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安徽省蚌埠铁路中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年安徽省蚌埠铁路中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. (5 分)已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1},则 A∩B=() A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1} D.?
x

2. (5 分)设 M={1,2,3},N={e,g,h},从 M 到 N 的四种对应方式如图,其中是从 M 到 N 的映射的是()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)下列函数中哪个与函数 y=x 相等() A.y= B.y=
2

C.y=

D.y=

4. (5 分)已知 f(x﹣1)=x +4x﹣5,则 f(x+1)=() 2 2 2 A.x +6x B.x +8x+7 C.x +2x﹣3

D.x +6x﹣10

2

5. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)设 f(x)= A.2
x

,则 f=() B. 3 C. 9 D.18

7. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()

A.

B.
2

C.

D.

8. (5 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |+a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是() A. B.(﹣4,0) C. D.(0,4) 9. (5 分)若函数 f(x)=(a ﹣2a﹣3)x +(a﹣3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值 范围是() A.a=﹣1 或 3 B.a=﹣1 C.a>3 或 a<﹣1 D.﹣1<a<3 10. (5 分)若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间?D(其中 a<b) ,使得当 x∈ 2 时,f(x)的取值范围恰为,则称函数 f(x)是 D 上的正函数.若函数 g(x)=x +m 是(﹣ ∞,0)上的正函数,则实数 m 的取值范围为() A. B. C. D.
2 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)若 a>0,且 a≠1,则函数 y=a
x﹣1

+1 的图象一定过定点.

12. (5 分)幂函数 f(x)=(m ﹣2m﹣ 2)

2

在(0,+∞)是增函数,则 m=.

13. (5 分)函数

的单调递减区间是.

14. (5 分)已知函数 等的实数根,则实数 a 的取值范围是.

若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相

15. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,给出下列命题: ①f(0)=0;

②若 f(x)在(0,+∞)上有最小值为﹣1,则 f(x)在(﹣∞,0)上有最大值 1; ③若 f(x)在上为减函数; ④若 x>0,f(x)=x ﹣2x;则 x<0 时,f(x)=﹣x ﹣2x. 其中所有正确的命题序号是.
2 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分) (1)已知 a=
2

,b=

,求 的值;

2

(2)计算 lg8+lg 5+lg2?lg50+lg25 的值.
2

17. (12 分)已知全集 U=R,A={x|x≥3},B={x|x ﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1} (1)求 A∩B; A∪(?UB) (2)若 C∪A=A,求实数 a 的取值范围.

18. (12 分)已知函数



(1)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明; (2)利用函数单调性的定义证明:f(x)是其定义域上的增函数. 19. (13 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx, (a,b 为常数,且 a≠0)满足条件 f(﹣x+5)=f (x﹣3) ,且方程 f(x)=x 有两个相等的实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为与,若存在,求出 m,n 的值,若不存在,请说明理由. 20. (13 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每 生产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 2 .8 万元,并且每生产 1 百 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) .销售收入 R(x) (万元)满足 ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) , 根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本) ; (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? 21. (13 分)如果函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) (1)求 f(1)的值. (2)已知 f(3)=1 且 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围. (3)证明:f( )=f(x)﹣f(y) .
2

2014-2015 学年安徽省蚌埠铁路中学高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. (5 分)已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1},则 A∩B=() A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1} D.?
x

