9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用课件文


§4.7 解三角形的综合应用

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在 水平视线 上方 叫仰角,目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①).

2.方向角

相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
3.方位角

指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如
图②).

知识拓展 1.三角形的面积公式
a+b+c S= p?p-a??p-b??p-c? (p= 2 ), a+b+c abc S= 4R =rp(R 为三角形外接圆半径,r 为三角形内切圆半径,p= 2 ).

2.坡度(又称坡比):坡面的垂直高度与水平长度之比.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β
=180°.( × )

π (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0, ].( × ) 2 (3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位
置关系.( √ )

π ).( (4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是[0, √ ) 2

考点自测

1.( 教材改编 ) 如图所示,设 A , B 两点在河的两岸,一测
量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C ,测出 AC 的距离

为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算

50 2 m. 答案 出A,B两点的距离为______

解析

AB AC 由正弦定理得 =sin B, 又∵B=30°, sin∠ACB

2 ACsin∠ACB 50× 2 ∴AB= = = 50 2(m). sin B 1 2

2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120°, 两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则下午2时两船之间的距 70 离是 _____n mile.
答案 解析

设两船之间的距离为d,

则d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900,
∴d=70,即两船相距70 n mile.

3.(教材改编)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10 n mile,从A望C和B成
5 6 n mile. 60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC=_____
答案 解析

如图,在△ABC中,
AB=10,A=60°,B=75°,
10 BC ∴sin 60° =sin 45° ,

∴BC=5 6.

4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测

3 a 得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB=_____. 2
答案 解析

由已知得∠DAC=30° ,△ADC 为等腰三角形,AD= 3a,
1 3 又在 Rt△ADB 中,AB=2AD= 2 a.

5.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力 的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东 30°,风速是20 km/h;水 的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂
20 ______ 3 60° 答案 行的方向为北偏东 _____,速度的大小为 km/h.
解析

如图,∠AOB=60°,
由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200,

故OC=20 3 ,∠COY=30°+30°=60°.

题型分类

深度剖析

题型一 求距离、高度问题 例1 (1) 如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为

120( 3-1) m. 75°,30°,此时气球的高AD是60 m,则河流的宽度BC=___________
答案 解析

(2)如图,A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在A点
测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得

∠ABD=45°,其中D是点C到水平面的射影,则山高CD
800( 3+1) m. 答案 =___________
解析

在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°.
2 800× 2 AB· sin 45° AB AD 由sin 15° =sin 45° ,得 AD= sin 15° = 6- 2 4 =800( 3+1)(m). ∵CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,

∴CD=AD=800( 3+1) m.

思维升华
求距离、高度问题应注意

(1) 理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平线的夹角;理解方向
角的概念.

(2) 选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若
其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中 求解. (3) 确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的 定理.

跟踪训练1

(1)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯

塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,
30 2 km. 这时船与灯塔的距离为______
答案 解析

如图,由题意,∠BAC=30°,∠ACB=105°, ∴B=45°,AC=60 km,

BC AC 由正弦定理sin 30° =sin 45° ,

∴BC=30 2 km.

(2)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A,B两点,从A,B两点分 别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则树的高

30+30 3 度为___________m.

答案

解析

题型二 求角度问题 例2 甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9海里的B处,并

以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船沿南偏东θ的方向, 并以 28 海里每小时的速度行驶,恰能在 C处追上乙船 .问用多少小时追上 乙船,并求sin θ的值.(结果保留根号,无需求近似值)
解答

思维升华
解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是 最关键、最重要的一步;

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定
理的“联袂”使用.

跟踪训练2

(1)(2016· 苏州模拟)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其

正东方向相距40 海里的 B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立
即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东

21 14 θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为_____.
答案 解析

题型三 三角形与三角函数的综合问题 例3 (2016· 扬州调研)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan Atan B=1. (1)求C的值;
解答

(2)若A=15°,AB= 2 ,求△ABC的周长. 解答
在△ABC中,A=15°,C=135°,则B=180°-A-C=30°.

2 BC CA AB BC CA 由正弦定理sin A=sin B=sin C得sin 15° =sin 30° =sin 135° =2,
故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)
6- 2 CA=2sin 30°=1. =2(sin 45° cos 30° -cos 45° sin 30° )= 2 , 6- 2 所以△ABC 的周长为 AB+BC+CA= 2+ 2 +1
2+ 6+ 2 = . 2

思维升华
三角形与三角函数的综合问题,要借助三角函数性质的整体代换思想,

数形结合思想,还要结合三角形中角的范围,充分利用正弦定理、余弦
定理解题.

跟踪训练3

(2016· 南京学情调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,且acos B=bcos A. b (1)求 的值; 解答 a 方法一 由acos B=bcos A, 结合正弦定理得sin Acos B=sin Bcos A,
即sin(A-B)=0. 因为A,B∈(0,π),所以A-B∈(-π,π), b 所以 A-B=0,即 A=B,所以 a=b,即a=1.

方法二 由acos B=bcos A,
a2+c2-b2 b2+c2-a2 b 2 2 即 2a =2b ,即a=1. 结合余弦定理得 a· 2ac =b· 2bc ,

1 π (2)若 sin A=3,求 sin(C-4)的值. 解答
1 2 2 因为 sin A=3,由(1)知 A=B, 因此 A 为锐角,所以 cos A= 3 .

4 2 所以 sin C=sin(π-2A)=sin 2A=2sin Acos A= 9 , 7 cos C=cos(π-2A)=-cos 2A=-1+2sin A=-9.
2

π π π 所以 sin(C-4)=sin Ccos 4-cos Csin 4 4 2 2 7 2 8+7 2 = 9 × 2 +9× 2 = 18 .

