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南京市2013-2014高一期末考试(word版有答案)


南京市 2013-2014 学年度第一学期期末学情调研试卷

高一数学
注意事项:

2014.01

1.本试卷共 4 页, 包括填空题 (第 1 题~第 14 题) 、 解答题 (第 15 题~第 20 题) 两部分. 本 试卷满分为 100 分,考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题纸指定的位置. 3.答题时,必须用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上指定的位置,在其他位置作 答一律无效. 4.本卷考试结束后,交回答题纸. ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答卷纸相应位置 上. 1. 已知集合 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , 集合 A ? ?0,3,5? , 则 B ? ?1,3? , 2.函数 f ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 3.函数 f ( x) ? 3cos( x ? ▲ .

? ? A ? B? ?
U





) 的最小正周期为 ▲ . 3 ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (4, ?3) , b ? ( x,6) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为

1 2

?



. ▲ . ▲ .

5.如果指数函数 f ( x) ? (a ?1) x 是 R 上的增函数,那么实数 a 的取值范围是 6. 将函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
3

) 的图像向右平移

? 个单位, 所得图像的函数解析式为 6
▲ ▲ .

7.已知角 ? 的终边经过点 P(?1,3) ,则 sin ? ? 2cos ? 的值为 8.已知 a ? log 1 2 ,b ? 2
3
0.6

,c ? 0.6 ,则 a, b, c 的大小关系为
2

. (用“ ? ”连接) ▲ .

9.已知函数 f ( x) ? a ? b(a ? 0, a ? 1) 的图像如图所示,则 a ? b 的值为
x

1

10.在 ?ABC 中,已知 sin A ? cos A ?

1 ,则 ?ABC 为 5



三角形(在“锐角” 、 “直

角” 、 “钝角”中,选择恰当的一种填空) . 11.若函数 f ( x) ?

(2 x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则实数 a 的值为 x





12.已知函数 f ( x) ? ? 2

? 1 x ?( )

x?2

? ?log 2 x x ? 2

,则 f ( f (3)) 的值为





13 .在 ?ABC 中,已知 AB ? AC , BC ? 4 ,点 P 在边 BC 上,则 PA ? PC 的最小值为 ▲ .

??? ? ??? ?

14 .已知函 数 f ( x) ? x(2 ? a x ) ,且 关于 x 的 不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的 解集为 A . 若

? 1 1? ? , ? A ,则实数 a 的取值范围是 ? ? 2 2? ?
说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分) 已知向量 a ? (2,1) , b ? (1, ?2) . (1)求 (a ? b) ? (2a ? b) 的值; (2)求向量 a 与 a ? b 的夹角.





........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字

?

?

? ?
?

? ?

? ?

16. (本小题满分 8 分) 已知 tan ? ? 3 , ? ? ? ? (1)求 cos ? 的值; (2)求 sin(

3? . 2

?

2

? ? ) ? sin( ? ? ? ) 的值.

2

17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若 x ? ? ?

?
2

) 的图像如图所示.

? ? ? , 0 ,求函数 f ( x) 的值域. ? 2 ? ?

18. (本小题满分 10 分)
? 如图,在 ? ABCD 中,已知 AB ? 2 , AD ? 1 , ?DAB ? 60 , M 为 DC 的中点.

(1)求 AM ? BD 的值; (2)设 AP ? ? AB ,若 AC ? DP ,求实数 ? 的值.

???? ? ??? ?

??? ?

??? ?

D

M

C

A

P

B

3

19. (本小题满分 10 分) 如图,用一根长为 10m 的绳索围成一个圆心角小于 ? ,半径不超过 2 m 的扇形场地.设扇形 的半径为 x m ,面积为 S m . (1)写出 S 关于 x 的函数表达式,并求出该函数的定义域; (2)当半径 x 和圆心角 ? 分别是多少时,所围扇形场地的面积 S 最大,并求 S 的最大值.
2

20. (本小题满分 12 分) 已知 M 是所有同时满足下列两个性质的函数 f ( x) 的集合:①函数 f ( x) 在其定义域上是单 调函数;②在函数 f ( x) 的定义域内存在闭区间 ? a, b? ,使得 f ( x) 在 ? a, b? 上的最小值是 a , 最大值是 b . (1)判断函数 f ( x) ? x ( x ??0, ???) 是否属于集合 M ?若是,请求出相应的区间 ? a, b? ;
2

若不是,请说明理由. (2)证明函数 f ( x) ? 3log2 x 属于集合 M ; (3)若函数 f ( x) ?

mx 属于集合 M ,求实数 m 的取值范围. 1? x

4

南京市 2013-2014 学年度第一学期期末学情调研试卷 高一数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. 1.{2,4} 2.