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合 A 和 B,然后再求两个集合的交集即 可. 解答: 解:∵集合 A={y|y=log2x,x>1}, ∴A=(0,+∞) ∵B={y|y=( ) ,x>1}, ∴B=(0, ) ∴A∩B=(0, ) 故选 A. 点评: 本题考查了交集运算以及函数的至于问题,要注意集合中的自变量的取值范围,确 定各自的值域. 2. (5 分)设 M={1,2,3},N={e,g,h},从 M 到 N 的四种对应方式如图,其中是从 M 到 N 的映射的是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据映射的定义,必须使集合 M 中的每个元素在集合 N 中都有唯一的确定的一个元 素与之对应,由此找出满足映射定义的对应. 解答: 解:对于 A 中的对应,由于集合 M 中的元素 3 在集合 N 中有 2 个元素 g、h 和它对 应,故不满足映射的定义. 对于 B 中的对应,由于集合 M 中的元素 2 在集合 N 中有 2 个元素 e、h 和它对应,故不满足 映射的定义. 对于 C 中的对应,由于集合 M 中的每一个元素在集合 N 中有唯一确定的一个元素和它对应, 故满足映射的定义. 对于 D 中的对应,由于集合 M 中的元素 3 在集合 N 中有 2 个元素 g、h 和它对应,故不满足 映射的定义. 故选 C. 点评: 本题主要考查各个选项中的对应是否满足映射的定义,属于基础题. 3. (5 分)下 列函数中哪个与函数 y=x 相等() A.y= B.y= C.y= D.y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 确定函数的三要素是:定义域、对应法则和值域,据此可判断出答案. 解答: 解:A.y= B.y= C.y= D.y= 的定义域是{x|x≥0},而函数 y=x 的定义域 R,故不是同一函数.

的定义域是{x|x≠0},而函数 y=x 的定义域 R,故不是同一函数. =|x|与 y=x 的对应法则、值域皆不同,故不是同一函数. =x 与 y=x 是同一函数.

故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义,依据三要素可判断出两个函数是否是同一函数. 4. (5 分)已知 f(x﹣1)=x +4x﹣5,则 f(x+1)=() 2 2 2 A.x +6x B.x +8x+7 C.x +2x﹣3
2

D.x +6x﹣10

2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过已 知的 f(x﹣1)解析式求出 f(x)的解析式,根据 f(x)的解析式即可求得 f (x+1)的解析式. 2 2 解答: 解:f(x﹣1)=(x﹣1) +6(x﹣1) ,∴f(x)=x +6x; 2 2 ∴f(x+1)=(x+1) +6(x+1)=x +8x+7. 点评: 考查函数的解析式,以及通过 f(x﹣1)解析式先求出 f(x)解析式,再求 f(x+1) 解析式的方法. 5. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 作图题. 分析: 根据函数图象的对称变换,可以将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 并将其关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象. 解答: 解:函数 y=f(|x|)= ,是偶函数,

因此将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 利用函 数 y=f(|x|)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的对称变换,其本质是去绝对值符号,属基础题.

6. (5 分)设 f(x)= A.2 B. 3 C. 9

,则 f=() D.18

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(2)= ,由此能求出 f=f(1)=2e
1﹣1

=2.

解答: 解:∵f(x)= ∴f(2)= f=f(1)=2e 故选:A.
1﹣1



, =2.

点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用.
x

7. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 讨论 a 与 1 的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可. 解答: 解:函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可以看成把函数 y=a 的图象向下平移 个单 位得到的. 当 a>1 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是增函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 A,B. 当 1>a>0 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是减函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 C, 故选 D. 点评: 本题主要考查了指数函数的图象变换,指数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨 论的数学思想,属于基础题. 8. (5 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |+a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是() A. B.(﹣4,0) C. D.(0,4) 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=|4x﹣x |+a 零点的个数,即为函数 y=|4x﹣x |与函数 y=﹣a 交点个数,结 合图象可得实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=|4x﹣x |+a 有 4 个零点 2 函数 y=|4x﹣x |与函数 y=﹣a 有 4 个交点,如图所示:
2 2 2 x x x x

结合图象可得 0<﹣a<4,

∴﹣4<a<0 故选 B 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用 数形结合的思想,属于中档题. 9. (5 分)若函数 f(x)=(a ﹣2a﹣3)x +(a﹣3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值 范围是() A.a=﹣1 或 3 B.a=﹣1 C.a>3 或 a<﹣1 D.﹣1<a<3 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 分类讨论,二次项系数等于 0 时,二次项系数不等于 0 时,两种情况进行分析. 解答: 解:若 a ﹣2a﹣3≠0,则 f(x)为二次函数,定义域和值域都为 R 是不可能的. 2 若 a ﹣2a﹣3=0,即 a=﹣1 或 3; 当 a=3 时,f(x)=1 不合题意; 当 a=﹣1 时,f(x)=﹣4x+1 符合题意. 故答案 B 点评: 本题考查函数的值域和定义域,体现分类讨论的数学思想方法. 10. (5 分)若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间?D(其中 a<b) ,使得当 x∈ 时,f(x)的取值范围恰为,则称函数 f(x)是 D 上的正函数.若函数 g(x)=x +m 是(﹣ ∞,0)上的正函数,则实数 m 的取值范围为() A. B. C. D.
2 2 2 2

