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充要条件


问题提出 1.充分条件与必要条件的含义分别是 什么? 如果“p ? q”,则称p是q的充分条件, 且q是p的必要条件. 2.对于两个语句,p可能是q的充分条 件,p也可能是q的必要条件,除此以外 p与q之间的逻辑关系还有哪些可能?

课题引入

p:整数a是6的倍数, q:整数a是2和3的倍数. p是q的什么条件? q又是p的什么条件?

探究(一):充要条件的含义
一般地,如果既有p ? q, 又有q ? p, 就记作p ? q.此时,我们说,p是q的 充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p ? q, 那么p与q互为充要 条件.

概念辨析

例1下列各组语句中,p是q的什么条件? (1 )p :a >0 ,b >0 ,q :a +b >0 ; 充分 (2)p:四边形的四条边相等, 必要 q:四边形是正方形; (3)p:|x|<1,q:-1<x<1; 充要 (4 )p :a >b ,q :a 2>b 2. 既不充分也不必要

探究(二):充分、必要条件的分类
若 p ? q ,且 q ? ? 要条件; 若 p ? q ,且 分条件;

p ,则p是q的充分不必

p? ? q,则p是q的必要不充 p



p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件
,则p是q的既不

? q ,且 q ? 若p ? ? 充分也不必要条件.

探究(三):判断充分条件、必要条件的方法

1、直接用定义判断
若 p ? q ,且 q ? ? 要条件; 若 p ? q ,且 分条件; 若

p ,则p是q的充分不必

p? ? q,则p是q的必要不充 p

p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件
,则p是q的既不

? q ,且 q ? 若p ? ? 充分也不必要条件.

例2 下列各题中,那些p是q的充要 条件. (1 )p :b = 0 , 充要条件 q:f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (2)p:x>0,y>0, q:xy>0; 充分非必要条件 (3 )p :a >b ,q :a +c >b +c ; (4)p:两直线平行; 充要条件 q:两直线的斜率相等.
既不充分也不必要条件

探究(三):判断充分条件、必要条件的方法 如何从原命题和逆 1、直接用定义判断 命题的真假性理解 上述四种关系?

若 p ? q ,且 q ? ? 要条件; 若 p ? q ,且 分条件; 若

p ,则p是q的充分不必

p? ? q,则p是q的必要不充 p

p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件
,则p是q的既不

? q ,且 q ? 若p ? ? 充分也不必要条件.

2、利用命题的四种形式进行判定 p是q的充分不必要条件, 原命题为真逆命题为假; p是q的必要不充分条件, 原命题为假逆命题为真; p是q的充要条件, 原命题、逆命题都为真; p是q的既不充分也不必要条件,

原命题、逆命题都为假.

例3 给出下列四个结论 ① 若a, b ? R, 则“a 2 ? b 2 ? 0”
是“a, b全不为0”的充要条件;



若a, b ? R, 则“a ? b ? 0”
2 2

是“a, b不全为0”的充要条件;
2 2

③ x ? y 是x ? y或x ? ? y的充要条件; ④ ? ? ?是 tan? ? tan ?的充分不必要条件。 ② ___________ 其中正确的序号是

3、利用集合的关系判定

设:A ? {x | x满足条件p} B ? {x | x满足条件q} 1)若A ? B且B ? A,则称p是q的充分不必要条件
2)若A ? B且B ? A,则称p是q的必要不充分条件
1) B 2) A A B

B 且 B A,则称p是q的既不充分也不必要条件 3)若 A?????????????????

4)若A ? B且B ? A,既A=B,则称p是q的充要条件
A B A =B

3 )

4 )

练习
1、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6,则p是q的( B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”

是“x∈M∩N”的(B )
A.充要条件 B .必要不充分条件

C .充分不必要 D .不充分不必要 3、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是(
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2

A)

4、利用双箭头的传递判定(或称图像法)
由于逻辑联结符号“ ?”、“?”、“?”具有传递性, 因此可根据几个条件之 间的关系,经过若干次 的传递 判断所要判断的两个条 件之间的依存关系。
例4(2004.重庆)已知p是r的充分不必要条件,s是r 的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的 ( A ) A充分非必要条件 C充要条件 B必要非充分条件 D既非充分又非必要条件

练习
1、已知p,q都是r的必要条件, s是r的充分条件,q是s的充 分条件,则 (1)s是q的什么条件? 充要条件 (2)r是q的什么条件? 充要条件 (3)P是q的什么条件?必要不充分条件 2.若A是B的必要而不充分条件,C是B 的充要条件,D是C的充分而不必要条 充分不必要条件 件,那么D是A的________

例5 已知:⊙O的半径为r,圆心O 到直线l的距离为d.求证:d=r是直线l与 ⊙O相切的充要条件.
【解题回顾】充要条件的证明一般分 两步:证充分性即证A =>B, O

证必要性即证B=>A
一定要使题目与证明中的叙述一致

l

P

A

分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明 充分性 p ? q 和必要性 q ? p 即可

小结 1.p是q的充分条件包括两种可能,即 p是q的充分不必要条件或p是q的充要条 件;同样,p是q的必要条件也包括两种 可能,即p是q的必要不充分条件或p是q 的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明,一般分 充分性和必要性两个方面进行,其中由 条件推出结论就是充分性,由结论推出 条件就是必要性.

小结

3.充要条件是一种等价关系,许 多数学问题的求解,就是求结论成立 的充要条件. 在判断p是q的什么条件 时,要“正逆互推,注意特例”.


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