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上海市嘉定区2013届高三上学期期末教学质量调研数学文试题


上海市嘉定区 2012-2013 学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(文)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须在答题纸上进行,写在试卷或草稿纸 上的解答一律无效. 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚,并在规定的区域内 贴上条形码. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若

z i ,则 ? 1 ? i ( i 为虚数单位) z ? ___________. 1 i

2.已知集合 A ? {x ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 , x ? R} , B ? {x x ? 1 ? 0 , x ? R} , 则 A ? B ? _____________. 3.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 的最小正周期是___________. 4.一组数据 8 , 9 , x , 11 , 12 的平均数是 10 ,则这组数据的方差是_________. 5.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?10,从第 9 项开始为正数, 则公差 d 的取值范围是__________________. 6.执行如图所示的程序框图,则输出的 a 的 值为_____________.
否 开始

i?0 a?4

i?3


输出 a

i ? i ?1

结束

a?

a?2 a?2

(第 6 题图) 7.小王同学有 5 本不同的语文书和 4 本不同的英语书,从中任取 2 本,则语文书和英语书各有 1 本的 概率为_____________(结果用分数表示) 。 8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 R 的半圆,则这个圆锥的底面积是________. 9.动点 P ( x , y) 到点 F (0 , 1) 的距离与它到直线 y ? 1 ? 0 的距离相等,则动点 P 的轨迹方程为 _______________.

·1·

10.在△ ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,且满足 cos 则△ ABC 的面积为______________.

A 2 5 , AB ? AC ? 3 , ? 2 5

? 1 ? ? , 0 ? , B? 0 , 2 ? ? n ? ? 的面积,则 lim S n ? ___________.
11.已知点 A?1 ?
n??

2? 1 2? ? ? , C ? 2 ? , 3 ? ? ,其中 n 为正整数,设 S n 表示△ ABC n? n n? ?

12.给定两个长度为 1 ,且互相垂直的平面向量 OA 和 OB ,点 C 在以 O 为圆心、 | OA | 为半径的劣 弧 AB 上运动,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x 、 y ? R ,则 x 2 ? ( y ? 1) 2 的最大值为______. 13.设 a 、b ? R ,且 a ? ?2 ,若定义在区间 (?b , b) 内的函数 f ( x ) ? lg 取值范围是________________. 14.在数列 {an } 中,若存在一个确定的正整数 T ,对任意 n ? N 满足 an?T ? an ,则称 {an } 是周期
*

1 ? ax b 是奇函数,则 a 的 1 ? 2x

T 数列, 叫做它的周期. 已知数列 {xn } 满足 x1 ? 1 ,x2 ? a a ? 1 ) xn?2 ?| xn?1 ? xn | , ( , 当数列 {xn }
的周期为 3 时,则 {xn } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ________. 二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
2 15.已知 x ? R ,条件 p : x ? x ,条件 q :

1 ? 1 ,则 p 是 q 的…………………( x



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 16.以下说法错误的是……………………………………………………………………( A.直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是 [0 , ? )



? ?? ? 2? ? C.平面内两个非零向量的夹角的取值范围是 [0 , ? )
B.直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是 ?0 , D.空间两条直线所成角的取值范围是 ?0 ,

2? ? x 17.设函数 f (x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 4 ,则 {x f ( x ? 2) ? 0 }等于…(
A. {x x ? ?2 或 x ? 2} C. {x x ? 0 或 x ? 6} B. {x x ? ?2 或 x ? 4} D. {x x ? 0 或 x ? 4}

? ?

??



18. 在平面直角坐标系内, M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y 2 ) 为不同的两点, 设 直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0 ,

?1 ? ax1 ? by1 ? c ,? 2 ? ax2 ? by2 ? c .有四个命题:①若 ? 1? 2 ? 0 ,则点 M 、N 一定在直线 l 的 同侧;②若 ? 1? 2 ? 0 ,则点 M 、 N 一定在直线 l 的两侧; 2 2 ③若 ?1 ? ? 2 ? 0 ,则点 M 、 N 一定在直线 l 的两侧;④若 ?1 ? ? 2 ,则点 M 到直线 l 的距离大于点
N 到直线 l 的距离.上述命题中,全部真命题的序号是……………………(
A.① ② ③ B.① ② ④ C.② ③ ④
·2·

) D.① ② ③ ④

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 设复数 z ? (a 2 ? 4 sin 2 ? ) ? 2(1 ? cos? ) ? i ,其中 a ? R , ? ? (0 , ? ) , i 为虚数单位.若 z 是 方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个根,且 z 在复平面内对应的点在第一象限,求 ? 与 a 的值.
2

