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电动力学 第四章 电磁波的传播第1节zjz0811


第四章

电磁波的传播

Electromagnetic Wave Propagation

大连民族学院理学院 郑建洲

引 言

在迅变情况下,电磁场以波动形式存在。 在迅变情况下,电磁场以波动形式存在。 变化着的电场和磁场互相激发, 变化着的电场和磁场互相激发,形成在空 间中传播的电磁波 电磁波。 间中传播的电磁波。 电磁波已在广播通讯、 电磁波已在广播通讯、光学和其他科学 技术中得到广泛应用。 技术中得到广泛应用。本章只介绍关于电 磁波传播的最基本的理论。 磁波传播的最基本的理论。













1. 平面电磁波 2. 电磁波在介质界面上的反射和折射 3. 有导体存在时电磁波的传播 4. 谐振腔 5. 波导 6. 高斯光束 7. 等离子体

§4.1 平面电磁波
Plane Electromagnetic Wave

1、电磁场波动方程Electromagnetic wave equation
一般情况下麦氏方程组
D = ρ × E = B t B = 0 × H = J + D t

没有电荷、 没有电荷、电流分布 的自由空间 ρ = 0 , J = 0
D = 0 × E = B t B = 0 × H = D t

1).电磁波在真空中的波动方程 ) 电磁波在真空中的波动方程
真空中, 真空中,
D =

ε

0

E

,

B

=



0

H

× × E =

D = 0 × E = B t B = 0 × H = D t

(

)

× B t
= (u0 × H t

( E) E
2

)

E
2

c=

1

0ε0

1 2 E 2 E 2 =0 c 2tE 2 2
E 0ε 0 t
2

2 = 0ε0 2 E t

=0

1).电磁波在真空中的波动方程 ) 电磁波在真空中的波动方程
的方程可以写为: 则 E 和 B 的方程可以写为:

Diagram

1 2 E 2 E 2 =0 2 c t
1 2 B 2 B 2 =0 2 c t

这就是众所周知的波动方程。电磁场的能量可以脱离电荷、 这就是众所周知的波动方程。电磁场的能量可以脱离电荷、电流 而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。 而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。 说明: 说明: ★ ★ ★

c是电磁波在真空中的传播速度; 是电磁波在真空中的传播速度;
一切电磁波(不同频率)在真空中传播速度相同; 一切电磁波(不同频率)在真空中传播速度相同; c是最基本的物理常数之一。 是最基本的物理常数之一。

2).介质中电磁场的波动方程
当以一定角频率ω 当以一定角频率ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内 介质内的束缚电荷受场作用, 时,介质内的束缚电荷受场作用,亦以同样频率作正弦振 可知: 荡,可知:

D(ω) = ε(ω)E(ω)

B(ω) = (ω)H(ω)
对于不同频率的电磁波,介质的介电常数是不同的, 对于不同频率的电磁波,介质的介电常数是不同的,即:

ε = ε (ω) ,

= (ω)

ε和随频率 而变化的现象,称为介质的色散。 和 随频率 而变化的现象,称为介质的色散 随频率ω而变化的现象 介质的色散。 由于色散对于一般非正弦变化的电场 E(t),关系式 D(t) = εE(t) 因此在介质内不能导出E, 的一般波动方程 的一般波动方程。 不再成立,因此在介质内不能导出 不再成立 因此在介质内不能导出 ,B的一般波动方程。

2、时谐电磁波(又称定态波、单色电磁波) 时谐电磁波(又称定态波、单色电磁波)
Time-harmonic electromagnetic waves

在很多实际情况下, 在很多实际情况下,电磁波的激发源往往以大致确定的 频率作正弦振荡, 频率作正弦振荡,因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦 振荡。 振荡。而这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波 单色电磁波)。在一般情况下,即使电磁波不是单色波, )。在一般情况下 (单色电磁波)。在一般情况下,即使电磁波不是单色波, 它也可以用傅立叶分析分解为不同频率的正弦波的叠加。 它也可以用傅立叶分析分解为不同频率的正弦波的叠加。所 对于前面复杂的问题, 以,对于前面复杂的问题,我们就可以通过求解一个简单的 情况来使整个问题得到解决。 情况来使整个问题得到解决。 电磁场对时间的依赖总是cosωt, 设角频率为ω,电磁场对时间的依赖总是cosωt,其复 数形式为: 数形式为:

E(x t) = E(x)eiωt B(x t) = B(x)eiωt

3.时谐情况下的波动方程--亥姆霍兹方程 时谐情况下的波动方程--亥 时谐情况下的波动方程-- 由 得: 同理, 同理,由

D = εE = ε E + ε E = ε E = 0

E = 0

0

B = H = H = 0

H = 0 由 × E = B = H = H(x)eiω t t t t iω t = iωH(x)e = iωH

(

)

