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江苏省张家港高级中学学高二数学下学期期中试题文解析


江苏省张家港高级中学 2014-2015 学年高二数学下学期期中试题 文
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题纸相应的 位置上) 1.设集合 S ? ?0,1,2,3,5? , T ? ? 1,2,4,5?,则 S ? T = 2.已知复数 z 满足 iz ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z = . . .

3x 2 ? lg(2 x ? 1) 的定义域为 3.函数 f ( x) ? 1? x
x ? 1( x ? 1) 4.已知函数 f ( x) ? ? ? 5 , 则f [ f ( )] ? _____________. ? x ? 3 ( x ? 1 ) 2 ?

5.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点 (1, 2) 处的切线方程是

. .

6. 已知 a ? log 2 0.3 ,b ? 2 0.3 ,c ? 0.30.2 , 则 a, b, c 三者从小到大的关系是 7.若 log 3 4 ? log 4 8 ? log 8 m ? log 4 16, 则 m = 8. 函数 y= log 1 (x -4x-12)的单调递减区间是
2
2

. . . .

9. 幂函数y ? xm

2

?2m?3

并且在第一象限单调递减, 则m ? (m ? Z ) 是偶函数,

10.已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 5 在 区间 ? a , ? ? ? 上单调递增,则 a 的取值范围是
2

11.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 1 ,若 f (a ) ? 3 ,
x

则实数 a 的值为



12 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 恒 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且 f ( x) 的最大值为 1, 则不等式 f (log 2 x) ? 1 的解集为 ?0, x1 ? x2
13.若方程 2 x ?



x?2 ? a ? 0 有负数根,则实数 a 的取值范围是 x ?1



14. 观察下列等式

1

12 ? 1 12 ? 2 2 ? ?3 12 ? 2 2 ? 32 ? 6 12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ?10 ??
照此规律,第 n 个等式可为 .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已 知 集 合 A ? {x y ?

x 2 ? 7 x ? 18} , 集 合 B ? { y y ? log 5 (4 ? 2 x ? x 2 )} , 集 合
(2)若 A ? C ? C ,求实数 m 的取值范围.

C ? {x m ? 2 ? x ? 2m ? 3} .
(1)设全集 U ? R ,求 (CU A) ? B ;

16.(本题满分 14 分)

m(m ? 2) ? (m 2 ? 2m ? 3)i ,求当 m 为何值时. m ?1 (1) z 是纯虚数; (2) z 对应的点位于复平面的第二象限?
已知 m ? R ,复数 z ? (3) z 对应的点在直线 x ? y ? 3 ? 0 上?

17.(本题满分 15 分)
2

已知函数 f ( x) ? log ( x ? 1) ? log (1 ? x), a a (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (3)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

a ? 0且a ? 1.

18.(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)若对于任意实数 x , f '( x) ? m 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求实数 a 的取值范围.

19.(本题满分 16 分)
3

经销商用一辆 J 型卡车将某种水果运送(满载)到相距 400km 的水果批发市场。据测 算,J 型卡车满载行驶时,每 100km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h)

?100 ? 23 ? ?v 的关系近似地满足 u ? ? 2 ? v ? 20 ? ? 500

0 ? v ? 50
,除燃油费外,人工工资、车损等

v ? 50

其他费用平均每小时 300 元。已知燃油价格为 7.5 元/L. (1)设运送这 车水果的费用为 y(元) (不计返程费用) ,将 y 表示成速度 v 的函数关系 式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1, k ? R ) , f ( x) 是定义域为R上的奇函数.
x ?x

(1)求 k 的值,并证明当 a ? 1 时,函数 f ( x) 是R上的增函数;

3 2x ?2 x ,函数 g ( x) ? a ? a ? 4 f ( x) , x ? [1, 2] ,求 g ( x) 的值域; 2 1 1 (3)若 a ? 4 ,试问是否存在正整数 ? ,使得 f (2 x) ? ? ? f ( x) 对 x ? [? , ] 恒成 2 2
(2)已知 f (1) ? 立?若存在,请求出所有的正整数 ? ;若不存在,请说明理由.

4

2014~2015 学年第二学期期中考试四校联考 高二年级(文科)数学答案 一、填空题 1.{1,2,5} 2. 1-i 3. ( 1 ,1)

?

4.

2
9.1

3 2

5 . y ? x ?1

6. a ? c ? b 11. ? 1
2 2 2

7. 9 12. [ ,4)
n ?1

8. (6,??) 13. (1,3)

10. a ? 2

1 4

14. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1)

n ? (?1) n ?1 (

n(n ? 1) ) ( n? N* ) 2

二.解答题 15.解: (Ⅰ) A ? (??,?2] ? [9,??) ,……………………2 分 B ? (??,1] ,……………………4 分

CU A ? (?2,9) ,
(CU A) ? B ? (?2,1] .……………………7 分
(Ⅱ)∵ A ? C ? C ,∴ C ? A ,……………………8 分 当 C ? ? 时, m ? 2 ? 2m ? 3 ? m ? 5 ,……………………10 分 当 C ? ? 时, ?