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? PA ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积 V ; (2)求异面直线 AB 与 PC 所成角的大小. P

A C

B

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A 、 B ,右焦点为 F .设过点 T (t , m) 的直 16 7

线 TA 、 TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,其中 m ? 0 , y1 ? 0 , y 2 ? 0 . (1)设动点 P 满足 | PF | ? | PB | ? 3 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)若 x1 ? 3 , x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标. 2
·3·

y M F B T

A

O

·

x

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a5 ? a13 ? 34 , S 3 ? 9 .数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,满 足 Tn ? 1 ? bn . (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 是数列 {bn } 的项; am ? 9 an (3) 设数列 {cn } 的通项公式为 cn ? , 问: 是否存在正整数 t 和 k ( k ? 3 ) 使得 c1 ,c2 , , an ? t ck 成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对 (t , k ) ;若不存在,请说明理由.
(2)写出一个正整数 m ,使得

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x? | x ? a | . (1)当 a ? 2 时,写出函数 f (x) 的单调递增区间(不必证明) ; (2)当 a ? 2 时,求函数 y ? f (x) 在区间 [1 , 2] 上的最小值; (3)设 a ? 0 ,函数 f (x) 在区间 (m , n) 上既有最小值又有最大值,请分别求出 m 、 n 的取值 范围(用 a 表示) .

·4·

2012 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(文)参考答案与评分标准
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. 2 ? i 5. ? 2. {x ? 2 ? x ? ?1 } 6. 3. ? 4. 2 8.

? 5 10 ? , ?4 7 ? ?

7 3

9. x 2 ? 4 y 13. (1 ,

10. 2 14. 1342

5 9 5 11. 2
7.

?R 2
4

12. 2

2]

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.A 16.C 17.D 18.B 三.解答题 19. (本题满分 12 分) 方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的根为 x ? 1 ? i .………………(3 分) 因为 z 在复平面内对应的点在第一象限,所以 z ? 1 ? i ,………………(5 分)
2

?a 2 ? 4 sin 2 ? ? 1 2? 1 ,解得 cos ? ? ? ,因为 ? ? (0 , ? ) ,所以 ? ? ,……(8 分) 3 2 2(1 ? cos? ) ? 1 ? 3 2 2 2 所以 sin ? ? ,所以 a ? 1 ? 4 sin ? ? 4 ,故 a ? ?2 .…………(11 分) 4 ?? 所以 ? ? , a ? ?2 .…………(12 分) 3
所以 ? 20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)因为 PA ? 底面 ABC ,所以三棱锥 P ? ABC 的高 h ? PA ,…………(3 分)

1 1 1 4 Sh ? ? ? AC ? BC ? PA ? .…………(6 分) 3 3 2 3 (2)取 PA 中点 E , PB 中点 F , BC 中点 G , 连结 EF , FG , EG ,则 EF ∥ AB , FG ∥ PC , 所以 ?EFG 就是异面直线 AB 与 PC 所成的角(或其补角) .…………(2 分)
所以, V ? 连结 AG ,则 AG ?

AC2 ? CG 2 ? 5 ,……(3 分)

P E A G C F B

EG ? EA2 ? AG2 ? 6 , …………(4 分)
又 AB ? PC ? 2 2 ,所以 EF ? FG ? 在△ EFG 中, cos?EFG ?

2 .…………(5 分)

EF 2 ? FG 2 ? EG 2 1 ? ? ,……(7 分) 2 EF ? FG 2
·5·

故 ?EFG ? 120 ? .所以异面直线 AB 与 PC 所成角的大小为 60 ? .…………(8 分) 21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)由已知, B(4 , 0) , F (3 , 0) ,…………(1 分)设 P( x , y ) ,……(2 分) 由 | PF | 2 ? | PB | 2 ? 3 ,得 [(x ? 3) 2 ? y 2 ] ? [(x ? 4) 2 ? y 2 ] ? 3 ,…(5 分) 化简得, x ? 5 .所以动点 P 的轨迹是直线 x ? 5 .……(6 分)

? 9 y12 ?1 ? ? x2 y2 ?16 7 ?1 ? ? ? 1 得, ? (2)将 M (3 , y1 ) 和 N ? , y 2 ? 代入 ,……(1 分) 2 16 7 ?2 ? ? 1 ? y2 ? 1 ? 64 7 ?
? 2 49 ? y1 ? 16 ? 解得 ? ,……(2 分) 441 2 ?y ? ? 2 64 ?
因为 y1 ? 0 , y 2 ? 0 ,所以 y1 ? 所以 M ? 3 ,

7 , 4

y2 ? ?