得:

× E = iωH

3.时谐情况下的波动方程--亥姆霍兹方程 时谐情况下的波动方程--亥 时谐情况下的波动方程--
由于在一定频率条件下, 由于在一定频率条件下,有 D = εE , B = H 代入一般情 况下麦氏方程组,则有: 况下麦氏方程组,则有:
B = iωH × E = t D = iωε E × H = t E = 0 H = 0

E k 2ε E 令: = ω

(

) E +ω εE = 0
× × E =2ω × H i 2

(

)

ω εE
2

2 E + k 2 E = 0
亥姆霍兹 方程

B+k B = 0
2 2

亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程, 亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程,其解代表电磁波 场强在空间中的分布情况,每一种可能的形式称为一种波模。 场强在空间中的分布情况,每一种可能的形式称为一种波模。

亥姆霍兹( 方程的推导——作业 亥姆霍兹(Helmholtz)方程的推导 方程的推导 作业
× ( × E ) = iω × H
× E = iωH × H = iωε E E = 0 H = 0

( E ) E
2

iω (iωε ) E

0 即
2 2

ω ε E
2

E +ω εE = 0
k = ω ε




同理可得

E+k E = 0
2 2

B+k B = 0
2 2

3.时谐情况下的波动方程 时谐情况下的波动方程----亥姆霍兹方程 时谐情况下的波动方程 亥 其解 E(x) , H(x) 代表电磁波场强在空间中的分布情 每一种可能的形式称为一种波模 波模。 况,每一种可能的形式称为一种波模。 在一定频率下,麦氏方程组可以化为: 在一定频率下,麦氏方程组可以化为:

2 2 E + k E = 0 E = 0 i B = × E ω

或者

2B + k 2B = 0 B = 0 i E = × B ωε

3、平面电磁波 Plane electromagnetic waves 、
(1)亥姆霍兹方程的解:平面波 )亥姆霍兹方程的解:
亥姆霍兹方程有多种解: 平面波解, 球面波解, 亥姆霍兹方程有多种解 : 平面波解 , 球面波解 , 高 斯波解等等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。 斯波解等等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。

轴传播,此时可用一维模型替代: 设电磁波沿x轴传播,此时可用一维模型替代:
d2 E (x) + k 2 E (x) = 0 dx 2

它的一个解是: 它的一个解是: 加上时间项, 加上时间项,有

E ( x, t ) = E 0 e

ikx

E ( x , t ) = E0e

i ( kx wt )

作业:证明平面波满足亥姆霍兹方程: 作业:证明平面波满足亥姆霍兹方程:


2E = E = (E0eikx ) = [(E0)eikx + eikx E0]

= (ikE0e


ik x

) = (ikE )

= i[( k ) E + k E ] = ik ik E = k 2 E

→ ik

ik x = [(ik x)]eik x = ikeik x e

3、平面电磁波 、

Plane electromagnetic waves

i k xωt E( x, t ) = E0e

(

)
)

一般坐标系下平面电磁波的表示式

讨论

( B(x, t ) = B e
0

i k xωt

(1)解为平面波 )
垂直的平面, 设S为与 k 垂直的平面,在S 面上相位

x
x' S

k

k x = kx ' = 常 数 因此在同一时刻, 平面为等相面, 因此在同一时刻,S 平面为等相面,
方向传播。 而波沿 k 方向传播。

o

3、平面电磁波 、

Plane electromagnetic waves

(2)波长与周期Wavelength and period 波长
2π λ= k

周期

1 2π T= = f ω

波长定义: 的等相面间的距离。 波长定义:两相位差为 2π 的等相面间的距离。 两等相面相位差: 两等相面相位差: k(x ' x) = 2π

λ = 2π k

k = 2π

λ

2π λ = x ' x = k ω = 2π
T

的方向为等相面的法线方向, 由于 k 的方向为等相面的法线方向,其大小与 波长相关, 称为波矢量 其大小为2 波矢量, 波长相关,所以 k 称为波矢量,其大小为2π距离内 的波数。可认为是波的空间周期性的描述, 的波数。可认为是波的空间周期性的描述,空间角频率

