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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第九章 平面解析几何 第7课


§ 9.7

抛物线

1. 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F 叫 做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2 =2px(p>0) y2 =-2px(p>0) x2 =2py(p>0) x2 =-2py(p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 x= p 2 p ? F? ?2,0? y=0 p ? F? ?-2,0?

O(0,0) x=0 p? F? ?0,2? e=1 p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 y= p 2 p? F? ?0,-2?

x≤0,y∈R 向左

y≤0,x∈R 向下

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )

a (2)方程 y=ax2 (a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是( ,0),准线 4 a 方程是 x=- . 4 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( ( × ) × )

p p2 2 (4)AB 为抛物线 y =2px(p>0)的过焦点 F ( ,0)的弦,若 A (x1,y1 ), B (x2 ,y2),则 x1 x2 = , 2 4 y1 y2 =-p2 ,弦长|AB |=x1 +x2 +p. ( √ )

2. 设抛物线 y2 =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是 1 1 A. ?- , ? ? 2 2? C.[-1,1] 答案 解析
2

( B. [-2,2] D.[-4,4]

)

C Q(-2,0),设直线 l 的方程为 y=k (x+2),代入抛物线方程,消去 y 整理得 k2 x2 +
2

(4k -8)x+4k =0, 由 Δ=(4k2 -8)2 -4k 2· 4k 2 =64(1-k2 )≥0, 解得-1≤k ≤1. 3. (2012· 四川)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0 ).若 点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|等于 A.2 2 C.4 答案 解析 B 由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0),
2

(

)

B.2 3 D.2 5

p p 则 M 到焦点的距离为 xM + =2+ =3, 2 2 ∴p=2,∴y2 =4x. ∴y2 0=4×2=8, ∴|OM|= 4+y2 0= 4+8=2 3. 4. 动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________. 答案 解析 y = 4x 设动圆的圆心坐标为(x, y), 则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,
2

根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2 =4x. x2 y2 5. 若抛物线 y2 =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为________. 6 2 答案 解析 4. 4 x y 因为椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2 =2px 的焦点为(2,0),则 p= 6 2
2 2

题型一 例1

抛物线的定义及应用 已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA |+|PF |
2

的最小值,并求出取最小值时点 P 的坐标. 思维启迪 由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,求|PA |

+|PF |的问题可转化为求|PA |+d 的问题. 解 将 x=3 代入抛物线方程

y2 =2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部,如图. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知|PA |+|PF | 2 7 7 =|PA |+d,当 PA ⊥l 时,|PA |+d 最小,最小值为 ,即|PA |+|PF |的最小值为 ,此时 P 点 2 2 纵坐标为 2,代入 y2 =2x,得 x=2,∴点 P 的坐标为(2,2). 思维升华 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线

的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点, 看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到 该抛物线准线的距离之和的最小值为 A. 17 2 A 1 抛物线 y2 =2x 的焦点为 F ( ,0),准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距 2 B.3 C. 5 9 D. 2 ( )
2

答案 解析

离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离 之和的最小值, 可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值, 结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 1 17 ? ?2 +?-2?2 = ,选 A. 2 2 题型二 例2 抛物线的标准方程和几何性质 抛物线的顶点在原点, 对称轴为 y 轴, 它与圆 x2 +y2 =9 相交, 公共弦 MN 的长为 2 5, 求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程. 思维启迪 解 首先确定方程的形式,根据条件列方程确定方程中的系数.

由题意,得抛物线方程为 x2 =2ay (a≠0).

设公共弦 MN 交 y 轴于 A ,N 在 y 轴右侧, 则|MA |=|AN|,而|AN|= 5.