21 .…………(3 分) 8

? ?

7? 21? ?1 ? , N ? , ? ? .…………(4 分) 4? 8? ?2

又因为 A(?4 , 0) , B(4 , 0) , 所以直线 MA 的方程为 y ?

1 3 ( x ? 4) ,直线 NB 的方程为 y ? ( x ? 4) .……(5 分) 4 4

1 ? ? y ? 4 ( x ? 4) ? 由? ,…………(6 分) ? y ? 3 ( x ? 4) ? 4 ?
解得 ?

?x ? 8 .…………(7 分) ?y ? 3

所以点 T 的坐标为 (8 , 3) .……(8 分)

·6·

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) (1)设数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,由已知,有 ? 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,…………(3 分) 所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ( n ? N ) .…………(4 分)
*

?2a1 ? 16d ? 34 ,……(2 分) ?3a1 ? 3d ? 9

(2)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ? 1 ? b1 ,所以 b1 ?

1 .……(1 分) 2

由 Tn ? 1 ? bn ,得 Tn?1 ? 1 ? bn?1 ,两式相减,得 bn?1 ? bn ? bn?1 , 故 bn ?1 ?

1 bn ,……(2 分) 2
1 1 ?1? ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .……(3 分) 2 2 ?2?
n

所以, {bn } 是首项为

1 1 1 ,…………(4 分) ? ? a m ? 9 2m ? 8 2(m ? 4)
要使

1 n 是 {bn } 中的项,只要 m ? 4 ? 2 即可,可取 m ? 4 .…………(6 分) am ? 9

n * (只要写出一个 m 的值就给分,写出 m ? 2 ? 4 , n ? N , n ? 3 也给分)

(3)由(1)知, c n ?

2n ? 1 ,…………(1 分) 2n ? 1 ? t

要使 c1 , c2 , ck 成等差数列,必须 2c2 ? c1 ? ck ,即

6 1 2k ? 1 ? ? ,…………(2 分) 3 ? t 1 ? t 2k ? 1 ? t 4 化简得 k ? 3 ? .…………(3 分) t ?1 因为 k 与 t 都是正整数,所以 t 只能取 2 , 3 , 5 .…………(4 分) 当 t ? 2 时, k ? 7 ;当 t ? 3 时, k ? 5 ;当 t ? 5 时, k ? 4 .…………(5 分)
综上可知,存在符合条件的正整数 t 和 k ,所有符合条件的有序整数对 (t , k ) 为:

·7·

(2 , 7) , (3 , 5) , (5 , 4) .…………(6 分)

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分)
2 ? ?( x ? 1) ? 1 , x ? 2 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x? | x ? 2 |? ? ,…………(2 分) ?? ( x ? 1) 2 ? 1 , x ? 2 ?

所以,函数 f (x) 的单调递增区间是 (?? , 1] 和 [2 , ? ?) .…………(4 分) (2)因为 a ? 2 , x ? [1 , 2] 时,

a? a2 ? .…………(1 分) f ( x) ? x ? (a ? x) ? ? x ? ax ? ?? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2

a 3 ? ,即 2 ? a ? 3 时, f ( x) min ? f (2) ? 2a ? 4 .…………(3 分) 2 2 a 3 当 ? ,即 a ? 3 时, f ( x) min ? f (1) ? a ? 1 .…………(5 分) 2 2
当1 ? 所以, f ( x) min ? ?

?2a ? 4 , 2 ? a ? 3 .…………(6 分) a?3 ?a ? 1 ,

(3) f ( x) ? ?

? x( x ? a ) , x ? a .…………(1 分) ? x( a ? x) , x ? a
y

①当 a ? 0 时,函数的图像如图所示,

? a2 1? 2 ?y ? a ,……(1 分) 由? 解得 x ? 4 2 ? y ? x( x ? a ) ?
所以 0 ? m ?

a 4

2

O a

a

x

2

a 1? 2 a .……(4 分) ,a ? n ? 2 2
y

②当 a ? 0 时,函数的图像如图所示,

? a2 1? 2 ?y ? ? a ,……(5 分) 由? 解得 x ? 4 2 ? y ? x(a ? x) ?
·8·

a a 2
O

a ? 4

2

x

所以,

a 1? 2 a ? m ? a , ? n ? 0 .……(8 分) 2 2

·9·



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