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北京市2009年高三4月各地模拟试题分类汇编


北京市 2009 年高三 4 月各地模拟试题分类汇编
概率统计
一、选择题: (4) (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)从 6 名女生,4 名男生中,按性别采用分层抽样 的方法抽取 5 名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为( A ) A. C6
3 2 ? C4

B. C6

2

3 ? C4

C. C10

5

D. A6

3

2 ? A4

二、填空题: 9. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)某单位有 27 名老年人,54 名中年人, 81 名青年人. 为了调查他们的身体情况, 用分层抽样的方法从他们中抽取了 n 个人进行 体检,其中有 6 名老年人,那么 n=___36______. 三、解答题: (18)(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)(本小题共 13 分) 3 名志愿者在 10 月 1 日至 10 月 5 日期间参加社区服务工作, 若每名志愿者在这 5 天 中任选两天参加社区服务工作,且各名志愿者的选择互不影响.求 (Ⅰ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日都 参加社区服务工作的概率; . (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日至多有 1 人参加社区服务工作的概率. (18)解法 1: (I)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的事件为 A ????????????1 分

?C ? P ? A? ? ?C ?

1 3 4

2 3 5

?

8 125

????????????5 分

8 . 125 (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的事件为 B
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的概率为 ????????????6 分

?C ? P ? B? ? ?C ?

2 3 4

2 3 5

?

1 1 2 C3 C4 ? C4 ?

2

?C ?

2 3 5

?

27 54 81 ? ? ????????????13 分 125 125 125
81 . 125

这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的概率为

解法 2: (I)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的事件为 A ????????????1 分

8 ?2? P ? A? ? ? ? ? ? 5 ? 125

3

????????????5 分

1

8 . 125 (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的事件为 B
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的概率为 ????????????6 分

27 54 81 ? 3? 1 ? 2 ?? 3 ? ???????????13 分 P ? B ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ?? ? ? ?5? ? 5 ?? 5 ? 125 125 125
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的概率为 16.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)(本题满分 13 分) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A 、 B 两项技术 指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为 且仅有一项技术指标达标的概率为 格品. (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率; (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? . 16. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P 1、P 2.

3

2

81 . 125

3 ,有 4

5 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合 12

3 ? P1 ? ? ? 4 由题意得: ? , ? P (1 ? P ) ? (1 ? P ) P ? 5 2 1 2 ? 1 12 ?
解得: P2 ? ∴

2 . 3 3 2 1 ? ? . 4 3 2

??????4 分 ???6 分

一个零件经过检测为合格品的概率 P ? P1 P2 ?

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为:

1 13 5 1 5 1 ? C 54 ( ) 5 ? C 5 ( ) ? . ??????9 分 2 2 16 1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~ B(4, ) , E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 . 2 2 2 2
??????13 分 (16) (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模)(本小题满分 13 分) 在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比

2

较.在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现在可供选用的不同添加剂有 6 种, 其中芳香度为 1 的添加剂 1 种, 芳香度为 2 的添加剂 2 种, 芳香度为 3 的添加剂 3 种. 根 据试验设计原理,通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验. (Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为 3 的概率; (Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率; (理) (Ⅲ) 用 ? 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和, 写出 ? 的分布列, 并求 ? 的 数学期望 E? . (16) 解: (Ⅰ)设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为 3”为事件 A,则
1 C2 2 P( A) ? 2 ? . C6 15

答:所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为 3 的概率是

2 . 15

??4 分

(Ⅱ)设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件 B, 两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能:芳香度为 1 和 3,芳香度为 2 和 2,芳香度为 3 和 3,其中芳香度为 1 和 3 的概率为 芳香度为 2 和 2 的概率为 芳香度为 3 和 3 的概率为
1 C3 3 ? , 2 C6 15 2 C2 1 ? , 2 C6 15

C32 3 ? , 2 C6 15 3 1 3 7 ? ? ? . 所以 P( B) ? 15 15 15 15
答:所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是 (理)(Ⅲ) ? 的可能取值为 3,4,5,6,且

7 . ?????9 分 15

P(? ? 3) ? P(? ? 6) ?

1 2 1 1 1 C3 ? C2 C3 C2 6 C2 2 4 ? , P ( ? ? 4) ? ? , P ( ? ? 5) ? ? , 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

C32 3 ? . 2 C6 15

所以 ? 的分布列为

?
P

3

4

5

6

2 4 6 3 15 15 15 15 2 4 6 3 14 ? . 所以, E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? 15 15 15 15 3

??????13 分

15. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理)(本小题满分 12 分) 某个高中研究性学习小组共有 9 名学生, 其中有 3 名男生和 6 名女生. 在研究学习过程

3

中,要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报) ,每次汇报都从这 9 名学生中随机选 1 人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响. (Ⅰ)求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率; (Ⅱ)设 x 为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值,求 x 的分布列和数学期望. 15.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:记 “2 次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件 A. ---------------------1 分 由题意,得事件 A 的概率 P ( A) =

1 1 ? 9 9

1 , 81 1 . 81
-------------------5 分 --------------------------6 分

即 2 次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为 (Ⅱ)解:由题意,ξ 的可能取值为 2,0, 每次汇报时, 男生被选为代表的概率为

3 1 1 2 = , 女生被选为代表的概率为 1- = . 3 3 9 3

1 2 1 0 1 0 1 2 5 11 11 4 P(x = 2) = C0 ) + C2 ) = ; P (x = 0) = C1 ) = ; 2 ( ) (12 ( ) (1 2 ( ) (1 3 3 3 3 9 3 3 9
所以, x 的分布列为:

x
P

2

0

5 9
5 9 4 9 10 . 9

4 9
---------------------------10 分

x 的数学期望 Ex = 2?