∵|ON|=3,∴|OA |= 32 -? 5?2 =2,∴N( 5,± 2). 5 ∵N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a=± , 2 5 5 故抛物线的方程为 x2 = y 或 x2 =- y. 2 2 5 5? 5 2 抛物线 x = y 的焦点坐标为? ?0,8?,准线方程为 y=-8. 2 5 5 5 抛物线 x2 =- y 的焦点坐标为?0,- ?,准线方程为 y= . ? 2 8? 8 思维升华 (1)由抛物线的标准方程,可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及 p

的值,再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程. (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在 方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个条件就可以确 定抛物线的标准方程. (1)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 =ax(a≠0)的焦点 F , 且和 y 轴交于点 A. 若△OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 A.y =± 4x C.y2 =4x
2

(

)

B. y =± 8x D.y2 =8x

2

(2)(2013· 江西)已知点 A (2,0),抛物线 C:x2 =4y 的焦点为 F ,射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|等于 A.2∶ 5 答案 解析 B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3 ( )

(1)B (2)C a a (1)直线方程为 y=2(x- ),令 x=0,得 y=- , 4 2

1 a a a2 故有 4= · | |· |- |= , 2 4 2 16

∴a=± 8,∴y =± 8x. (2)由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距离 MH. 即|FM|∶|MN|=|MH|∶|MN| =|FO|∶|AF |=1∶ 5. 题型三 例3 抛物线焦点弦的性质 设抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点,点 C 在 抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O.

2

思维启迪

证直线 AC 经过原点 O,即证 O、A 、C 三点共线,为此只需证 k OC=k OA. 本题

也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决. 证明
2

方法一

p 2 设 AB :x=my+ ,代入 y =2px, 2
2

得 y -2pmy-p =0. p2 2 由根与系数的关系,得 yA yB =-p ,即 yB =- . yA p p ∵BC∥x 轴,且 C 在准线 x=- 上,∴C(- ,yB ). 2 2 则 kOC= yB 2p yA = = =k OA . p yA xA - 2

∴直线 AC 经过原点 O. 方法二 D. 则 AD∥EF ∥BC. 连接 AC 交 EF 于点 N, 则 |EN| |CN| |BF | = = , |AD| |AC| |AB | 如图,记准线 l 与 x 轴的交点为 E ,过 A 作 AD⊥l,垂足为

|NF | |AF | = . |BC| |AB | ∵|AF |=|AD|,|BF |=|BC|, ∴|EN|= |AD|· |BF | |AF |· |BC| = =|NF |, |AB | |AB |

即 N 是 EF 的中点,从而点 N 与点 O 重合,故直线 AC 经过原点 O. 思维升华 本题的“几何味”特别浓,这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的
2

证法中,关键是得到 yA yB =-p 这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识, 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析 几何题目. 已知抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点为 F ,A (x1 ,y1)、B(x2 ,y2 )是过 F 的直线与 抛物线的两个交点,求证: p2 2 (1)y1 y2 =-p ,x1 x2 = ; 4 1 1 (2) + 为定值; |AF | |BF | (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 p (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ,0). 2

p 2 由题意可设直线方程为 x=my+ ,代入 y =2px, 2

p 2 2 2 得 y =2p(my+ ),即 y -2pmy-p =0.(*) 2 则 y1 、y2 是方程(*)的两个实数根,所以 y1 y2 =-p2.
2 2 2 2 因为 y2 1=2px1 ,y2 =2px2 ,所以 y1y 2=4p x1 x2 ,

y2 y2 p4 p2 所以 x1 x2 = 1 22 = 2 = . 4p 4p 4 1 1 1 1 (2) + = + |AF | |BF | p p x1 + x2 + 2 2 = x1 +x2 +p 2. p p x1 x2 + ?x1 +x2 ?+ 2 4

p2 因为 x1 x2 = ,x1 +x2 =|AB |-p,代入上式, 4 得 1 1 |AB | 2 + = = (定值). |AF | |BF | p2 p p2 p + ?|AB|-p?+ 4 2 4

(3)设 AB 的中点为 M(x0 ,y0 ),分别过 A 、B 作准线的垂线,垂足为 C、 1 1 D, 过 M 作准线的垂线, 垂足为 N, 则|MN|= (|AC|+|BD|)= (|AF |+|BF |) 2 2 1 = |AB |. 2 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型四 例4 直线与抛物线的位置关系 已知抛物线 C:y=mx2 (m>0),焦点为 F,直线 2x-y+2=0 交抛物线 C 于 A , B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标. (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3,求此时 m 的值. (3)是否存在实数 m,使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出 m 的值; 若不存在,说明理由. 思维启迪 解 抛物线上的点到抛物线的焦点距离,往往转化为该点到准线的距离.