考点: 二次函数的性质;函数的值域. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,则 g(a)=b,g(b)=a,建立方 程组,消去 b,求出 a 的取值范围,转化成关于 a 的方程 a +a+m+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内 有实数解进行求解. 2 解答: 解:因为函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,所以 a<b<0, 所以当 x∈时,函数单调递减,则 g(a)=b,g(b)=a, 2 2 即 a +m=b,b +m=a, 2 2 两式相减得 a ﹣b =b﹣a,即 b=﹣(a+1) , 2 2 代入 a +m=b 得 a +a+m+1=0, 由 a<b<0,且 b=﹣(a+1) , ∴a<﹣(a+1)<0, 即 ,∴ ,
2 2

解得﹣1<a<﹣ .

故关于 a 的方程 a +a+m+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内有实数解, 记 h(a)=a +a+m+1, 则 h(﹣1)>0,h(﹣ )<0,即 1﹣1+m+1>0 且 解得 m>﹣1 且 m<﹣ . 即 , ,
2

2

故选 A. 点评: 本题主要考查新定义的应用,综合性较强,难度较大. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)若 a>0,且 a≠1,则函数 y=a
x﹣1

+1 的图象一定过定点(1,2) .

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 a 的幂指数 x﹣1=0,可得 x=1,此时求得 y=2,由此可得所求的定点坐标. 解答: 解:令 a 的幂指数 x﹣1=0,可得 x=1,此时求得 y=2,故所求的定点坐标为(1,2) , 故答案为 (1,2) . 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.

12. (5 分)幂函数 f(x)=(m ﹣2m﹣2)

2

在(0,+∞)是增函数,则 m=3.

考点: 幂函数图象及其与指数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,列出方程(不等式)组,求出 m 的值. 解答: 解:∵f(x)=(m ﹣2m﹣2) 且在(0,+∞)上是增函数,
2

是幂函数,





解得 m=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,解题时应根据幂函数的定义以及函数 的图象与性质,列出方程(不等式)组,即可解答,是容易题.

13. (5 分)函数

的单调递减区间是(2,+∞) .

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 先求函数的定义域,然后分解函数:令 t=x ﹣2x,则 y=
2 2

,而函数 y=



定义域上单调递减,t=x ﹣2x 在(2,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减,根据复合函 数的单调性可知函数 可求

解答: 解:由题意可得函数的定义域为: (2,+∞)∪(﹣∞,0) 令 t=x ﹣2x,则 y= 因为函数 y=
2 2

在定义域上单调递减

t=x ﹣2x 在(2,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减 根据复合函数的单调性可知函数 的单调递减区间为: (2,+∞)

故答案为: (2,+∞) 点评: 本题主要考查了由对数函数及二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解,解 题的关键是根据复合函数的单调性的求解法则的应用,解题中容易漏掉对函数的定义域的考 虑,这是解题中容易出现问题的地方.

14. (5 分)已知函数 等的实数根,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,1) .

若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相

考点: 函数与方程的综合运用;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题知 f(x)为分段函数,当 x 大于 0 时,由 f(x)=f(x﹣1)可知当 x 大于 1 时, f(x)=0,小于 1 大于 0 时函数为减函数;当 x 小于等于 0 时函数为减函数,而方程 f(x) =x+a 有且只有两个不相等的实数根即 f(x)与 y=x+a 由两个交点,在同一坐标系中画出函数 f(x)的图象与函数 y=x+a 的图象,利用数形结合,易求出满足条件实数 a 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)= 的图象如图所示,

当 a<1 时,函数 y=f(x)的图象与函数 y=x+a 的图象有两个交点, 即方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根. 故答案为(﹣∞,1)