2014.01

? ??,1?
) 1 3
7.

3. 4?

4. ?8

5. ? 2, ??? 9. 4 14.(-1,0)

6. f ( x ) ? sin( x ? 11. ?

?
6

10 2
13.-1

8.a<c<b

10.钝角

1 2

12.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解 (1)因为 a ? (2,1) , b ? (1, ?2) . 所以 a ? b ? (3, ?1) , 2a ? b ? (3, 4) , 从而 (a ? b) ? (2a ? b) ? (3, ?1) ? (3,4) ? 3? 3 ? (?1) ? 4 ? 5 . (2)设向量 a 与 a ? b 的夹角为 ? .因为 a ? b ? (3, ?1) ,

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

???4 分

?

? ?

? ?

? ? ? a ? (a ? b) 2 ? 3 ? 1? (?1) 2 所以 cos ? ? ? ? ? ? , ? 2 5 ? 10 a ? a?b
因为 ? ??0, ? ? ,所以 ? ?

???????6 分

?

4 sin ? ? 3 ,所以 sin ? ? 3cos ? . 16.解(1)因为 tan ? ? cos ? 1 2 2 2 又因为 sin ? ? cos ? ? 1 ,所以 cos ? ? .????????2 分 10
因为 ? ? ? ?

,即向量 a 与 a ? b 的夹角为

?

? ?

? ?????8 分 4

3? 10 ,且 cos ? ? ? .?????????????4 分 2 10
5

(2)因为 ? ? ? ?

3? 10 3 10 ,且 cos ? ? ? ,所以 sin ? ? ? ,所以 2 10 10

? 10 3 10 10 .???8 分 sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? ? ? ? (? )? 2 10 10 5
17.解(1)由题意知, A ? 2 , T ?

3 4

3 2? ? ,从而 T ? ? .又 T ? ,所以 ? ? 2 . 4 ?

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) .???????2 分 又因为 f ( ) ? 2sin(2 ?

?

?
6

? ? ? ,所以 ? ? ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) .??????????4 分 2 6 6 ? ? ? ? ? (2) 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z .得 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 2 6 2 3 6
因为 ? ? 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ? k? ?

6

? ? ) ? 2 ,即 sin(

?
3

? ?) ?1 ,所以

?
3

? ? ? 2 k? ?

?
2

,k ?Z .

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

, k ? Z . ????????6 分

(3)因为 x ? ? ?

? ? 5? ? ? ? ? ? , 0 ? ,所以 2 x ? ? ? ? , ? .??????????8 分 6 ? 6 6? ? 2 ?

? 1? ???????10 分 ) ? ? ?1, ? .故函数 f ( x) 的值域是 ??2,1? . 6 ? 2? ???? ? ???? ???? ? ???? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 18.解 (1)由题意知, AM ? AD ? DM ? AD ? AB , BD ? AD ? AB . ??2 分 2
所以 sin(2 x ? 从而

?

? ???? ? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? ??? ? ????? 1 ??? ? ???? 1 ???? AM ? BD ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD 2 ? AB ? AD ? AB 2 2 2 2 1 1 3 ? 1 ? ? 2 ?1? cos 60? ? ? 4 ? ? 2 2 2
???????4 分 ( 2 ) 由 题 意 知 , A C?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? A? D A ,B DP ? AP ? AD ? ? AB ? AD , 从 而 ???? ? ????? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? AC ? DP ? ( AD ? AB) ? (? AB ? AD) ? ? AB 2 ? AD 2 ? (? ? 1) AB ? AD
? 4? ? 1 ? (? ? 1) ? 2 ?1? cos 60? ? 5? ? 2.
?????????7 分

??? ?

又因为 AC ? DP ,所以 AC ? DP ? 0 .所以 5? ? 2 ? 0 ,解得 ? ? 19.解(1)设扇形的弧长为 l ,则 l ? 10 ? 2 x .
6

??? ? ??? ?

2 .??????10 分 5

所以 S ?

1 lr ? (5 ? x) x ? ? x 2 ? 5 x . ?????4 分 2

? 0? x?2 0? x?2 ? ? 由? . , 得 ? 10 ? x?5 ?0 ? l ? 10 ? 2 x ? ? x ? ?? ? 2
所以 x ? ?

? 10 ? ? 10 ? , 2 ? .从而 S ? ? x2 ? 5x , x ? ? , 2 ? .?????????6 分 ?? ?2 ? ?? ?2 ?
2

(2) S ? ? x ? 5 x ? ?( x ? ) ?
2

5 2

25 , 4

因为

5 ? 10 ? ? 2 ,所以 S ? ? x2 ? 5x 在 ? , 2 ? 上是增函数. 2 ?? ?2 ?