(3)波长、波矢、波速、频率间的关系 波长、波矢、波速、

k=

ω
v

k=



λ

λω v= = λf 2π
2π λ ω T v= = = T k 2π

2π ω= T

λ

(4)、相位速度(波速) 、相位速度(波速) 如图所示电磁波向+x方 如图所示电磁波向+x方 +x 向传播, 向传播,从波形上可以认 为是整个波形随着时间变 化向+z方向平移。 +z方向平移 化向+z方向平移。
Ex

t1

t2 > t1


x

0

π



φ 相位: = ωt kx + 0 相位:
令φ = ωt kx + 0=const
两边对时间t去导数, 两边对时间t去导数,得:

dx dx ω 1 ω k = 0 vp = = = dt dt k ε

(5)横波特性 )横波特性(TEM波) 波

E(x, t) = E0e B(x, t) = B0e

i(k xωt )

i(k xωt )

证明: 证明: E = ( E )eik x + (eik x )E = ik E eik x = 0 0 0 0

k E =0

同理

k B = 0E

x

k E =k B=0
这表明, 这表明,电磁场振动方向与 传播方向互相垂直, 传播方向互相垂直,由此可 电磁波是横波。 见电磁波是横波。
z
Hy

(6) B与 E 的关系

B = × E = × E0e

i

i

ω

ω

ik x

=

(e )× E = ω × E ω
i
ik x

k

Ex

0

B=

ω

k

×E
z
Hy

之间不独立, 这表明电场 E 和磁场 B 之间不独立,且电磁 场 E, ,振动方向与传播方向三者互相垂直,并 B 振动方向与传播方向三者互相垂直, 满足右手螺旋法则。 满足右手螺旋法则。

Ex

几点说明 a) B与 E 同相位; 同相位; b) E ⊥ B

(

k ×E E B = E = 0Hy ω E, B, k 构成右手螺旋关系

z

)

E ω 1 c) ,振幅比为波速( = = = v 振幅比为波速(因为 B k ε k 相互垂直且 B = E )。 E, B, k

ω

(7)波形图
假定在某一时刻( 假定在某一时刻( t 的实部。 = t0),取 E, B的实部。

E
x

B

k

4、电磁波的能量和能流Electromagnetic energy and energy flow 、
a) 电磁波的能量密度 根据电磁场的能量密度

1 1 2 1 2 w = E D + H B = εE + B D = εE , B = H 2 2
对于单色平面电磁波
E 1 =v = B ε

(

)

w = ε E2 =

B2



w = εE =
2

1



B

2

说明了电场能量和磁场能量相等。 说明了电场能量和磁场能量相等。 电场能量和磁场能量相等 b) 电磁波的能流密度

B=

1

ω ω = ε n × E

k ×E =

1

ω ε n × E

k = ω ε

故有: 故有:

S = E× H = E× B

1

Ex

1 = E× ε n × E ε = E×(n × E)

B = ε n × E

z
Hy

ε = (E E)n (E n)E
0

[

]

ε 2 = En

也可以看到 S与 的关系: w 的关系:

w = εE =
2

1



B2

ε 2 ε w 1 S= E n= n= wn =υwn ε ε

S = E× H =υwn
电磁能量传播方向与电磁波传播方向一致

注意: 注意: 由于能量密度和能流密度是场强的二次式,不能 由于能量密度和能流密度是场强的二次式, 把场强的复数表示直接代入, 把场强的复数表示直接代入,这是因为

e e

iωt

iωt

≠ cosωt cosωt

的瞬时值时, 这就要求计算 S与w的瞬时值时,应把场强的实部代 S 入,即为 2 w = εE0 cos2 (k x ωt)

1 2 = εE0 1+ cos 2(k x ωt) 2 实际上, 都是随时间迅速脉动的量, 实际上,S和 都是随时间迅速脉动的量,只需用到 w 它们的时间平均值

[

]

计算公式

g = g0e

iω t +iφ

, f = f 0e

iωt

1 1 fg = f0 g0 cosφ = Re( f *g) 2 2
2 2 2 E0 cos

1 2 w = ε E0 w=ε E =ε k x ωt 2 S = vεE2n = vεE02 cos2 k x ωt n

(

(

)

)

1 1 ε 2 S = Re E × H = E0 n 2 2

(

)

推导* 推导

1 T 1 T1 2 w= wdt = εE0 1 + cos2(k x ωt) dt T 0 T 0 2 1 2 1 T 1 T = εE0 dt + cos2(k x ωt)dt 2 T 0 T 0





[

]





因为

1 T 1 T

∫ dt =1
0

T



T

0

cos 2(k x ωt) dt = 0

[

]

故得
同理可得: 同理可得:

2 1 1 B0 2 w = εE0 = 2 2

1 S= T 1 = 2



T

0

1 Sdt = T



T

0

υwndt

ε 2 E0 n

从而得到

S =υwn

例1:有一平面电磁波,其电场强度为 有一平面电磁波,

(1)判断电场强度的方向和波传播的方向; )判断电场强度的方向和波传播的方向; (2)确定频率、波长和波速; )确定频率、波长和波速; 求磁场强度; (3)若介质的磁导率 = 4π ×107 (亨 ) 求磁场强度; ) 米 (4)求在单位时间内从一个与 x y 平面平行的单位 ) 面积通过的电磁场能量。 面积通过的电磁场能量。 :(1) 轴方向振荡, 解:( )E 沿 x轴方向振荡, x = kz ,k = 2π ×102 k 波沿 z 方向传播。 方向传播。 ω 6 f = =106(Hz) (2)ω = 2π ×10 ) 2π 2π ω λ= = 102 (m) v = = 108 (m ) s k k

E ( x, t ) =100πex exp[i(2π ×10 z 2π ×10 t)]
2 6

E 100π E H0 = = 2.5 H (3) = v , = H , = ) B 7 8 4π ×10 ×10 v B H = 2.5ey ex i(2π ×102 z 2π ×106 t)] p[

同相位同频率, 垂直, ( H 与 E同相位同频率,与 k 垂直且与 E 垂直, 故它在 轴方向)。 轴方向)。 y

(4)S :单位时间垂直通过单位横向截面的能量 )
S = vw
2 1 2 1 B0 1 2 w = ε E0 = = H0 =1.25π ×106 J 2 2 2

S = 1.25π ×10 W / m
2

3

作业

2.

3. P180:

例2 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均 100MHz 匀理想介质中沿+Z方向传播, +Z方向传播 匀理想介质中沿+Z方向传播,介质的特性参数 设电场沿x方向, 为 ε r = 4, r = 1 。 设电场沿x方向, 已知: 即 E = ex Ex 。已知:当t=0, z=1/8 m时,电场 时 等于其振幅值 104V / m 。 试求: 波的传播速度、波长、波数; 试求:(1)波的传播速度、波长、波数; (2)电场和磁场的瞬时表达式; 电场和磁场的瞬时表达式; 坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。 (3)坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。

由已知条件可知:频率: 解:由已知条件可知:频率: f = 1 0 0 M H z 振幅: 振幅: E x 0 = 1 0 4 V / m (1)v p =
1

ε

=

1

εrr



1

0ε 0
8

3 = × 108 m / s 2

2 4 8 k = ω ε = 2π ×10 ×10 = π 3 3

2π λ= = 1.5m k

(2)设 (2)设 E = ex E0 cos(ω t kz + 0 )

由已知条件,可得: 由已知条件,可得:
4 4

4 由条件,可知: 由条件,可知: 0 = 10 ,ω = 2π × 10 ,k = π E 3 4 即:E = ex 104 cos(2π ×108 t π z + 0 ) 3
4 8

π 4 1 10 = 10 cos( π × + 0 ) 0 = 6 3 8 4π π 4 8 ∴ E = ex 10 cos(2π × 10 t z+ ) 3 6
ε H= k ×E
ey
4

4π π = 10 cos(2π ×10 t z+ ) 60π 3 6
8

(3) S (t ) = E (t ) × H (t )

ez 4π π 8 2 8 z+ ) = 10 cos (2π ×10 t 60π 3 6 8 10 1 T W / m2 Sav = ∫ S (t )dt = ez 120π T 0
另解: 另解:

x 104 e E=e 4π π j z+ j ey H= 104 e 3 6 60π 8 1 10 2 W /m Sav = Re[ E × H ] = ez 2 120π

j

4π π z+ j 3 6

例3*、两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿 、两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴传播,一个波沿x方向偏振 另一个波y 方向偏振, 轴传播,一个波沿 方向偏振,另一个波 沿方向偏 求合成波的偏振。 振,但其相位比前者超前 π 2 ,求合成波的偏振。 解:设两个电磁波分别为 i( kzωt )

E1 = E0exe

E2 = E0eye
合成波为

π i kzωt + 2

E = Re{E0 (ex + iey )[cos(kz ωt) + i sin( kz ωt)]}
= E0 [cos(kz ωt)ex sin( kz ωt)ey ]

E = E1 + E2 = E0 (ex + iey )e

= iE0eyei(kzωt )

i( kzωt )

E(z = 0) = E0 (cosωtex + sin ωtey ) y
2 ωt = π, E = E0ex 3π ωt = , E = E0ey 2

ωt = 0, π ωt = ,

E = E0ex

E = E0ey

E θ
x
右旋圆偏振

同样一个右旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的 线偏振波,且沿y轴波比 轴波比x轴波相位超前 线偏振波,且沿 轴波比 轴波相位超前 π 。
2

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