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广东省2012届高三全真数学理科模拟试卷(15)及答案


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 15
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1? i

1.若将复数 1 ? i 表示为 a + bi(a,b∈R,i 是虚数单位)的形式,则 a + b= A.0 2.已知 p:
x ?1 ? 4

B.1

C.-1

D.2

2 ,q: x ? 5 x ? 6 ,则 p 是 q 成立的

A.必要不充分条件 C.充要条件 3.已知

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
? 15

?a n ?是等差数列, a 4
1



S 5 ? 55

,则过点

P (3, a3 ), Q (4, a4 )

的直线的斜率

A.4 4.已知

B. 4

C.-4 D.-14
x

f ? x? ? a ? b

的图象如图所示,则
3 ?3

f ? 3?

?

A. 2 2 ? 2 C. 3 3 ? 3

B. 9 D. 3 3 ? 3 或 ?3 3 ? 3

5.已知直线、 m ,平面 ?、? ,则下列命题中假命题是 A.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? C.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m D.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ? 6.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其 余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 7 .设向量 a 与 b 的夹角 为 ? ,定义 a 与 b 的“向 量积” a ? b 是一个 向量,它 的 模 :
? ? ? ? a ? b ? a ? b ? sin ?

B.若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ?

?

?

?

?

?

?

,若

? ? a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3

?

?

?

? ,则 a ? b ?

?

?

A. 3

B.2
2

C. 2 3

D.4

8.已知函数: f ( x) ? x ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f (x) 满足条件:
? f (2) ? 12 ? ? f ( ?2) ? 4 为事件为 A,则事件 A 发生的概率为
1 5 3 1

A.

4

B.

8

C. 8

D. 2

二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分, 满分 30 分. 9. (1 ? x )(1 ? x) 展开式中 x3 的系数为_________.
2 5

10.两曲线 x ? y ? 0 , y ? x ? 2 x 所围成的图形的面积是_________.
2

x

2

11 . 以 点 A( 0 , 5 ) 为 圆 心 、 双 曲 线 16 _________.

?

y

2

?1

9

的渐近线为切线的圆的标准方程是

?2 x ( x ? 0) f ( x) ? ? , 则f ( ?8) ? f ( x ? 3)( x ? 0) 12.已知函数 =_________.
2? 2 3 ?2 2 3 , 3? 3 8 ?3 3 8 , 4? 4 15 ?4 4 15

13.已知

,?若 .

6?

a t

?4

a t

, a, t 均 (

为正实数) ,则类比以上等式,可推测 a, t 的值, a ? t ?

▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选的只计算前两题的得分.
? x ? 1 ? 2t , l1 : ? (t为参数) l2 ? y ? 2 ? kt. 14. (坐标系与参数方程选做题) 若直线 与直线 ? x ? s, :? ? y ? 1 ? 2 s. s (

为参数)垂直,则 k ?



15. (几何证明选讲选做题) A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 4, ?ACB ? 45 , 点 则圆 O 的
0

面积等于_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
??

16. (本小题满分 12 分) 已知向量

a ? ( 2 cos x, 3 )
2

??



b ? (1, sin 2 x)

, 函数

? ? f ( x) ? a ? b



g ( x) ? b

?? 2



(Ⅰ)求函数 g (x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 , 且 a ? b ,求 a, b 的值. 17. (本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流 水线上 40 件产品作为样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量的 分组区间为 ?490,495? , ?495,500? ,?, ?510,515? ,由此得到样 本的频率分布直方图,如右图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.

(1) 求证: AO ? 平面 BCD; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离. 19. (本小题满分 14 分)
x ?
2

y b

2 2

? 1(0 ? b ? 1)

已知椭圆

的左焦点为 F,左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B,过 F,B,C
e? 3 2 ,求 ? P 的方程;

三点作 ? P ,其中圆心 P 的坐标为 (m, n) .(1) 若椭圆的离心率 (2)若 ? P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程.