?m ? 2 ? 2 m ? 3 ?m ? 2 ? 2 m ? 3 或? ,解得: m ? 7 ,……………13 分 ?2m ? 3 ? ?2 ?m ? 2 ? 9

综上:实数 m 的取值范围是 m ? 5 或 m ? 7 .……………………14 分

?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 ? 16.(1) ? m( m ? 2) ?0 ? ? m ?1

? m ? 0或m ? 2 ……………………4 分

5

?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 ? (2) ? m( m ? 2) ?0 ? ? m ?1

? m ? 1或m ? ?3 ? m ? 0或1 ? m ? 2

?综上,m ? ?3或1 ? m ? 2 ……………………9 分
(3)

m( m ? 2) ? ( m 2 ? 2m ? 3) ? 3 ? 0 m ?1

? m(m2 ? 2m ? 4) ? 0 ?综上可得, m ? 0或m ? ?1 ? 5 …………… ………14 分

17.(1) ? ? x ? 1 ? 0?? x ? ?1,即定义域为(-1,1)……………………2 分

? ?1 ? x ? 0

? ? x ?1

(2)定义域为(-1,1) ,关于原点对称,……………………3 分

? f(-x)= log (? x ? 1) ? log (1 ? x) = log (1 ? x) ? log ( x ? 1)
a a a a

= -[ log ( x ? 1) ? log (1 ? x ) ]= -f(x) a a

? f(x)为奇函数
?log
( x ? 1) ? log (1 ? x)
a

………………7 分

(3) ? f(x)= log ( x ? 1) ? log (1 ? x ) >0 且 f(x)>0, a a
a

?x+1>1-x, ?x 的取值范围为(0,1)…………………………………11 分
(b) 0 ? a ? 1 ?x+1 ? 1-x, 即 x ? 0,又?定义域为(-1,1) 即 x>0,又?定义域为(-1,1)

(a)a>1

?x 的取值范围为(-1,0)…………………………………14 分
6

综上,当 a>1 时,x 的取值范围为(0,1) 当 0 ? a ? 1 ,x 的取值范围为(-1,0)……… ……15 分 18..(1) f ?( x) ? 3x 2 ? 9 x ? 6 ? m恒成立 令 y ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ?
2

? m ? (3x 2 ? 9 x ? 6) min

3 2 3 3 ) ? ?? 2 4 4 3 3 ? ? ,? m ? ? 4 4
3

……………5 分

(2) 由题 f ( x ) ? 0 即 a ? x ? 令y?x ?
3

9 2 x ? 6x , 2

9 2 x ? 6x 2

y? ? 3x 2 ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)(x ? 2) ? 0
? x ? 1或x ? 2

则f ( x)的增区间为 (??,1), (2,??) , f ( x)的减区间为 (1, 2)
当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值

5 ,当 x ? 2 时, f ( x) 取得极小值 2. 2
……………15 分

…………13 分

?a ?

5 或a ? 2 2

19.

?123000 ? 690 0 ? v ? 50 ? ? v (1)y ? ? ……………6 分 2 ?120000 ? 3v ? 600 v ? 50 ? ? v 50
(2)当 0 ? v ? 50 时, y ?

123000 ? 690 是单调减函数。 v

故 v ? 50 时, y 取得最小值 y ? 3150;……………9 分
7

当 v ? 50 时, y ?

3v 2 120000 ? ? 600 50 v

3v 120000 3(v 3 ? 106 ) ? ? ? 0 ,得 v ? 100 ; 由 y' ? 25 v2 25v 2
当 50 ? v ? 100 时, y ' ? 0 ,函数单调递减, 当 v ? 100 时, y ' ? 0 ,函数单调递增。 所以当 v ? 100 时, y 取得最小值 2400 由于 3150 ? 2400,所以当 v ? 100 时, y 取得最小值 2400。………15 分 答:当卡车以 100km/h 的速度行驶时,运送这车水果的费用最少。………16 分

20. (1) f (0) ? 0 ,得 k ? 1 。………1 分 此时 f ( x) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a ? x ? a x ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是 R 上的奇函数。 …………2 分 任取 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) = a 因为 a ? 1 ,所以 a ………5 分 (2)? f (1) ?
x2

x2

? a ? x2 ? (a x1 ? a ? x1 ) = (a x2 ? a x1 )(1 ?

1 ) a a x1
x2

? a x1 ? 0 ,故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , f ( x) 是 R 上的增函数。

3 1 , a ? 2 或 a ? ? (舍去)………6 分 2 2

? g ( x) ? 22 x ? 2?2 x ? 4(2 x ? 2? x )
令t ? 2 ?2
x ?x

( x ? [1,2] ) ,由(1)知 t ? 2 ? 2
x

?x

在 [1,2] 上增,? t ? [ ,

3 15 ] 2 4

? g (t ) ? (t ? 2)2 ? 2
当 t ? 2 时 g ( x) 取得最小值-2;
8

当t ?

17 15 17 时, g ( x) 取得最大值 ,? g ( x) 的值域为 [ ?2, ] 。………10 分 16 4 16

(3) f (2 x) ? 42 x ? 4?2 x ? (4 x ? 4? x )(4 x ? 4? x ) , f ( x) ? 4 x ? 4? x , 假设存在满足条件的正整数 ? ,则 (4 x ? 4? x )(4 x ? 4? x ) ? ? (4 x ? 4? x ) (a)当 x ? 0 时, ? ? R ;
x ?x x ?x x (b)当 x ? (0, ] 时, 4 ? 4 ? 0 ,则 ? ? 4 ? 4 ,令 u ? 4 ,则 u ? (1,2] ,易

1 2

证z ?u?

1 在 (1,2] 上是增函数,? ? ? 2 u

(c)当 x ? ? ?

1 ? 1 ? ?1 ? , 0 ? 时, 4 x ? 4? x ? 0 ,则 ? ? 4 x ? x ,令 u ? 4 x ,则 u ? ? ,1? , 4 ? 2 ? ?2 ?
5 1 ?1 ? 在 u ? ? ,1? 上是减函数,∴ ? ? 2 u ?2 ?

易证 z ? u ?

综上所述,

5 ? ? ? 2 ,所以不存在这样的 ? 。………16分 2

9



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