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专题六 高考概率与统计命题动向


专题六

高考概率与统计命题动向
高考命题分析

1. 概率是每年高考的重点考查内容之一,在近几年新课标各省市的高考试卷中, 一般命制 1~2 道题, 在整套试卷中占 10~15 分左右,一般有一道选择题或填空 题和一道解答题, 在选择题或填空题中往往单独考查古典概型和几何概型,在解 答题中往往与统计综合考查.命题特点是:(1)强化应用意识.试题一般以应用 题的形式呈现,例如 2011 年山东高考题以我们的日常生活和社会热点为背景, 重在考查应用数学的能力.(2)注重综合能力,尤其加强对数学符号使用能力的 考查. 2.统计这一内容是高考考查的一大热点,从基础知识和基本技能的考查到与概 率等其他知识的交汇考查, 都体现了新课标高考对统计的重视.新课标高考对统 计的考查主要体现了以下两个特点:一是覆盖面广,几乎所有的统计考点都有所 涉及,说明统计的任何环节都不能遗漏;二是考查力度加大,2011 年新课标高 考中有关统计的试题量比往年有所增加. 高考命题特点 1.从内容上看主要考查以下两点 (1)概率与统计包括随机事件、等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概 率,古典概型,几何概型,抽样方法,总体分布的估计,线性回归,独立性检验 等. (2)概率与统计的引入,拓广了应用问题取材的范围,是考查应用意识的良好素 材,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,问题以考生比较熟悉的 实际应用问题为载体, 考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时 要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用. 2.从考查形式上看主要有以下特点 (1)背景熟悉,切入点实际,注重概念的形成 概率与统计的试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组 合,变式和拓展,进而加工为立意高、情境新、设问巧,并赋予时代气息,贴近 学生实际的问题.如 2011 年高考卷中,新课标全国卷第 19 题以“产品质量”为 背景; 江西卷第 16 题以“绩效考评”为背景; 广东卷第 17 题以“测试”为素材,

让考生感到真实、亲切.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念.尊重不同考 生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神. (2)识图处理数据,追溯概念形成 统计与概率中有大量的数据与图形相关, 频率分布直方图中样本的数字特征, 如: 茎叶图中的原始数据,散点图中的相关性,在 2011 年的《考试说明》中也要求 “了解分布的意义和作用, 会列频率分布表, 会画频率分布直方图、 频率折线图、 茎叶图, 理解它们各自的特点”.从一些省份的高考题中也充分的体现了识图处 理数据,考查概念和思想的题目,如 2011 年江西卷第 7 题、福建卷第 19 题、浙 江卷第 13 题等. 高考动向透视 抽样方法 考查抽样方法及抽样中的计算. 应抓住各种抽样方法及各自特点. 对于分层抽样, 与其有关计算在高考试题中较常见,难度较低,关键抓住按怎样的比例分层. 【示例 1】?(2011· 天津)一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分 层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动 员的人数为________. 解析 本题主要考查用分层抽样抽取样本的问题, 分层抽样是随机抽样常用的方 法之一,其特点是样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等. 抽取的男运动员的人数为 答案 12 本题考查了分层抽样方法在解决实际问题中的应用,注重考查了考 生的实际应用能力. 频率分布直方图的考查 考查频率分布直方图的识图与计算.重点考查看图、识图的能力,对频率分布直 方图中各参数的认识,以及在统计学中样本对总体的估计作用. 延伸 (1)频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率,频率分布直方图 21 ×48=12. 48+36

是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率. 注意频率分布直方图 中的纵轴表示频率与组距的比值,即小长方形面积=组距× 频率 =频率. 组距

(2)各组频率的和等于 1,即所有长方形面积的和等于 1. (3)频率分布表在数量表示上比较确切,但不够直观、形象,不利于分析数据分 布的总体态势. (4)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势,但是从频率分布直 方图本身得不出原始的数据内容. 【示例 2】?(2010· 北京)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘 米)数据绘制成频率分布直方图(如图). 由图中数据可知 a=________.若要从身高 在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.

解析 根据频率之和等于 1,可知(0.005+0.010+0.020+a+0.035)×10=1,解 18 得 a=0.030;身高在[120,150]内的频率为 0.6,人数为 60 人,抽取比例是60,而 18 身高在[140,150]内的学生人数是 10,故应该抽取 10×60=3 人. 答案 0.030 3

本题主要考查频率分布直方图的应用、考生的识图与用图能力,同 时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力. 有关茎叶图的考查 考查茎叶图的识图与计算.高考常借助样本的数字特征,频率分布直方图、茎叶 图来考查考生的绘图、识图和计算能力. 延伸 (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的

损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到; 二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加,方便记录与表示; (2)茎叶图只便于表示两位(或一位)有效数字的数据, 对位数多的数据不太容易操 作;而且茎叶图只方便记录两组数据,两组以上的数据虽然能够记录,但是没有 表示两组数据那么直观、清晰; (3)茎叶图对重复出现的数据要重复记录,不能遗漏.