1 1 (1)∵抛物线 C:x2 = y,∴它的焦点 F (0, ). m 4m

1 1 1 (2)∵|RF |=yR + ,∴2+ =3,得 m= . 4m 4m 4
?y=mx , ? (3)存在,联立方程? ?2x-y+2=0, ?
2

消去 y 得 mx2 -2x-2=0, 1 依题意,有 Δ=(-2)2 -4×m×(-2)>0?m>- . 2

2 设 A (x1 ,mx2 1 ) ,B ( x2 ,mx2) ,

2 , ?x +x =m 则? 2 x =- , ?x · m
1 2 1 2

(*)

2 x1 +x2 mx2 1 +mx2 ∵P 是线段 AB 的中点,∴P( , ), 2 2

1 1 1 即 P ( ,yP ),∴Q( , ). m m m 1 1 1 1 → → 2 2 得QA =(x1 - ,mx 1- ),QB =(x2 - ,mx 2- ), m m m m 若存在实数 m,使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形, → → 则QA · QB =0, 1 1 1 1 2 即(x1 - )· (x2 - )+(mx2 1 - )( mx 2- ) =0, m m m m 4 6 结合(*)化简得- 2 - +4=0, m m 1 2 即 2m -3m-2=0,∴m=2 或 m=- , 2 1 1 1 而 2∈(- ,+∞),- ?(- ,+∞). 2 2 2 ∴存在实数 m=2,使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形. 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要

用到根与系数的关系; (2)有关直线与抛物线的弦长问题, 要注意直线是否过抛物线的焦点, 若过抛物线的焦点, 可直接使用公式|AB |=x1 +x2 +p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而 不求”“整体代入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F (1,0)的距离减去它到 y 轴距 离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; → → (2)是否存在正数 m, 对于过点 M(m, 0)且与曲线 C 有两个交点 A , B 的任一直线, 都有FA· FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足: ?x-1? +y -x=1(x>0). 化简得 y2 =4x(x>0). (2)设过点 M(m, 0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A (x1 ,y1),B (x2 ,y2 ).
2 2

设 l 的方程为 x=ty+m,由? Δ=16(t2 +m)>0, 于是?
?y1 +y2 =4t, ? ?y1 y2 =-4m. ?

? ?x=ty+m, ? y =4x ?
2

得 y -4ty-4m=0,

2



→ → 又FA=(x1 -1,y1 ),FB=(x2 -1,y2 ), → → FA· FB<0? (x1 -1)(x2 -1)+y1 y2 =x1 x2 -(x1 +x2 )+1+y1 y2 <0. ② 又 x= y y y y y ?y y ? 1 , 于 是 不 等 式 ② 等 价 于 1 · 2 + y1 y2 - ? 1 + 2? + 1 < 0 ? 1 2 + y1 y2 - ? 4 4? 4 4 4 16 4
2 2 2 2 2 2

[?y1+y2?2-2y1y2]+1<0.③
由①式,不等式③等价于 m2 -6m+1<4t2 . ④ 对任意实数 t, 4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2 -6m+1<0,即 3-2 2<m<3+2 2. 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m, 0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 → → 有FA· FB<0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2).

直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例:(15 分)设抛物线 C:y2 =2px(p>0)的焦点为 F ,直线 l 过 F 且与抛 物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的 面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在, 求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 思维启迪 (1)求 MN 的长,由面积得 p 的值;

(2)问题的几何条件是:线段 MN 的中垂线与 y 轴的交点和 M,N 构成等腰直角三角形, 因此依次待定直线,表示中点,得中垂线与 y 轴交点,利用直角边垂直关系列式求解. 规范解答 解 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,则|MN|=2p,

1 p p2 ∴S△OMN= · 2p·= =2,即 p=2. 2 2 2 ∴抛物线 C 的方程为 y2 =4x. [5 分]

(2)∵直线 l 与 x 轴垂直时,不满足.设正方形的第三个顶点为 P. 故可设直线 l:y=k (x-1)(k ≠0),M(x1 ,y1 ),N(x2 ,y2),P(0,y0 ), 联立?
? ?y=k ?x-1?, ?y =4x, ?
2 2

可化简得 k2 x2 -(2k 2 +4)x+k 2 =0,

2k +4 ? ?x1 +x2 = 2 , k 2 +2 2 k 则? 代入直线 l 可得 MN 的中点为( 2 , ), k k ? ?x1 x2 =1.

