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2017-2018学年高中数学考点5函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性1

考点 5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1. (2014·湖北高考文科·T9)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x.则 函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为 ( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C. {2 ? 7 ,1, 3} D. { ? 2 ? 7 , 1, 3} 2 【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据 f(x)是定义在 R 上的奇 函数,求出函数在 R 上的解析式,再求出 g(x)的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得 以解决. 【解析】选 D.由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 2 当 x≥0 时,f(x)=x -3x, 2 ? ? x ? 3 x, x ? 0 所以 f (x) ? ? 2 ? ? ? x ? 3 x, x ? 0 2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 2 ? ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0 所以 g(x) ? ? 由? ?x ? 0 ?x ? 4x ? 3 ? 0 2 ,? ?x ? 0 2 ?? x ? 4 x ? 3 ? 0 解方程组可得. 2. (2014·湖北高考理科·T 10)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 围为( 1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范 2 ) B. [? A. [? , ] 1 1 6 6 6 6 , ] 6 6 C. 1 1 [? , ] 3 3 D. [? 3 3 , ] 3 3 【解题提示】 考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立 ? x ? 3a 2 , x ? 2a 2 ? 2 2 2 【解析】选 B. 依题意,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? a , a ? x ? 2a ,作图可知, f ( x) 的最 ?? x,0 ? x ? a 2 ? 小值为 ? a ,因为函数 f ( x) 为奇函数,所以当 x ? 0 时 f ( x) 的最大值为 a ,因为对任意 2 2 2 2 实数 x 都有, f ( x ? 1) ? f ( x) ,所以, 4a ? (?2a ) ? 1,解得 ? 6 6 ?a? , 6 6 故实数 a 的取值范围是 [? 6 6 , ]. 6 6 1 3. (2014·湖南高考理科·T3)已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? x2 ? 1, 则f (1) ? g (1) =( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解题提示】由奇函数和偶函数的定义,把 x=-1 代入即可。 【解析】选 C. 把 x=-1 代入已知得 f ?? 1? ? g ?? 1? ? 1, 所以 f ?1? ? g ?1? ? 1 。 4. (2014·湖南高考文科·T4)下列函数中,既是偶函数又在区间 ( ??, 0) 上单调递增的 是( ) A. f ( x ) ? 1 x2 B. f ( x) ? x2 ? 1 C. f ( x) ? x3 D. f ( x) ? 2? x 【解题提示】根据基本初等函数函数的奇偶性和单调性解答。 【解析】选 B。 选项 A B C D 具体分析 幂函数 f ?x ? ? x ?2 是偶函数,且在第二象限是增函数。 二次函数 f ?x? ? x 2 ? 1 是偶函数,且在第二象限是减函数。 幂函数 f ?x ? ? x 3 是奇函数,且是增函数。 指数函数 f ?x ? ? 2 ?x 结论 正确 错误 错误 错误 ?1? ? ? ? 是非奇非偶函数,且是减函数。 ? 2? ) 2 x x 5.(2014·广东高考文科·T5)下列函数为奇函数的是 ( A.2 x 1 2x B.x sinx 3 C.2cosx+1 D.x +2 【解题提示】奇函数满足函数关系式 f(-x)=-f(x).当在原点处有定义时,f(0)=0. 【解析】选 A.几个函数的定义域都关于原点对称 , 原点处有定义 ,故应满足 f(0)=0,此时 2cosx+1 和 x +2 不符合题意;又 2 有 f(x)=2 x 2 x x 1 3 满足 f(-x)=-f(x),但 x sinx 满足 f(-x)=f(x),所以只 2x 1 是奇函数. 2x 6. (2014·上海高考理科·T18) ? ( x ? a ) 2 , x ? 0, ? 设f(x)= ? 若f (0)是f ( x )的最小值,则a的取值范围为( ). 1 x ? ? a, x ? 0. ? x ? A. ? ?1, 2?   B.? ?1,0?   C. ?1, 2?   D. ?0, 2? 【解题提示】本题需对 a 分类讨论,若 a<0,二次函数的最小值应在对称轴时取, 若 a>0, f(0)是 f(x)的最小值,应有 f (0) ? a ? 2 ? a,即得. 2 【解析】 2 若a ? 0, f ( x) ? ( x ? a) 2的最小值应为f (a )而非f (0), 不符合题意. 1 ? a的 x 最小值为2+a, 若f (0)为最小值,应有a 2 ? 2+a, 即0 ? a ? 2. 若a ? 0, f ( x) ? ( x ? a) 2的最小值为f (0) ? a 2 , f ( x) ? x ? 所以a的取值范围为? 0, 2?. 答案:D. 7.(2014·浙江高考文科·T7)与(2014·浙江高考理科·T6)相同 3 2 (2014·浙江高考文科·T7)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 且 0<


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