20. (本小题满分 14 分) 已知向量
? ? 2 a ? ( x ? 3,1), b ? ( x, ? y )

, 其中实数 (

y

? ? x 不同时为零) 当 | x |? 2 时, a ? b , 和 , 有

当 | x |? 2 时, a // b . (1) 求函数式 y ? f ( x) ; (2)求函数 f ( x) 的单调递减区间;
2 (3)若对 ?x ? (??, ?2] ?[2, ??) ,都有 mx ? x ? 3m ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

?

?

21. (本小题满分 14 分) 设数列{
an

}的前 n 项和为
a3

Sn

,并且满足
an

2S n ? a n ? n
2



an ? 0

(n∈N*).

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,

; (Ⅱ)猜想{

}的通项公式,并加以证明;

(Ⅲ)设 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 , 证明:
an x ? 1 ? an y ? 1



2( n ? 2)

.

参考答案 一.选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 2.A 3.A
1? i

4.C

5.C

6.A

7.B

8.D

1.选 B.提示: 1 ? i 2.选 A.提示:

? i,? a ? 0, b ? 1

. .
a 4 ? a3 4?3 ? 15 ? 11 ? 4

p : ?? 5,3?, q : ?2,3?

S 5 ? 5a3 ? 55,? a3 ? 11, k ?

3.选 A.提示: 4.选 C.提示:

. .

根据f ( 2) ? 0, f (0) ? ?2, 得a ?

3 , b ? ?3

5.选 C.提示:l 与 m 可能异面. 6.选 A.提示:
A3 ? A3 ? 36
2 2

.
?2 3 4 ?? 3 2 , sin ? ? 1 2.

a ? b ? 2, cos ? ?

7.选 B.提示:

1 P? 2

? 4? 4 4? 4 ?

1 2.

8.选 D.提示:

二.填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题, 14~15 题是选做题.每小题 5 分,满分 30 分.其中第 11 题中的第一个空为 2 分,第二个 空为 3 分.

9

9. ?15 13. 41

10. 2 14. ?1
3 1

11. x ? ( y ? 5) ? 16
2 2

12. 2

15. 8?
3

9. ?15 .提示:
9

( ?C5 ? C5 ) x

.
2

面积S ?

10. 2 .提示: 11. x ? ( y ? 5) ? 16 .
2 2

?

3

x ? ( x ? 2 x ) dx ?

9 2.

0

提示:根据圆心到直线的距离等于半径求出 r=4 12.2 提示: f ( ?8) ? f ( ?5) ? f ( ?2) ? f (1) ? 2 . 13. 41 .提示: a ? 6, t ? a ? 1 ? 35 .
2

14. ?1 .提示:化为普通方程求解. 15. 8? .提示: 连接OA,OB, ?BOA ? 90 ,? r ? OA ? OB ? 2 2 .
0

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程. 16. (本小题满分 12 分)
?2 1 ? cos 4 x 1 3 2 g ( x ) ? b ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? ? ? cos 4 x ? 2 2 2 解: (Ⅰ) T ? 2? 4 ?

????2 分

?
2

∴函数 g (x) 的最小周期 (Ⅱ)

?????4 分

? ? 2 f ( x ) ? a ? b ? (2 cos x, 3) ? (1, sin 2 x)
2

? 2 cos x ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

3 sin 2 x

? 2 sin(2 x ?

?
6

) ?1

?????6 分
?
6 ) ?1 ? 3 sin(2C ?

f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?
6

?

) ?1

??????7 分
2C ?

? C 是三角形内角, ∴

2C ?

?
6

?(

? 13?
, 6 6

)

?
6

?

?
2

, ∴

C?

?
6 ????8 分

即:

cos C ?

b ?a ?c
2 2

2

?

3 2

∴ 即: a ? b ? 7
2 2

2ab

???????10 分
a ?
2

12 a
2

将 ab ? 2 3 可得: ∴a ?
3或2

?7

解之得: a ? 3或4 ,
2

所以当 a ? 3 时, b ? 2 ;

当 a ? 2,b ? 3 ,
?a ?b

∴ a ? 2 ,b ?