4 ? ?y1 +y2 = , k ? ?y1 y2 =-4, ? 2 1 2 则线段 MN 的垂直平分线为 y- =- (x-1- 2), k k k 3 2 故 P (0, + 3).[10 分] k k → → 又PM· PN=0,则 x1 x2 +(y1 -y0 )(y2 -y0 )=0. 即 x1 x2 +y1 y2 -y0 (y1 +y2 )+y2 0 =0. 4 1-4-y0 ·+y 2 0=0, k 化解得 ky2 0 -4y0 -3k =0, 3 2 由 y0 = + 3代入上式,化简得(3k 4 -4)(k2 +1)=0. k k 解得 k =± 4 4 . 3 4 4 (x-1).[15 分] 3

∴存在直线 l:y=±

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤: 第一步:联立方程,得关于 x 或 y 的一元二次方程; 第二步:写出根与系数的关系,并求出 Δ>0 时参数范 围(或指出直线过曲线内一点) 第三步:根据题目要求列出关于 x1 x2 ,x1 +x2 的关系 式,求得结果; 第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况. 温馨提醒 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考

查解析几何的基本思想方法和综合解题能力;(1)题比较基础,易于掌握;(2)题的基本点 是设而不求,难点是如何把几何条件转化为代数方程,重点考查解题思想与方法,其中 我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.

方法与技巧 1. 认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y=ax 与 y =2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为 y2 =mx 或 x2 =my(m≠0). 2. 抛物线的焦点弦:设过抛物线 y2 =2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1 ,y1 ),B(x2 , y2 ),则: p2 (1)y1 y2 =-p2 ,x1 x2 = ; 4 2p (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ,则|AB |= 2 ; sin θ 1 1 2 (3)若 F 为抛物线焦点,则有 + = . |AF | |BF | p 失误与防范 1. 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 值, 但首先要判断抛物线是否为标准方程, 以及是哪一种标准方程. 2.注意应用抛物线的定义解决问题.
2 2

A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 一、选择题 1 2 1. 抛物线 y=- x 的焦点坐标是 2 1 A.(0, ) 8 1 C.(0,- ) 2 答案 解析 C 把原方程先化为标准方程 x2 =-2y,则 2p=2, 1 B.(- ,0) 8 1 D.(- ,0) 2 ( )

p 1 1 ∴ = ,即焦点坐标为(0,- ),故选 C. 2 2 2 y2 2. (2013· 四川)抛物线 y2 =4x 的焦点到双曲线 x2 - =1 的渐近线的距离是 3 A. 1 2 B. 3 2 C.1 D. 3 ( )

答案 解析

B 抛物线 y2 =4x 的焦点 F (1,0),

y2 双曲线 x2 - =1 的渐近线是 y=± 3x,即 3x± y=0, 3 ∴所求距离为 | 3± 0| ? 3? +?± 1?
2 2



3 . 选 B. 2

3. 已知抛物线 y2 =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A 、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1 C.x=2 答案 解析 B p 2 ∵y =2px 的焦点坐标为( ,0), 2 B. x=-1 D.x=-2 ( )

p ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , 2 p 2 2 2 即 x=y+ ,将其代入 y =2px,得 y =2py+p , 2 即 y2 -2py-p2 =0.设 A (x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ), y1 +y2 则 y1 +y2 =2p,∴ =p=2, 2 ∴抛物线的方程为 y2 =4x,其准线方程为 x=-1. yy 4. 已知抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1 ,y1), B (x2,y2 ),则 1 2 的 x1 x2 值一定等于 A.-4 答案 解析 A ①若焦点弦 AB ⊥x 轴, B.4 C.p
2

