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数学选修1-1第1章和第2章知识点总结


1-1 知识点

二、充分条件与必要条件 1、定义 1.如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 2.如果 p? q,q? p,则 p 是 q 的充要条件. 2、四种条件的判断
? q. 1.如果“若 p 则 q ”为真,记为 p ? q ,如果“若 p 则 q ”为假,记为 p ?

常用逻辑用语
一、命题
1、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其 中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2、四种命题及其关系 (1)、四种命题 命题 表述形式

2.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件

原命题 若 p,则 q 逆命题 若 q,则 p 否命题 逆否命 题 (2)、四种命题间的逆否关系 若?p 则
?q

3.判断充要条件方法:

若?q 则
?p

?p ? q (1)定义法:①p 是 q 的充分不必要条件 ? ? p ? ? ? q ?p ? ? q ? ? 件 ?p ? q ?p ? q ? ? ③p 是 q 的充要条件 ?q ? p ?p ? ? q ? ?p ? q ? ?


②p 是 q 的必要不充分条

p 是 q 的既不充分也不必要条件

(3)、四种命题的真假关系 **两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; *两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

(2)集合法:设 P={p},Q={q}, ①若 P Q,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件.

②若 P=Q,则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件). ③若 P Q 且 Q P,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

真一假.

(3)逆否命题法: ① ? q 是 ? p 的充分不必要条件 ? p 是 q 的充分不必要条件 ② ? q 是 ? p 的必要不充分条件 ? p 是 q 的充分不必要条件 ③ ? q 是 ? p 的充分要条件 ? p 是 q 的充要条件 ④ ? q 是 ? p 的既不充分又不必要条件 ? p 是 q 的既不充分又不必要条件 三、简单的逻辑联结词 (1) 命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词. ①用联结词“且”联结命题 p 和命题 q,记作 p∧q,读作“p 且 q”. ②用联结词“或”联结命题 p 和命题 q,记作 p∨q,读作“p 或 q”. ③对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作? p,读作“非 p”或“p 的 否定”. (2)简单复合命题的真值表: p p q ∧ q 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 假 假 *p∧q: p、q 有一假为假, p ∨ q 真 真 真 假 ? p 假 真 假 真 *p 与? p:真假相对即一 四、量词 1、全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的” 等. (3)全称量词用符号“? ”表示;存在量词用符号“? ”表示. 2 全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用 符号简记为? x∈M,p(x),读作“对任意 x 属于 M,有 p(x)成立”.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在 M 中的一个 x0, 使 p(x0)成立”可用符号简记为 ? x0∈M,P(x0),读作“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”. 3 命题的否定 (1) 含有量词命题的否定 全称命题 p: ?x ? M , p( x) 的否定 ? p: ?x ? M , ?p ? x ? ;全称命题的否定为存在命题 存在命题 p: ?x ? M , p ? x ? 的否定 ? p: ?x ? M , ?p ? x ? ;存在命题的否定为全称命题 其中 p ? x ? p(x)是一个关于 x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或 q ”的否定: “ ? p 且 ? q” ;

*p∨q:一真为真,

“p 且 q ”的否定: “ ? p 或 ? q” (3) “若 p 则 q“命题的否定:只否定结论





| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

c2 ? a2 ? b2

离心率

特别提醒:命题的“否定”与“否命题”是不同的概念,命题的否定:只否定结论;否命题:全 否 对命题 p 的否定(即非 p)是否定命题 p 所作的判断,而“否命题”是 “若 ? p 则 ? q ”
通 径

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a

2b 2 a

(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)

《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在

3.常用结论: (1)椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点, a2 b2

F1 F2 | )的点的轨迹。

则 ?ABF2 的周长= (2)设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直线交 a2 b2

椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是

| PQ |?

y 轴上

二、双曲线: (1 ) 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 | 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: |

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
B2 y F2 O F1 B1 A2 x

F1 F2 | )的点的轨迹。

P
图 形

y

PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

B2 O F2 B1 A2

A1

x

P A1

F1

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在

y 轴上





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

对称轴

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c), F2 (0, c)





P
图 形

y x O A2 F2

P

y F2 B2 O B1 F1 x

线交双曲线于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 三、抛物线:

| PQ |?

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:

F1 A1

p?0
焦点在





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)
焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方程 焦点在 x 轴上, 开口向左

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?
2 2

y 轴上,

焦点在

y 轴上,

开口向上

开口向下

F1 (0,?c), F2 (0, c)

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

c ? a ?b

2

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

l
图 形

y P x O F

P F

y

l
x P

y F O x

l
P

b y?? x a
2b a
2

a y?? x b

O

y O F

x

l
顶 点

O(0,0)

(3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 x ? y ? 0 。 2 2 2 2 a b a b a b

对称轴 焦 点

x轴
p F ( ,0 ) 2 p 2

y轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

p F (0,? ) 2

②与双曲线

2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; 2 a b a b

离心率 准 通 线 径

e ?1
x??
x? p 2

y??

p 2

y?

p 2

(4)等轴双曲线为 x

2

? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双曲线的同 a2 b2

2p
| PF |?| x 0 | ? p 2
| PF |?| y 0 | ? p 2

(4)常用结论: (1)双曲线

焦半径 焦点弦 焦准距

一支于

A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直 a2 b2

p

(2)设双曲线

1 焦点三角形面积公式: P在椭圆上时,S?F PF ? b 2 tan ? 1 2 2
P在双曲线上时,S?F1PF2 ? b 2 cot

?
2
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

2.椭圆的的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 7.双曲线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
8.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 2 10. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2
14.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 ) x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ](弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,
由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , k 为直线的斜率). F ( x , y ) ? 0 ?


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