【示例 3】?(2010· 天津)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示 如下图, 中间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个 位数,则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.

解析 由茎叶图可知甲的平均数为 ?9+8+20?+?1+3+2+100?+?1+1+5+90? =24, 10 乙的平均数为 ?9+7+1+30?+?1+4+2+4+80?+?2+90? =23. 10 答案 24 23 本题考查茎叶图和平均数的基本知识,考查观察能力和计算能力, 属于基本题.茎叶图是近几年考查的热点之一,常与平均数、方差、中位数和众 数联合考查. 有关样本的数字特征的考查 考查样本的数字特征的计算.中位数、众数、平均数、标准差(方差)是进行统计 分析的重要数字特征,是高考的常考点.我们不但要熟练掌握公式进行计算,还 要理解公式的本质及联系. 【示例 4】?(2011· 南京模拟)对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们最大速度的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 根据以上数据,试判断他们谁更优秀. 解 根据统计知识可知,需要计算两组数据的 x 与 s2,然后加以比较,最后作出 判断.

1 ∵ x 甲=6×(27+38+30+37+35+31)=33, 1 x 乙=6×(33+29+38+34+28+36)=33, 1 1 s2 =6×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=6 甲 2 ×94=153, 1 1 s 2 =6 [(33-33)2 +(29-33)2 +(38-33)2 +(34-33)2 +(28-33)2 +(36-33)2]= 6 乙 2 ×76=123. ∴ x 甲= x 乙,s2 >s2 . 甲 乙 由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,故乙比 甲更优秀. (1)现实中总体所包含的个体数往往较多,总体的平均数与标准差、 方差是不知道(或不可求)的,所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估 计总体的平均数与标准差、方差. (2)平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围绕平均 数波动的大小.标准差、方差越大,数据的分散程度越大,越不稳定;标准差、 方差越小,数据的分散程度越小,越稳定. 变量的相关性 虽然任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程, 但只有具有线性相关 关系的一组数据才能得到具有实际价值的回归直线方程;线性相关系数可以为 正、 为负或为零, 线性相关系数为正时是正相关, 为负时是负相关, 反之也成立. 【示例 5】 ?(2011· 江西)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1), (11.3,2), (11.8,3), (12.5,4), (13,5), 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5), (11.3,4), (11.8,3), (12.5,2), (13,1).r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性 相关系数,则( ).

A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1 解析 对于变量 Y 与 X 而言, 随 X 的增大而增大, Y 与 X 正相关, r1>0; Y 故 即 对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的增大而减小,故 V 与 U 负相关,即 r2<0,所

以有 r2<0<r1.故选 C. 答案 C 本题主要考查两个变量间的线性相关性、线性相关系数以及正相关、 负相关等概念.利用正相关、负相关求解是问题得到解决的关键所在. 回归分析 对于回归分析, 要理解其基本思想方法,建立回归直线方程的基本思想是使通过 建立的方程得到的估计值和真实值之差的平方和最小, 无论建立的是什么样的回 归方程(直线的和曲线的),由这个回归方程得到的预报变量的值只能是估计值, 或者说是在大量的重复情况下得到的数值的平均值,这个值不是精确值,这就是 回归分析中建立的函数模型与通常意义下的函数模型的不同之处, 也是统计思维 和确定性思维的差异所在. 【示例 6】 ?(2010· 广东)某市居民 2005~2009 年家庭平均收入 x(单位: 万元)与年 平均支出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 年份 收入 x 支出 Y 2005 11.5 6.8 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12

根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数是________,家庭年平均收入与平 均支出有________线性相关关系. 解析 由表可以得到中位数为 13,画出散点图,可知成正相关关系. 答案 13 正 本题考查回归分析的基本思想及其初步应用,数据处理的基本方法 和能力,考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 独立性检验 独立性检验中统计量 K2 的计算公式中分母是列联表中除了总合计的四个合计量 的乘积, 分子是总合计量与样本频数中四个数交叉乘积之差的平方的乘积.解题 时要对照公式正确使用列联表中的数据. 【示例 7】?(2011· 湖南)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运 动,得到如下的列联表: 男 女 总计

爱好 不爱好 总计
2

40 20 60

20 30 50

60 50 110

n?ad-bc?2 由K = 算得, ?a+b??c+d??a+c??b+d? 10×?40×30-20×20?2 K= ≈7.8. 60×50×60×50
2

附表: P(K2≥k) k 参照附表,得到的正确结论是( 0.050 3.841 ). 0.010 6.635 0.001 10.828

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运运与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 据独立性检验的思想方法,可知正确选项为 A. 答案 A 本题考查独立性检验的定义,考查学生分析数据的能力,属容易题. 古典概型 古典概型是一种最基本的概率模型,在概率部分占有相当重要的地位.从近年各 省市的概率考题来看,古典概型是高考的一个热点. 在解答题中常与统计综合, 考查基本概念和基本运算,解答时对数学符号的运用 要加以重视.对于较为复杂的基本事件空间,列举时要按照一定的规律进行,做 到不重不漏. 【示例 8】 ?(2011· 江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公 司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料, 另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮 料.若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好;否则评 为合格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率;