( D.-p
2

)

p p2 则 x1 =x2 = ,则 x1 x2 = ; 2 4 p ②若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴,可设 AB :y=k (x- ), 2 p2 k 2 2 2 2 2 联立 y =2px 得 k x -(k p+2p)x+ =0, 4

p2 则 x1 x2 = . 4 p2 yy 即 x1 x2 = ,则 y1 y2 =-p2 . 故 1 2 =-4. 4 x1 x2 p p2 5. 如图,抛物线 C1 :y2 =2px 和圆 C2 :(x- )2 +y2 = ,其中 p>0,直线 2 4 l → → 经过 C1 的焦点,依次交 C1 ,C2 于 A ,B ,C,D 四点,则 AB· CD的值 为 ( A.p 答案 解析
2

)

B. B

p 4

2

p C. 2

2

p D. 3

2

设抛物线的焦点为 F ,A(x1 ,y1 ),D(x2 ,y2 ),

p p 则|AB |=|AF|-|BF |=x1 + - =x1 , 2 2 同理|CD|=x2 . p → → 又AB· CD=|AB ||CD|=x1 · x2 = . 4 二、填空题 6. 若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0, 3)的距离小 2, 则点 P 的轨迹方程是________. 答案 解析 x2 =12y 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨迹是
2

以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x2 =12y. 7. 已知过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点, |AF |=2, 则|BF |=________. 答案 解析 2 设 A (x0 ,y0),由抛物线定义知 x0 +1=2,
2

∴x0 =1,则直线 AB ⊥x 轴, ∴|BF |=|AF|=2.

8. 已知抛物线 C:y2 =2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A , → → 与 C 的一个交点为 B ,若AM=BM,则 p=________. 答案 2

解析

如图,由 AB 的斜率为 3, → → 知∠α=60° ,又AM=BM, ∴M 为 AB 的中点. 过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P , 则∠ABP =60° ,∴∠BAP =30° . 1 ∴|BP| = |AB| =|BM| . 2 p ∴M 为焦点,即 =1,∴p=2. 2 三、解答题 9. 如图,已知抛物线 y2 =2px (p>0)有一个内接直角三角形,直角顶 点在原点,两直角边 OA 与 OB 的长分别为 1 和 8,求抛物线的方 程. 解 设直线 OA 的方程为 y=kx,k ≠0,

1 则直线 OB 的方程为 y=- x, k 由?
?y=kx, ? ? ?y =2px,
2

2p 得 x=0 或 x= 2 . k

2p 2p? ∴A 点坐标为? ? k 2 , k ?, 同理得 B 点坐标为(2pk 2 ,-2pk ), 由|OA |=1,|OB |=8, k +1 ? ?4p2 4 =1, ① k 可得? ?4p2 k 2?k 2 +1?=64, ② ? ②÷ ①解方程组得 k =64,即 k =4. 16 4 则 p2 = 2 2 = . k ?k +1? 5 2 5 4 5 又 p>0,则 p= ,故所求抛物线方程为 y2 = x. 5 5 10.(2013· 福建)如图,抛物线 E :y =4x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点为 A . 点 C 在抛物
2 6 2 2

线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N.

(1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; (2)若|AF |2 =|AM|· |AN|,求圆 C 的半径. 解 (1)抛物线 y2 =4x 的准线 l 的方程为 x=-1.

由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= 5, 所以|MN|=2 |CO| -d =2 5-4=2. y0 (2)设 C( ,y0 ),则圆 C 的方程为 4 y y (x- 0 )2 +(y-y0 )2 = 0 +y 2 0, 4 16 y2 即 x2 - 0x+y2 -2y0 y=0. 2 y2 由 x=-1,得 y2 -2y0 y+1+ 0 =0, 2 设 M(-1,y1),N(-1,y2 ),则
2 4 2 2 2

? ? y ?y y = 2 +1.
1 2 2 0

2 y0 2 Δ=4y2 0 -4? 1+ ? =2y 0-4>0, 2

由|AF |2 =|AM|· |AN|,得|y1 y2 |=4, y2 所以 0 +1=4,解得 y0 =± 6,此时 Δ>0. 2 3 3 所以圆心 C 的坐标为( , 6)或( ,- 6), 2 2 从而|CO|2 = 33 33 33 ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 . 4 2 2 B组 专项能力提升