3.

????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)根据频率分步直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为
[(0.01 ? 0.05) ? 5] ? 40 ? 12

(件) .???? 4 分 ???? 5 分
C28C12 C40
2 1 1

(2) Y 的可能取值为 0,1,2.
P (Y ? 0) ? C28 C40 P (Y ? 2) ? C12 C40
2 2 2 2

?

63 130 11 130

P (Y ? 1) ?

?

56 130





?

.???? 8 分

Y

0

1

2

Y









P

63 130

56 130

11 130



???? 9 分

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3. 令 ? 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量, 则 ? ? B (5, 0.3) ,故所求概率为:
P (? ? 2) ? C5 (0.3) (0.7) ? 0.3087
2 2 3

.???? 12 分

18. (本小题满分 14 分) 解:(1) 证明:连结 OC,
? BO ? DO, AB ? AD,

? AO ? BD

???? 1 分 , CO ? BD . ??? 2 分

? BO ? DO, BC ? CD

在 ?AOC 中, 由已知可得 AO ? 1, CO ? 3.
2 2

????3 分
2

而 AC ? 2 , ∴ AO ? CO ? AC , ∴ ?AOC ? 90 , 即 AO ? OC.
o

??? 4 分 ??????? 5 分

? BD ? OC ? O,

∴ AO ? 平面 BCD . ????? 6 分

(2) 解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 B (1, 0, 0), D( ?1, 0, 0),
1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), 2 2

??? ? ??? ? BA ? ( ?1, 0,1), CD ? ( ?1, ? 3, 0)



??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA ? CD 2 cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? ? ? 4 BA ? CD

,?????
2

9分

∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为 4 .?? (3) 解:设平面 ACD 的法向量为
? n ? ( x, y, z ),

10 分



? ??? ? ? n ? AD ? ( x, y , z ) ? ( ?1, 0, ?1) ? 0 ? ? ? ? ??? ? n ? AC ? ( x, y , z ) ? (0, 3, ?1) ? 0 ? ,∴

?x ? z ? 0 ? ? ? 3y ? z ? 0 ? ,



y ? 1,



? n ? ( ? 3,1, 3)

是平面 ACD 的一个法向量.

??? ? 1 3 EC ? ( ? , , 0), 2 2 又

∴点 E 到平面 ACD 的距离

??? ? ? EC ? n h? ? ? n

3 7

?

21 7

.???

14 分

(3) (法二)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .
?VE ? ACD ? VA?CDE
1 1 3



∴3

h ? S ?ACD ?

? AO ? S ?CDE

??????????12 分
2

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ?
S ?ACD ? 1 2 ? 2? 2 ?(
2

,

2 2

) ?
2

7 2 ,



而 AO ? 1 ,

S ?CDE ?

1 2

?

3 4

?2 ?
2

3 2 .

h?

AO ? S ?CDE S ?ACD

1? ?

3 2 ? 7 2
21

21 7





∴点 E 到平面 ACD 的距离为 7 ????? 14 分 19. (本小题满分 14 分)
e? 3 2 3 2 ,
2

y

解: (1)当
c?

时,

B(0,b)

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)

∵ a ? 1 ,∴
2 2

b ? a ? c ? 1?

3 4

?

1

1



4 ,b ? 2 ,

3 1 , 0) B (0, ) F ( ? 2 2 , 点 , C (1, 0) ???????? 2 分

设 ? P 的方程为 ( x ? m) ? ( y ? n) ? r ,
2 2 2

由 ? P 过点 F,B,C 得∴
(m ? 3 2 ) ?n ?r
2 2 2

m ?(
2

1 2

? n) ? r
2

2




2 2

(1 ? m) ? n ? r
2

③ ???????? 5 分

由①②③联立解得:
m? 2? 4 3 n? 1? 2 3 4
r ?
2

5 4





???????? -7 分

∴所求的 ? P 的方程为

(x ?