点评: 考查学生综合运用函数和方程的能力,以及让学生掌握数形结合的数学思想. 15. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,给出下列命题: ①f(0)=0; ②若 f(x)在(0,+∞)上有最小值为﹣1,则 f(x)在(﹣∞,0)上有最大值 1; ③若 f(x)在上为减函数; ④若 x>0,f(x)=x ﹣2x;则 x<0 时,f(x)=﹣x ﹣2x. 其中所有正确的命题序号是①②④. 考点: 奇偶性与单调性的综合;命题的真假判断与应用;函数奇偶性的性质. 专题: 综合题. 分析: 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可得 f(﹣0)=﹣f(0)可判断① 若 f(x)在(0,+∞)上有最小值为﹣1,则根据奇函数的图形关于原点对称可在 f(x)在(﹣ ∞,0)上有最大值 1; ③若 f(x)在上为增函数; 2 ④若 x>0,f(x)=x ﹣2x;则 x<0 时,﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)代入可求 解答: 解:由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可得 f(﹣0)=﹣f(0)即 f(0)=0 ①f(0)=0;正确 ②若 f(x)在(0,+∞)上有最小值为﹣1,则根据奇函数的图形关于原点对称可在 f(x)在 (﹣∞,0)上有最大值 1;正确 ③若 f(x)在上为增函数;错误 2 2 ④若 x>0,f(x)=x ﹣2x;则 x<0 时,﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣=﹣x ﹣2x.正确 故答案为①②④ 点评: 本题综合考查了奇函数的性质的应用;奇函数的性质 f(0)=0、奇函数的图象关于 原点对称、 奇函数在对称区间上的单调性相同、 及求解对称区间上的函数解析式等知识的简单 应用. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分) (1)已知 a=
2 2 2

,b=

,求 的值;

2

(2)计算 lg8+lg 5+lg2?lg50+lg 25 的值.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用有理指数幂的运算性质化简,然后代入 a,b 的值计算; (2)直接利用对数的运算性质化简求值. 解答: 解: (1) = = ∵ = , = .

∴原式= (2)

=

=2 =1;

0

=2lg2+lg 5+lg2(1+lg5)+2lg5 2 =2(lg2+lg5)+lg 5+lg2+lg2?lg5 =2+lg5(lg5+lg2)+lg2 =2+lg5+lg2=3. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简与求值,考查了对数的运算性质,关键是对运算性质 的记忆,是基础题. 17. (12 分)已知全集 U=R,A={x|x≥3},B={x|x ﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1} (1)求 A∩B; A∪(?UB) (2)若 C∪A=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)首先将集合 B 化简,然后与集合 A 相交,取 B 的补集,与集合 A 相并; (2)由 C∪A=A 得到 C?A,得到集合端点的关系解之. 解答: (1)B={x|1≤x≤7}∴A∩B={x|3≤x≤7}A∪(CUB)={x|x<1 或 x≥3}, (2)∵C∪A=A,∴C?A∴a﹣1≥3,∴a≥4. 点评: 本题考查了集合的运算以及由集合的关系求次数范围,属于基础题.
2

2

18. (12 分)已知函数



(1)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明; (2)利用函数单调性的定义证明:f(x)是其定义域上的增函数.

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的单调性及单调区间. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义可作出判断、证明; (2) ,任取 x1、x2∈R,设 x1<x2,通过作差证明 f(x1)<f(x2)即可;

解答: 解: (1)f(x)为奇函数.证明如下: ∵2 +1≠0, ∴f(x)的定义域为 R, 又∵ ∴f(x)为奇函数. (2) , ,
x

任取 x1、x2∈R,设 x1<x2, ∵ = =





,∴

,又



∴f(x1)﹣f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2) . ∴f(x)在其定义域 R 上是增函数. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断,属基础题,定义是解决该类题目的基本方 法,要熟练掌握. 19. (13 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx, (a,b 为常数,且 a≠0)满足条件 f(﹣x+5)=f (x﹣3) ,且方程 f(x)=x 有两个相等的实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为与,若存在,求出 m,n 的 值,若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 综合题. 分析: (1)由 f(﹣x+5)=f(x﹣3) ,得函数的对称轴为 x=1,又方程 f(x)=x 有两相等 2 实根,即 ax +(b﹣1)x=0 有两相等实根 0,由此可求出 a,b 的值. (2)本题主要是借助函数的单调性确定出函数在上的单调性,找到区间中那个自变量的函数 值是 3m,3n,由此建立方程求解,若能解出值,说明存在,否则不存在. 解答: 解: (1)∵f(﹣x+5)=f(x﹣3) ,∴f(x)的对称轴为 x=1, 即﹣ =1 即 b=﹣2a.
2 2