(时间:30 分钟) → → → → 1. 设 F 为抛物线 y2 =4x 的焦点,A ,B ,C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|

→ → +|FB|+|FC|等于 A.9 答案 解析 B.6 B 设 A (x1 ,y1)、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3),又 F (1,0). C.4 D.3

(

)

→ → → 由FA+FB+FC=0 知(x1 -1)+(x2 -1)+(x3 -1)=0, 即 x1 +x2 +x3 =3, 3 → → → |FA|+|FB|+|FC|=x1 +x2 +x3 + p=6. 2 2. 已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F ,准线为 l,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线,垂 足为 M,若△AMF 与△AOF (其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3∶1,则点 A 的坐标为 ( ) B.(2,-2 2) D.(2,± 2 2)
2

A.(2,2 2) C.(2,± 2) 答案 解析 D 如图所示,由题意,

可得|OF |=1,由抛物线的定义, 得|AF |=|AM|, ∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3∶1, 1 ×|AF |×|AM|×sin∠MAF S△AMF 2 ∴ = =3, S△AOF 1 ×|OF |×|AF |×sin?π-∠MAF ? 2 y2 0 ∴|AF |=|AM|=3,设 A? ,y0? , ?4 ? y2 0 ∴ +1=3,解得 y0 =± 2 2. 4 y2 ∴ 0 =2,∴点 A 的坐标是(2,± 2 2). 4 3. (2012· 安徽)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A , B 两点, O 为坐标原点. 若 |AF |=3,则△AOB 的面积为 A. 2 2 B. 2 C 如图所示, 3 2 C. 2 D.2 2 ( )
2

答案 解析

由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF |=3,

由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y2 =4x 得 y2 =8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A (2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).

?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x,
1 ? ?x= , ?x=2, 解之得? 2 或? ?y=2 2. ? ?y=- 2 1 由图知 B? ,- 2?, ?2 ? 1 1 ∴S△AOB = |OF |· |yA -yB |= ×1×|2 2+ 2| 2 2 = 3 2. 故选 C. 2
2

4. 已知直线 l1 :4x-3y+11=0 和直线 l2 :x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是________. 答案 解析 3 因为 x=-1 恰为抛物线 y2 =4x 的准线,

所以可画图观察.如图,连接 PF d2 =PF ,∴d1 +d2 =d1 +PF ≥FQ = |4×1-3×0+11| 4 + ? - 3?
2 2



15 =3. 5

5. 如图,过抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A ,B , 交其准线 l 于点 C,若 BC=2BF ,且 AF =3,则此抛物线的方程为 ________. 答案 解析 y2 =3x 如图,分别过 A ,B 作 AA1 ⊥l 于 A 1 ,BB1 ⊥l 于 B 1 ,

由抛物线的定义知 AF =AA1 ,BF =BB1 , ∵BC=2BF ,∴BC=2BB 1 , ∴∠BCB 1 =30° ,∴∠AFx=60° .

则△AA 1F 为等边三角形, 过 F 作 FF1 ⊥AA 1 于 F1 , 则 F 1 为 AA 1 的中点, 设 l 交 x 轴于 K, 1 1 3 则 KF =A 1F 1 = AA 1 = AF ,即 p= , 2 2 2 ∴抛物线方程为 y2 =3x. 6. 抛物线 y =4x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 A ,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动, 原点 O 关于点 M 的对称点为 C, 求四边形 OACB 面积的最小值. 解 (1)依题意知 F (1,0),设直线 AB 的方程为 x=my+1.
2

将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 y2 -4my-4=0. 设 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 ),所以 y1 +y2 =4m,y1 y2 =-4. ① → → 因为AF=2FB,所以 y1 =-2y2 . ② 2 联立①和②,消去 y1 ,y2 ,得 m=± . 4 所以直线 AB 的斜率是± 2 2. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点, 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等, 所以四边形 OACB 的面积等于 2S△AOB. 1 因为 2S△AOB =2× · |OF |· |y1 -y2 | 2 = ?y1 +y2 ?2 -4y1 y2 =4 1+m2 , 所以当 m=0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4.



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