(2)求此人被评为良好及以上的概率. 解 将 5 杯饮料编号为: 1,2,3,4,5, 编号 1,2,3 表示 A 饮料, 编号 4,5 表示 B 饮料, 则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135), (145),(234),(235),(245),(345),可见共有 10 种. 令 D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评为良好的事件,F 表示此人被 评为良好及以上的事件,则 1 (1)P(D)=10; 3 7 (2)P(E)= ,P(F)=P(D)+P(E)= . 5 10 本题型主要弄清题干中的事件的基本事件个数,一般可以列举出每 个事件,从而得到结果. 互斥事件的概率加法公式 概率加法公式是计算概率的一个最基本的公式, 根据它可以计算一些较为复杂的 事件的概率, 运用该公式的关键是分清事件之间是否为互斥的关系,高考题中涉 及的事件一般都不复杂,容易辨别,属于中低档题.另外,此类试题往往与统计 综合考查,例如 2011 年陕西高考题.认真审题是正确解决该类问题的前提条件. 【示例 9】?国家射击队的某队员射击一次,命中 7~10 环的概率如下表所示: 命中环数 概 求该射击队员射击一次 (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)至少命中 8 环的概率; (3)命中不足 8 环的概率. 解 记事件“射击一次,命中 k 环”为 Ak(k∈N,k≤10),则事件 Ak 彼此互斥. (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 A9,A10 之一发生时, 事件 A 发生,由互斥事件的加法公式得 P(A)=P(A9)+P(A10)=0.32+0.28=0.60. (2)设“射击一次,至少命中 8 环”的事件为 B,那么当 A8,A9,A10 之一发生时, 事件 B 发生.由互斥事件概率的加法公式得 P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18 +0.28+0.32=0.78. 率 10 环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12

(3)由于事件“射击一次,命中不足 8 环”是事件 B:“射击一次,至少命中 8 环”的对立事件,即 B 表示事件“射击一次,命中不足 8 环”,根据对立事件 的概率公式得 P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所 求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和, 运用互斥事件的求和公式 计算;二是间接求解法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1- P( A ),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”、“至少”型题目,用间 接求解法就显得较简便. 几何概型 几何概型也是一种基本的概率模型, 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结 果的无限性,几何概型经常涉及的几何度量有:长度、面积、体积等,解决该类 问题的关键是找准几何度量.例如 2011 年福建高考题涉及的几何度量就是面 积.新课标高考对几何概型的要求较低,因此高考试卷中此类试题以低、中档题 为主. πx 1 【示例 10】 ?(2009· 山东)在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos 的值介于 0 到 之 2 2 间的概率为( 1 A.3 ). 2 B.π 1 C.2 2 D.3

πx πx 解析 在区间[-1,1]上随机取一个实数 x, 2 的值位于[0,1]区间, cos 若使 cos 2 的 1? 2? ?2 ? ? ? 值位于?0,2?区间,取到的实数 x 应在区间?-1,-3?∪?3,1?内,根据几何概 ? ? ? ? ? ? 1 型的计算公式可知 P= 2 =3. 答案 A 解答本题要抓住它的本质特征,即与长度有关. 概率统计初步综合问题 概率统计是高中数学中与实际生活联系最紧密的部分,因此,高考越来越重视对 概率统计的考查, 把随机抽样、 用样本估计总体等统计知识和概率知识相结合命 1 2×3

制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向. 概率统计初步综合解答题的主要依 托点是统计图表, 正确认识和使用这些图表是解决问题的关键,因此在复习该部 分时,要在这些图表上下工夫,把这些统计图表的含义弄清楚,在此基础上掌握 好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法. 【示例 11】?(2011· 天津)编号分别为 A1,A2,?,A16 的 16 名篮球运动员在某次 训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分 A1 15 A9 17 A2 35 A10 26 A3 21 A11 25 A4 28 A12 33 A5 25 A13 22 A6 36 A14 12 A7 18 A15 31 A8 34 A16 38

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: 区间 人数 (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人, ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率. 解 (1)4,6,6. (2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为 A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机 抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11}, {A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11}, {A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共 15 种. ②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50”(记为事件 B)的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5, A10},{A10,A11},共 5 种. 5 1 所以 P(B)=15=3. 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概 型及其概率计算公式等基础知识, 考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的 实际问题的能力. [10,20) [20,30) [30,40]



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