从而当 x ? 2 时, Smax ? S (2) ? 6 ,此时 l ? 6 ,圆心角 ? ?

l ? 3. x

答:当扇形半径为 2 m ,圆心角为 3 时,所围扇形场地的面积最大, 最大面积为 6m .????????10 分 20.解(1)函数 f ( x) ? x2 在 ?0, ??? 上为单调增函数, 由函数 f ( x) ? x2 在区间 ? a, b? 上的最小值为 a ,最大值为 b , 得 a ? a , b ? b ,且 0 ? a ? b ,解得 a ? 0, b ? 1 .
2 2 2

即函数 f ( x) ? x2 在区间 ?0,1? 上的最小值为 0 ,最大值为 1 , 所以函数 f ( x) ? x2 属于集合 M ,且相应的区间为 ?0,1? . ??????3 分 (2)由对数函数性质可知,函数 f ( x) ? 3log2 x 的定义域为 ? 0, ??? ,且在定义域上为 增函数.设 g ( x) ? 3log2 x ? x ,考虑 g ( x) 在区间 ? 0, ??? 上零点的个数. 因为 g (1) ? 3log2 1 ?1 ? ?1 ? 0 , g (2) ? 3log 2 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,

g (16) ? 3log2 16 ?16 ? 12 ?16 ? ?4 ? 0 .
又因为函数 g ( x) 的图像是一条连续不间断的曲线,所以 g ( x) 在区间 (1, 2) 内至少有

g (b) ? 0 , 一零点, 记为 a ; 在区间 (2,16) 内至少有一零点, 记为 b . 即有 g (a) ? 0 ,
即 3log2 a ? a , 3log2 b ? b .又因为 f ( x) ? 3log2 x 为 ? a, b? 上的单调增函数,

7

故 f ( x) ? 3log2 x 在区间 ? a, b? 上的最小值为 3log2 a ? a , 最大值为 3log 2 b ? b . 所以 f ( x) ? 3log2 x 属于集合 M . ???????????????7 分 (3) f ( x) 的定义域为 R , f (? x) ?

m(? x) mx ?? ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数. 1? ?x 1? x mx1 mx2 m( x1 ? x2 ) . ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

又当 0 ? x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

当 m ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,此时 f ( x) 在 ?0, ??? 上为增函数,由 f ( x) 为奇函数可 知 f ( x) 在 R 上为增函数;当 m ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,此时 f ( x) 在 ?0, ??? 上为减 函数, 由 f ( x) 为奇函数可知 f ( x) 在 R 上为减函数. 当 m ? 0 时, f ( x) 不具有单调性. ①若 m ? 0 , 因为 f ( x) 在 R 上单调递增, 应有 f (a) ? a ,f (b) ? b , 即 a , b 是方程 f ( x) ? x 的两个不相等的实根.易知 x ? 0 是方程

mx ? x 的一个根;当 x ? 0 时,化简可得 1? x

x ? m ?1 . 若 此 方 程 有 异 于 0 的 根 , 则 m ? 1 ? 0 . 所 以 m ? 1 , 此 时 对 应 的 区 间 为

??m ?1,0? , ??m ?1, m ?1? , ?0, m ?1? .????????????10 分
? ma ?1 ? a ? b, ? ②若 m ? 0 ,则 f ( x) 在 R 上为减函数.应有 f (a) ? b 且 f (b) ? a ,即 ? ? mb ? a. ? ?1 ? b b b 显然 a ? 0, b ? 0 ,则 m ? (1 ? a ) ? 0 ,所以 ? 0 ,故 a , b 异号.又因为 a ? b , a a
? ma ? b, ? ?ma ? b ? ab, ?1 ? a 所以 a ? 0, b ? 0 .故有 ? 即? 所以 m(a ? b) ? (a ? b) . ? mb ? a. ?mb ? a ? ab. ?1 ? b ?
即 (m ? 1)(a ? b) ? 0 .因为 m ? 0 ,所以 m ? 1 ? 0 .所以 a ? b ? 0 ,即 a ? ?b . 所以 m(?b) ? b ? b ,解得 b ? ? m ? 1 .因为 b ? 0 ,所以 ? m ? 1 ? 0 ,即 m ? ?1 .
2

当 m ? ?1 时,可求得 a ? m ? 1, b ? ? m ? 1 . 综上可知, m 的取值范围为 ? ??, ?1? ? ?1, ??? .??????12 分
8



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