∵f(x)=x 有两相等实根,∴ax +bx=x,

即 ax +(b﹣1)x=0 有两相等实根 0, ∴﹣ =0,

2

∴b=1,a=﹣ , ∴f(x)=﹣ x +x. (2)f(x)=﹣ x +x=﹣ (x﹣1) + ≤ , 故 3n≤ ,故 m<n≤ , 又函数的对称轴为 x=1,故 f(x)在单调递增则有 f(m)=3m,f(n)=3n, 解得 m=0 或 m=﹣4,n=0 或 n=﹣4,又 m<n,故 m=﹣4,n=0. 点评: 本题考点是二次函数的性质考查综合利用函数的性质与图象转化解题, (1)中通过 有相等的 0 根这一特殊性求参数; (2)中解法入手最为巧妙,根据其图象开口向下这一性质, 求出函数的最大值,利用最大值解出参数 n 的取值范围,从而结合对称轴为 x=1 得出函数在 区间单调性,得到方程组 ,求参数,题后应好好总结每个小题的转化规律.
2 2 2

20. (13 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每 生产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) .销售收入 R(x) (万元)满足 ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) , 根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本) ; (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? 考点: 根据实际问题选择函数类型;分段函数的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由题意得 G(x)=2.8+x.由 ,f(x)

=R(x)﹣G(x) ,能写出利润函数 y=f(x)的解析式. (2)当 x>5 时,由函数 f(x)递减,知 f(x)<f(5)=3.2(万元) .当 0≤x≤5 时,函数 f 2 (x)=﹣0.4(x﹣4) +3.6,当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元) .由此能求出工厂生产 多少台产品时,可使盈利最多. 解答: 解: (1)由题意得 G(x)=2.8+x.…(2 分) ∵ ∴f(x)=R(x)﹣G(x) ,

=

.…(7 分)

(2)当 x>5 时, ∵函数 f(x)递减, ∴f(x)<f(5)=3.2(万元) .…(10 分) 当 0≤x≤5 时,函数 f(x)=﹣0.4(x﹣4) +3.6, 当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元) .…(14 分) 所以当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6 万元.…(15 分) 点评: 本题考查函数知识在生产实际中的具体应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意 挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化. 21. (13 分)如果函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) (1)求 f(1)的值. (2)已知 f(3)=1 且 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围. (3)证明:f( )=f(x)﹣f(y) .
2

考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)对题中的等式取 x=y=1,化简即可得到 f(1)=0; (2)算出 2=1+1=f(3)+f(3)=f(3×3)=f(9) ,从而将原不等式化简为 f(a)>f,再利用 函数的单调性与定义域,建立关于 a 的不等式组,解之即可得到实数 a 的取值范围; (3)配方:x= ?y,利用题中的等式化简整理,即可得到 f( )=f(x)﹣f(y)成立. 解答: 解: (1)∵f(xy)=f(x)+f(y) ∴令 x=y=1,得 f(1×1)=f(1)+f(1) ,可得 f(1)=0; (2)∵f(3)=1, ∴2=1+1=f(3)+f(3)=f(3×3)=f(9) , 不等式 f(a)>f(a﹣1)+2,可化为 f(a)>f(a﹣1)+f(9)=f ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,



,解之得 1<a< ;

(3)∵x= ?y,∴f(x)=f( ?y)=f( )+f(y) , 由此可得 f( )=f(x)﹣f(y) . 点评: 本题给出抽象函数满足的条件, 求特殊的函数值并解关于 a 的不等式, 着重考查了函 数的单调性、抽象函数的理解和不等式的解法等知识,属于中档题.


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