2? 4

3

) ? (y ?
2

1? 2 3 4

) ?
2

5 4 ??????? 8 分

(2)∵ ? P 过点 F,B,C 三点, ∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上, 也在 BC 的垂直平分线上,
x? 1? c 2

FC 的垂直平分线方程为



???? 9 分

1 b ( , ) k ? ?b ∵BC 的中点为 2 2 , BC y? b 2 ? 1 b (x ? 1 2

)

∴BC 的垂直平分线方程为
x? 1? c 2 b ?c
2

⑤ ??? 10 分

,y?

b ?c
2

由④⑤得
m? 1? c 2

2b



,n ?



2b

???????? 11 分

∵ P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上,
1? c ? b ?c
2

?0

∴ 2

2b

? (1 ? b)(b ? c) ? 0

∵ 1? b ? 0 ∴ b ? c ,由 b ? 1 ? c
2 2

b ?
2

1 2



???????? 13 分
2 2

∴ 椭圆的方程为 x ? 2 y ? 1

???????? 14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当
| x |? 2

? ? a?b 时,由



? ? 2 a ? b ? ( x ? 3) x ? y ? 0
3



y ? x ? 3x

; | x |? 2 且 x ? 0 )------------------------------------2 分 (
? ?

当 | x |? 2 时,由 a // b .
y?? x x ?3
2



--------------------------------------4 分

? x 3 ? 3 x, ( ?2 ? x ? 2且x ? 0) ? y ? f ( x) ? ? x .( x ? 2或x ? ?2) ? 2 ?3 ? x ∴ ---------------------5 分

(2)当 | x |? 2 且 x ? 0 时, 由 y ' ? 3 x ? 3 <0,
2

解得 x ? (?1, 0) ? (0,1) ,----------------6 分 当 | x |? 2 时,
y' ? (3 ? x ) ? x( ?2 x)
2

(3 ? x )
2

2

?

3? x

2 2

(3 ? x )
2

?0

------------------------------8 分

∴函数 f ( x) 的单调减区间为(-1,0)和(0,1) -------------9 分 (3)对 ?x ? (??, ?2] ?[2, ??) , 都有 mx ? x ? 3m ? 0
2

即 m( x ? 3) ? ? x ,
2

m?

x 3? x
2

也就是

对 ?x ? (??, ?2] ?[2, ??) 恒成立,----------------------------------11 分 由(2)知当 | x |? 2 时,

f '( x) ?

(3 ? x ) ? x( ?2 x)
2

(3 ? x )
2

2

?

3? x

2 2

(3 ? x )
2

?0

∴ 函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? 2] 和 [2,+?) 都单调递增----------------------12 分
f ( ?2) ? ?2 3? 4 ?2 f (2) ? 2 3? 4 ? ?2





当 x ? ?2 时
f ( x) ? x 3? x
2

?0



∴当 x ? (??, ?2] 时,
0 ? f ( x) ? 2

同理可得,当 x ? 2 时, 有 ?2 ? f ( x) ? 0 , 综上所述得, 对 x ? (??, ?2] ?[2, ??) ,
f ( x)

取得最大值 2;

∴ 实数 m 的取值范围为 m ? 2 .----------------------14 分

21. (本小题满分 14 分)
2 ?2a1 ? a1 ? 1 ? 2 ?2( a1 ? a 2 ) ? a 2 ? 2 ? 2 2( a1 ? a 2 ? a 3 ) ? a 3 ? 3 n ? 1 ,2,3,得 ? 解: (Ⅰ)分别令



an ? 0

, ???????3 分

a ?3 ∴ a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 3

(Ⅱ)证法一:

猜想:

an ? n


2

????????4 分
2S n ? a n ? n





可知,当 n ≥2 时,
2 S n ?1 ? a n ?1 ? ( n ? 1)
2


2a n ? a n ? a n ?1 ? 1
2 2

①-②,得 即
a n ? 2a n ? a n ?1 ? 1
2 2



.

