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高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题


高中数学选修 2–2 知识点
第一章
一.导数概念 1.导数的定义: 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , 称它为函数 y ? f ( x) 在
?x ? 0

导数及其应用

?x

x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 ,即 f ?( x0 ) = lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 。导数的物理意义:瞬时速率。 ?x

P 时,割线 PPn 趋近于稳定的位置直线 PT , 2.导数的几何意义:通过图像可以看出当点 P n 无限趋近于
f ( xn ) ? f ( x0 ) , P 时, 我们说直线 PT 与曲线相切。 割线 PP 当点 P 函数 y ? f ( x) n 的斜率是 kn ? n 趋近于 xn ? x0

在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k,即 k ? lim f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x ) 0 ?x ?0
xn ? x0

3.导函数:当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数记作 y? , 即 f ?( x) ? lim f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x ? 0
?x

二.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 1.若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 3. 若 f ( x) ? sin x , 5. 若 f ( x) ? a ,
x

2. 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x
?

? ?1

;

则 f ?( x) ? cos x
x 则 f ?( x) ? a ln a

4 . 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ;
x x 6. 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e

7. 若 f ( x) ? loga x , 则 f ?( x ) ? 2)导数的运算法则

1 x ln a

8. 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? 1
x

1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 3. [ f ( x) ]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) 2
g ( x) [ g ( x)]

2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

3)复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) , 称 则 y 可 以 表 示 成 为 x 的 函 数 , 即 y ? f ( g ( x)) 为 一 个 复 合 函 数 ? g y? ? f ( ( x )?) ? ( x) g

三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: (1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增;如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减.
-1-

(2).已知函数的单调性求参数的取值范围: “若函数单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 ;若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 ”.注意公式中的等号不能省略,否则漏解. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是:(1)确定函数的定义域;(2)求导数 f ?( x) ; (3)求方程 f ?( x ) =0 的根; (4)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 3.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大值,最 小的是最小值. 4.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点:1、导数在切线方程中的应用.
3、导数在极值、最值中的应用.

2.导数在单调性中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用

5.定积分

(1) 定积分的定义:分割—近似代替—求和—取极限

?
(2)定积分几何意义:
b

b

a

f (x)dx= lim ? f (?i )?x i
n ?? i=1

n

① ? f (x)dx (f (x) ? 0) 表示 y=f(x)与 x 轴,x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.
a

② ? f (x)dx (f (x) ? 0) 表示 y=f(x)与 x 轴,x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.
a

b

(3)定积分的基本性质: ① ? kf (x)dx=k ? f (x)dx
a a b b

② ? [f1 (x) ? f 2 (x)]dx= ? f1 (x)dx ? ? f 2 (x)dx
a a a

b

b

b

③ ? f (x)dx= ? f (x)dx+? f (x)dx
a a c

b

c

b

-2-

(4)求定积分的方法: ①定义法:分割—近似代替—求和—取极限 ②利用定积分几何意义
’ ③微积分基本公式 ? f (x) ?F(b)-F(a),其中F ( x)=f(x) b a

第二章 推理与证明
1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) ; ? 证明(视题目要求,可有可无). 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后 提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证 明的结论成立.要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证 明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立.
-3-

6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N * ) 时命题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.

第三章
一:复数的概念

数系的扩充与复数的引入

(1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi (a ? R, b ? R ) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯虚数. (3) (4) (5) (6) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 z= a ? bi (a ? R, b ? R ) ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

2.相关公式

⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑶ z ? a ? bi ? 为共轭复数). 3.复数运算

a 2 ? b 2 ⑷ 若z ? a ? bi

则 z ? a ? bi z, z 指两复数实部相同, 虚部互为相反数 (互

⑴复数加减法: ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;

⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分母实数化) 4.常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R;(6)i 4 n ?1 ? i, i 4 n ? 2 ? ?1, i 4 n ?3 ? ?i, i 4 n ? 4 ? 1;
(7)

?1 ? i ?

2

? ?i;

(8)

1? i ? i, 1? i

1? i ? ?i, 1? i

? 1? i ? ? ? ? ?i ? 2 ?

2

(9 ) 设 ? ?

? 1 ? 3i 2 3n?1 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? ? ?, ? 3n?2 ? ? , ? 3n?3 ? 1 2
-4-

基础练习:
2 1.若 z ? cos ? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则 z ? ?1 的 ? 值可能是

? ? B. 6 4 4 ? 3i 2.复数 的实部是( ) 1+2i
A. A. ? 2 B. 2

C.

? 3

D.

? 2

C.3

D. 4

3.设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4, z· z =8,则 A. i B -i

z 等于 z
D. ±i )
C. 16 3 D. 19 3

C ±1

4. f ( x) =ax3+3x2+2 , f ?(?1) ? 4 ,则 a=(
A. 10 3
3

B.

13 3

5.曲线 y ? x 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3,则 P 点为( A.(-2,-8) 6.曲线 y ?
?

) D.( ?

B.(-1,-1)或(1,1)

C.(2,8)

1 1 ,? ) 2 8


1 3 x ? x 2 ? 5 ,过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( 3
? ?
3

A. 6

B. 4
3 2

C. 3

D. 4

?

7.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为( A. (2, ??) B. (??, 2)
3 2

) D. (0, 2) )

C. (??, 0)

8.关于函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,下列说法不正确的是( A.在区间( ? ? ,0)内, f ( x) 为增函数

B.在区间(0,2)内, f ( x) 为减函数

? (2,??) 内, f ( x) 为增函数 C.在区间(2, ? ? )内, f ( x) 为增函数 D.在区间( ? ? ,0)
? 9.已知函数 y ? xf ( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数),下面四个图象中 y ? f ( x)
的图象大致是( )

-5-

10.若 f ? x ? ? ex sin x ,则 11.曲线 y ?

f ' ? x? ?

9 2 x ? 3与 2
3

y ? 2 ? x3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 =
2

12. 函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a = 13. 函数 y ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是
3 2

,

14. 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ? (Ⅰ)当 a

1? a ? 1(a ? R). x

? ?1时,求曲线 y ? f ( x)在点(2, f (2))处的切线方程;
2

(Ⅱ)当 a≤ 1 时,讨论 f ( x ) 的单调性.

15. 设函数 f ( x) ? x e
2

x ?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2和x ? 1 为 f ( x) 的极值点。
(2)讨论 f ( x) 的单调性;

(1)求 a , b 的值;

-6-


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