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2017-2018学年高中数学考点5函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性

考点 5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性 一、选择题 2 1.(2013·福建高考文科·T5)函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是 ( ? ? ) 【解题指南】f(x)的定义域为 R,通过奇偶性,单调性进行筛选或带特殊点计算. 2 【解析】选 A. f ? ? x ? ? ln(? ? x ? ? 1) ? ln( x ? 1) ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 的图象关于 y 轴对 2 称,又 x∈(0,+∞)时, f ? x ? 是增函数.且过点(0,0). 2.(2013·辽宁高考理科·T11) 【备注: (2013·辽宁高考文科·T12)与此题干相同, 选项顺序不同】 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 , g ( x) ? ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 8, 设 H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)?, H2 ( x) ? min ? f ( x), g( x)? ( max ? p, q? 表示 p, q 中的较大 值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值)记 H1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x) 的最大值为 B ,则 A? B ? ( ) A. C. 16 a 2 ? 2a ? 16 B. D. ?16 a 2 ? 2a ? 16 【解题指南】 搞清楚 H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)?, H2 ( x) ? min ? f ( x), g( x)? 的确切含义。 数形结合解决问题。 【解析】选 B. ? f ( x), f ( x) ? g ( x), H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x). ? f ( x), f ( x) ? g ( x), H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x). 由 f ( x) ? g ( x) ? x ? 2(a ? 2) x ? a ? ? x ? 2(a ? 2) x ? a ? 8, 2 2 2 2 解得 x1 ? a ? 2, x2 ? a ? 2. 1 而函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 , g ( x) ? ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 8, 的图像的对称轴恰好分 别为 x ? a ? 2, x ? a ? 2. 可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。如图 1 所示, 结合 H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ? ? ? f ( x), f ( x) ? g ( x), ? g ( x), f ( x) ? g ( x). ? f ( x), f ( x) ? g ( x), H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x). 可知 H1 ( x), H2 ( x) 的图像分别如图 2,图 3 所示(图中实线部分) f ( x) g ( x) x ? a?2 x ? a?2 图1 可见, A ? H1 ( x) min ? f (a ? 2) ? ?4a ? 4 , B ? H 2 ( x) max ? g (a ? 2) ? 12 ? 4a. 从而 A ? B ? ?16. 3. (2013·湖南高考文科·T4)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g (1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解题指南】结合函数的奇偶性定义 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) 即可。 【解析】选 B, 因为 f (?1) ? ? f (1), g (?1) ? g (1) ,代入条件等式再相加,得 g (1) ? 3 4.(2013·北京高考文科·T3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的 是( ) A.y= 1 x B.y=e -x C.y=-x +1 2 D.y=lg∣x∣ 2 【解析】选 C. 根据在区间(0,+∞)上单调递减排除 D,根据奇偶性排除 A,B. 5.(2013·广东高考理科·T2) 定义域为 R 的四个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x2 ? 1, y ? 2sin x 中,奇函数的个数是( ) A. 4 B.3 C. 2 D.1 【解题指南】四个函数的定义域 R 关于原点对称,因此按照定义逐一验证奇偶性即可. 【解析】 选 C. y ? x3 , y ? 2sin x 是奇函数, y ? x2 ? 1 是偶函数, y ? 2x 是非奇非偶函数. [ x] 表示不超过 x 的最大整数, 6. (2013· 湖北高考文科· T8) x 为实数, 则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为( A.奇函数 ) B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数 【解题指南】画出图象求解. 【解析】选 D. 由图象可知选 D. 7. (2013·湖北高考文科·T10)已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的 取值范围是( A. (??, 0) ) 1 B. (0, ) 2 C. (0, 1) D. (0, ? ? ) 【解题指南】利用导数求极值,转化为两个函数交点的问题. 【解析】 选 B.令 f ?( x ) =lnx-2ax+1=0,则 lnx=2ax-1 有两解,即函数 y=lnx 与 y=2ax-1 有两个 交点,直线是曲线 y=lnx 的割线;y=2ax-1 恒过点 A(0,


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