??????6 分

1)当 n ? 2 时,
a 2 ? 2a 2 ? 1 ? 1
2 2



∵ a2 ? 0 , ∴ a2 ? 2 ; ?????7 分

a ?k 2)假设当 n ? k ( k ≥2)时, k .

那么当 n ? k ? 1 时,
a k ?1 ? 2a k ?1 ? a k ? 1 ? 2a k ?1 ? k ? 1
2 2 2

? [ a k ?1 ? ( k ? 1)][a k ?1 ? ( k ? 1)] ? 0



∵ ∴

a k ?1 ? 0

, k ≥2, , .

a k ?1 ? ( k ? 1) ? 0



a k ?1 ? k ? 1

这就是说,当 n ? k ? 1 时也成立, ∴
an ? n

( n ≥2).

显然 n ? 1 时,也适合. 故对于 n∈N*,均有
an ? n

.

????????9 分

证法二:猜想:

an ? n



???????????4 分 ???????????5 分 ??????????6 分
2

1)当 n ? 1 时, a1 ? 1 成立;
a ?k 2)假设当 n ? k 时, k .

2S ? a k ?1 ? k ? 1 那么当 n ? k ? 1 时, k ?1 .



2( a k ?1 ? S k ) ? a k ?1 ? k ? 1
2 2





a k ?1 ? 2a k ?1 ? 2 S k ? ( k ? 1)
2

? 2a k ?1 ? ( k ? k ) ? ( k ? 1) ? 2a k ?1 ? ( k ? 1)
2

(以下同证法一) ??????9 分 (Ⅲ)证法一:要证 只要证
nx ? 1 ? ny ? 1



2( n ? 2)



nx ? 1 ? 2 ( nx ? 1)(ny ? 1) ? ny ? 1
2

≤ 2(n ? 2) ,????10 分

2 n xy ? n( x ? y ) ? 1 2( n ? 2) 即 n( x ? y ) ? 2 ? ≤ ,????11 分 2 n xy ? n ? 1 n ? 2 将 x ? y ? 1 代入,得 ≤ ,
2

即要证 4(n xy ? n ? 1) ≤ (n ? 2) ,
2 2

即 4 xy ≤1. ??????????12 分 ∵ x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,
x? y ? 1 2,



xy


1

2

即 xy ≤ 4 ,故 4 xy ≤1 成立, 所以原不等式成立. ?????????14 分 证法二:∵ x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,

nx ? 1 ?

n 2
1

nx ? 1 ?

n 2

?1

?1


x?



2



当且仅当

2 时取“ ? ”号.

?????????11 分
?1

ny ? 1 ?

n 2

ny ? 1 ?

n 2

?1





2



y?

1 2 时取“ ? ”号.

当且仅当 ①+②,

????????12 分

n

得(

nx ? 1 ?

ny ? 1
1

?1

n( x ? y ) ? 4 ? n



2



2

? n ? 2,

x? y?

当且仅当 ∴
nx ? 1 ?

2 时取“ ? ”号.

?????????13 分 . ????????14 分 ????????10 分

ny ? 1



2( n ? 2)

2( a ? b) 证法三:可先证 a ? b ≤ .

∵ ( a ? b ) ? a ? b ? 2 ab ,
2

( 2( a ? b) ) ? 2a ? 2b
2



a ? b ≥ 2 ab ,???????????11 分

∴ 2a ? 2b ≥ a ? b ? 2 ab , ∴
2( a ? b)

≥ a? b,

当且仅当 a ? b 时取等号. ??????12 分 令 a ? nx ? 1 , b ? ny ? 1 , 即得:
nx ? 1 ? ny ? 1



2( nx ? 1 ? ny ? 1) ?

2( n ? 2)



当且仅当 nx ? 1 ? ny ? 1
x? y? 1 2 时取等号. ?????????14 分





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