?1 ? 0

例2、已知数列 ?a n ?, 是等差数列,

S n ? 20, S 2 n ? 38 , 求S3n

重要性质:

a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? ? 的应用:

(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和 为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.

(2)、已知 ?a n ? 为等差数列,前10项的和为 S10 ? 100, 前100项的和 S100 ? 10 ,求前110项的和 S110 .
5n ? 3 2n ? 1

(3)两个等差数列,它们的前n项和之比为

, 求这两个数列的第九项的比

性质2. 若{an}{bn}为等差数列,它们的前n

项和为Sn,Tn则

S 2 n ?1 a n ? T2 n ?1 b n

(3)设等差数列{ a n }的前n项和为S n ,已知
王新敞
奎屯 新疆

a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 指出
王新敞
奎屯 新疆

S1 , S 2 , S3 ,? S12

,中哪一个最大,说明理由

?a n ?的前n项和 S n ? 100 n ? n 2 (n ? N ) 例3.数列
(1) ?a n ? 是什么数列? (2)设

bn ? a n , 求数列?bn ? 的前n项和.

例4 一个等差数列的前12项之和为354,前12项 中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公 差。

性质3: 等差数列{an}, S偶、S奇分别为该数列的 所有偶数项之和与所有奇数项之和 (1)若{an}共有2n项, 则S2n=n(an+an+1)( an,an+1为中间项), 并且S奇-S偶=nd,S奇/S偶=an/an+1 (2) 若{an}共有2n-1时, 则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项) S奇-S偶=an, S奇/S偶=n/n-1.

课堂练习
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别 an An 7n ? 45 为 ? n ? 3 ,则使得 bn 为整数 A 和B ,且Bn
n n

D

的正整数n的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5

3.已知数列{an}和{bn}都是公差为1的等差 数列,其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5, a1、b1∈N*.设cn= b (n∈N*),则数列 n {cn}的前10项和等于( C ) A.55 B.70 C.85 D.100

a

补充作业

1.已知等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项 的和为100,求数列的前3m项的和。

2.有两个等差数列{an}{bn}且它们的前n项和为Sn,

S n 4n ? 3 ? Tn,若 T n 5n ? 2

,求

a7 b7

3.若等差数列{an},an=4n-34, (1)求{|an|}的前10项和;(2)求{|an|}的前n项和Tn



更多相关文章:
必修五2.3.1等差数列的前n项和公式(3课时)_图文.ppt
必修五2.3.1等差数列的前n项和公式(3课时) - 高斯(Gauss,1777
必修五2-31课时等差数列的前n项和_图文.ppt
2.3 等差数列的前n项和1课时 等差数列的前n项和 【课标要求】 1.理解等差数列前n项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.掌握由Sn求an的...
数学必修五2.3.1等差数列的前n项和_图文.ppt
数学必修五2.3.1等差数列的前n项和 - 2.3 等差数列的前 n 项和 等差数列的前 n 项和 第 1 课时 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程.?难点?? ...
人教A版数学必修五2.3等差数列的前n项和》第1课时教案.doc
人教A版数学必修五2.3《等差数列的前n项和》第1课时教案 - 课题:2.3.1 等差数列的前 n 项和(1) 主备人: 执教者: 【学习目标】掌握等差数列前 n 项...
...A版必修五优化练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式....doc
2018学年数学人教A版必修五优化练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式 - [课时作业]页 [A 组 基础巩固] 1.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=...
...A版必修五优质课件:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式....ppt
2.31 课时 等差数列的前 n 项和 等差数列的前 n 项和公式 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.探索并掌握等差数列的前 n 重点: 等差数列的前 n 项 ...
...版必修五优化练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式 ....doc
数学人教A版必修五优化练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式 Word - [课时作业]页 [A 组 基础巩固] 1.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35...
...必修五第二章 2.32课时 等差数列的前n项和公式的....doc
2018人教A版高中数学必修五第二章 2.32课时 等差数列的前n项和公式的性质及应用练习 - [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.(2015 高考全国Ⅱ卷)设 Sn ...
...A版必修五优化练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式....doc
最新人教A版必修五优化练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式 - [课时作业]页 [A 组 基础巩固] 1.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则 ...
...2.31课时 等差数列的前n项和公式 Word版含解析.doc
人教A版高中数学必修五练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式 Word版含解析 - 初中、高中、教案、习题、试卷 [课时作业]页 [A 组 基础巩固] 1...
...必修五课件:第二章 2-31课时 等差数列的前n项和公式.ppt
2017-2018学年数学人教A版必修五课件:第二章 2-3 第1课时 等差数列的前n项和公式_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。2017-2018 2.3 等差数列的前 n 项和 第 ...
...必修五第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式练....doc
2018人教A版高中数学必修五第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式练习 - [课时作业]页 [A 组 基础巩固] 1.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则...
...2.31课时 等差数列的前n项和公式 Word版含解析.doc
2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习:第二章 2.31课时 等差数列的前n项和公式 Word版含解析 - [课时作业]页 [A 组 基础巩固] 1.等差数列{an}中...
...数学必修五课件:2.31课时 等差数列的前n项和2_图....ppt
2017春人教版高中数学必修五课件:2.31课时 等差数列的前n项和2_数学_高中教育_教育专区。2.3 等差数列的前n项和1课时 等差数列的前n项和 1+2+3+...
...课件:必修五 第二章 2.3.1 等差数列的前n项和(一)_....ppt
高二数学课件:必修五 第二章 2.3.1 等差数列的前n项和(一)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.3.2 等差数列的前n项和第一课时 一、新课数列前n项和:...
...必修5高中数学 2.3 等差数列的前n项和(一课时)教....doc
2.3 等差数列的前 n 项和(一课时) (适合高二年级文科数学) 教学内容分析 本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学(必修五)》(人教 A 版)...
数学人教A版必修5第二章2.3等差数列的前n项和(1课时).doc
数学人教A版必修5第二章2.3等差数列的前n项和(1课时)_数学_高中教育_教育专区。第 1 课时 等差数列的前 n 项和 1.理解等差数列前 n 项和公式的推导...
高中数学《2.3等差数列的前n项和》第1课时教案新人教A....doc
高中数学《2.3等差数列的前n项和》第1课时教案新人教A版必修5 - 课题:2.3.1 等差数列的前 n 项和(1) 主备人: 执教者: 【学习目标】掌握等差数列前 n...
人教A版数学必修五 (2.3.1等差数列的前n项和》(一))....doc
人教A版数学必修五 (2.3.1 《等差数列的前n项和》(一))示范教案_教学案例...掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 会用等差数列的前 n 项和公式解决...
高中数学2.3等差数列的前n项和(一课时)教案新人教A版....doc
2.3 等差数列的前 n 项和(一课时) (适合高二年级文科数学) 教学内容分析 本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学(必修五)》(人教 A 版)...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图