思想与方法系列10

函数思想在解三角形中的应用

典例

(14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.

在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处, 并正以 30 海里 / 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 . 假设该小艇沿直线方 向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30海里/小时,试设计航行方案 ( 即确 定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说

明理由. 思想方法指导

规范解答

课时作业

1.(2017· 苏北四市联考 )一艘海轮从 A处出发,以每小时40海里的速度沿南
偏东40°的方向直线航行, 30分钟后到达 B处,在C处有一座灯塔,海轮

在A处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在B 处观察灯塔,其方向是北偏
10 2 海里. 东65°,那么B,C两点间的距离是________
答案 解析

如图所示,易知, 在 △ABC 中 , AB = 20 海 里 , ∠CAB = 30° ,

∠ACB=45°,
BC AB 根据正弦定理得sin 30° =sin 45° ,解得 BC=10 2(海里).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2.在高出海平面200 m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的
200( 3+1) m. 俯角分别是45°与30°,此时两船间的距离为____________
答案 解析

过点A作AH⊥BC于点H,
由图易知∠BAH=45°,∠CAH=60°,AH=200 m,

则 BH=AH=200 m,CH=AH· tan 60° =200 3 (m).
故两船距离 BC=BH+CH=200( 3+1) (m).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,

由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成
10 3 答案 30°角,则两条船相距______m.
解析

如图,OM=AOtan 45°=30 (m),
3 ON=AOtan 30° =30× 3 =10 3 (m),

在△MON中,由余弦定理得,
MN= 3 900+300-2×30×10 3× 2 = 300=10 3 (m).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

4.(2016· 南京模拟)如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,
45° 50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为______.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

5.如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在

同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,
∠BDC = 30°, CD = 30 ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角
15 6 为60°,则塔高AB=________. 答案
解析

在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.
30 BC 由正弦定理得sin 30° =sin 135° ,

所以 BC=15 2.

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=15 2× 3=15 6.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某 一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示),旗杆底部与 0.6 米/秒)的 第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以____( 速度匀速升旗.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

7.如图,CD是京九铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在CD所在水平面 π 2 上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中,∠ABC= ,∠BAD= π, 3 3 350 米. AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为_____
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

8.如图,一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东 30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10∶00 到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与 32 n mile/h. 它相距8 2 n mile.此船的航速是______
答案 解析

1 在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2, 设航速为v n mile/h,

∠BSA=45°,

1 v 2 8 2 由正弦定理得sin 30° =sin 45° ,∴v=32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

9. 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB , C 是该小区 的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO的小路CD.已知某人从O沿OD 走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟

50 7 米. 50米,则该扇形的半径为________
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

*10.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,
(1, 2] 且满足a+b=cx,则实数x的取值范围是________.
答案 解析

a+b sin A+sin B x= c = sin C =sin A+cos A



? π? ? 2sin?A+4? ?.又 ? ?

? π? ? A∈?0,2? ?, ? ?

? π? π π ? ? ∴sin 4<sin?A+4?≤sin 2,即 x∈(1, 2]. ? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

11.要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得 塔顶 A的仰角是30°,并测得水平面上的 ∠BCD =120°,CD=40 m, 求电视塔的高度.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

12.(2015· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 1 △ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-4.

(1)求a和sin C的值; 解答
1 15 在△ABC 中,由 cos A=-4, 可得 sin A= 4 . 1 由 S△ABC=2bcsin A=3 15,

得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4. 15 a c 2 2 2 由a =b +c -2bccos A,可得a=8. 由sin A=sin C,得 sin C= 8 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

(2)求

? π? ? cos?2A+6? ?的值. ? ?

解答

? π? ? cos?2A+6? ?=cos ? ?

π π 2A· cos 6-sin 2A· sin6

15-7 3 3 1 2 = 2 (2cos A-1)-2×2sin A· cos A= . 16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

*13.在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处( 3 -1)海里的B处有一艘走 私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 3 海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处 向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?

并求出所需时间.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

14.( 教材改编 ) 如图,有两条相交成 60°角的直路 X′X , Y′Y ,交点是 O ,甲、乙两人分别在 OX 、 OY上,甲的起始位置离点O 3 km,乙的起始位置离 点O 1 km.后来甲沿XX′的方向,乙沿YY′的方向, 同时以4 km/h的速度步行.

(1) 求甲、乙在起始位置时两人之间的距离; 解答
由余弦定理,得起初两人的距离为

12+32-2×1×3×cos 60° = 7(km).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

(2)设t h后甲、乙两人的距离为d(t),写出d(t)的表达式.当t为何值时,甲、 乙两人之间的距离最短?并求出两人之间的最短距离.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14


赞助商链接

更多相关文章:
...章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数、解三角形 4.1 ...
...章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书文_数学_高中教育_教育专区。4.1 任意角、弧度制及任意角的三角...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理教师...2 2 2 2 题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点 1 判断三角形的形状...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理教师用书文 - 4.6 正弦定理、余弦定理 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B...
(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数、...
(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用学案 - §4.7 最新考纲 解三角形的综合应用 考情考向分析 以利用正弦定理、...
...函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师用书理 - 第四章 三角函数、 解三角形 4.4 函数 y=Asin(ω...
...函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师用书文 - 4.4 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用 1.y=...
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角...
(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数解三角 形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin ...
2018版高考数学轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意...
2018版高考数学轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及...
2018版高考数学轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角...
2018版高考数学轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图象与性质理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理 1...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图