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高中数学第三章导数及其应用31导数课堂导学案新人教B版选修11


3.1 导数 课堂导学 三点剖析 一、求函数的平均变化率 2 【例 1】 求 y=2x +1 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率. 解析:当自变量从 x0 到 x0+Δ x 时函数的平均变化率为: 2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) [2( x0 ? ?x ? 1)] ? (2 x0 ? 1) ? ?x ?x =4x0+2Δ x 温馨提示 求函数 f(x)平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 Δ f=f(x2)-f(x1) (2)计算平均变化率 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? ?x x2 ? x1 二、利用导数的定义求导 【例 2】 利用导数的定义求下列函数的导数. (1)y=x +ax+b;(2)y= 2 2 1 . x 2 解析:Δ y=(x+Δ x) +a(x+Δ x)+b-x -ax-b 2 =(Δ x) +a(Δ x)+2xΔ x. ?y (?x) 2 ? a(?x) ? 2 x· ?x ? =Δ x+a+2x. ?x ?x y′= lim (Δ x+a+2x)=2x+a. ?x ?0 (2)Δ y= 1 1 ? x ? ?x x x 2 ? x· ?x ( x ? x ? ?x ) ?y 1 ? ?? . 2 ?x x ? ?x· x· ( x ? x ? ?x ) ?y 1 1 ? 1 ? ? lim ?? ? ? x 2 , 即y ? ? ? x 2 . ?x ?0 ?x 2 2 2 x· x 温馨提示 利用定义求导数分三步:①求 Δ y;②求 三、利用导数求切线方程 3 3 ? x ? x ? ?x x 2 ? x· ?x ? ? ?x . ?y ?y ;③求 lim . ?x ? 0 ?x ?x 1 【例 3】 求函数 y= 1 2 x 在点 P(2,1)处切线的方程. 4 思路分析:利用导数求切线方程的步骤: ①先求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0); ②根据直线方程的点斜式,得切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 解 : 欲 求 切 线 方 程 需 先 求 过 点 P 的 切 线 的 斜 率 K= lim ?x ? 0 ?y . 而 ?x 1 1 2 1 2 1 2 (2+Δ x) - ×2 = ×2Δ x+ (Δ x) , 4 4 4 2 ?y 1 1 lim ( ? 2 ? ?x) ? 1 ∴ lim ?x ?0 ?x ?x ?0 2 4 Δ y= ∴过点 p 的切线方程为 y-1=x-2. 即 x-y-1=0. 温馨提示 f(x)在 x0 处的导数 f′(x0),即为在该点处的切线的斜率,这是导数的几何意义. 各个击破 类题演练 1 求函数 y=x -2,当 x=2 时, 3 3 3 ?y 的值. ?x 解:Δ y=(x+Δ x) -2-(x -2) 3 3 =(2+Δ x) -2 3 2 =(Δ x) +6(Δ x) +12Δ x ∴ ?y 2 =(Δ x) +6Δ x+12 ?x 变式提升 1 自由落体运动方程为 s= 解:Δ t=3.1-3=0.1(s) 1 2 gt ,计算从 3 s 到 3.1 s 内的平均速度. 2 1 2 1 2 g×3.1 - g×3 =0.305gcm 2 2 ?s 0.305 g ? ∴v ? =3.05g(m/s) ?t 0.1 Δ s=s(3.1)-s(3)= 类题演练 2 求函数 y= x 在 x=1 处的导数. 解析:Δ y= 1


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