0?

---------------------------12 分

16. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)(本小题满分 12 分) 某个高中研究性学习小组共有 9 名学生, 其中有 3 名男生和 6 名女生. 在研究学习过程 中,要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报) ,每次汇报都从这 9 名学生中随机选 1 人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响. (Ⅰ)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率; (Ⅱ)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率. 16.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:记 “2 次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件 A. ----------------------1 分 由题意,得事件 A 的概率 P ( A) =

1 1 ? 9 9

1 , 81 1 . 81
-------------------------5 分

即 2 次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为

4

(Ⅱ)解:由题意,每次汇报时,男生被选为代表的概率为 率为 1-

3 1 = ,女生被选为代表的概 9 3

1 2 = .----------------------6 分 3 3

记“男生发言次数不少于女生发言次数”为事件 B, 由题意,事件 B 包括以下两个互斥事件: 1 事件 B1:男生发言 2 次女生发言 0 次,其概率为 ○

1 2 1 0 1 P( B1 ) = C0 ) = , 2 ( ) (13 3 9
2 事件 B2:男生发言 1 次女生发言 1 次,其概率为 ○

------------------------8 分

11 11 4 P( B2 ) = C1 ) = , -------------------------10 分 2 ( ) (1 3 3 9
所以,男生发言次数不少于女生发言次数的概率为 P( B) = P( B1 ) + P( B2 ) = ---------------------------12 分 17.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)(本小题满分 13 分) 高三(1)班和高三(2)班各已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛,比赛规则是: ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少 参加一盘比赛,但不得参加两盘单打比赛; .. ③ 先胜两盘的队获胜,比赛结束.已知每盘比赛双方胜出的概率均为

5 . 9

1 . 2

(Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜 两盘的概率为多少? .. (Ⅲ)设高三(1)班代表队获胜的盘数为 ? ,求 ? 的分布列和期望. 17. (本小题满分 13 分)
2 解: (Ⅰ)参加单打的队员有 A3 种方法,参加双打的队员有 C 2 种方法.
2 1 所以,高三(1)班出场阵容共有 A3 ? C2 ? 12(种) .
1

------------------3 分

(Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜. 所以,连胜两盘的概率为

(Ⅲ) ? 的取值可能为 0,1,2.

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8

----------------------7 分

所以 ? 的分布列为

1 1 1 ? ? . 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P ?? ? 0 ? ?

?

0

1

2

5

p

1 4

1 4

1 2

∴ E? ? 0 ?

1 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? . 4 4 2 4

-------------------------------13 分

18. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)(本小题满分 13 分) 某学校进行交通安全教育,设计了如下游戏,如图,一辆车模要直行 通过十字路口,此 .. 时前方交通灯为红灯, 且该车模前面已 有 辆车模 依次在同一车道上排队等候 (该车道只可 . .4 . ... 以直行或左转行驶).已知每辆车模直行的概率是

3 2 ,左转行驶的概率是 ,该路口红绿灯 5 5

转换间隔时间均为 1 分钟.假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要 10 秒钟, 一辆左转去北向的车模驶出停车线需要 20 秒钟,求: 北 (Ⅰ)前 4 辆车模中恰有 2 辆车左转行驶的概率; (Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口) . 东 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)设前 4 辆车模中恰有 2 辆左转行驶为事件 A,则
2 216 . 2 3 2 P ? A? ? C4 ( ) ? ( )2 ? 5 5 625

----------

----------------------------------6 分 (Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口为事件 B,其中 4 辆车模均 直行通过路口为事件 B1 ,3 辆直行 1 辆左转为事件 B2 ,则事件 B1 、 B2 互斥.

2 297 4 3 4 3 3 3 P ? B ? ? P ? B1 ? B2 ? ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ? . ----13 分 5 5 5 625
16.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)(本小题 12 分) 某次演唱比赛,需要加试综合素质测试,每位参赛选手需回答三个问题,组委会为每位 选手都备有 10 道不同的题目可供选择,其中有 6 道艺术类题目,2 道文学类题目,2 道 体育类题目。测试时,每位选手从给定的 10 道题中不放回地随机抽取三次,每次抽取一 道题,回答完该题后,再抽取下一道题目作答. (I)求某选手在三次抽取中,只有第一次抽到的是艺术类题目的概率; (II)求某选手抽到体育类题目数 ? 的分布列和数学期望 E? . 16. (本小题 12 分) 解: (1)从 10 道不同的题目中不放回的随机抽取三次,每次只抽取 1 道题,抽法总数
1 1 1 1 1 1 为 C10 C9 C8 ,只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为 C6 C4C3
1 1 1 C6 C4C3 1 ? …………………………………………………………………(4 分) 1 1 1 C10C9C8 10

?P ?

(2)抽到体育类题目数的可能取值为 0,1,2 则 P(? ? 0) ?
1 1 1 C8 C7C6 7 ? 1 1 1 C10C9C8 15

6

P(? ? 1) ?

1 1 1 1 C3 C2C8C7 7 ? 1 1 1 C10C9C8 15 1 1 1 C8 C3C2 1 ? ……………………………………………………………(8 分) 1 1 1 C10C9C8 15

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:……………………………………………………………………(10 分)

?
P

0

1

2

7 7 1 15 15 15 7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? …………………………………………(12 分) 从而有 E? ? 0 ? 15 15 15 5
16.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)(本小题 12 分) 某次演唱比赛,需要加试综合素质测试,每位参赛选手需回答三个问题,组委会为每位 选手都备有 10 道不同的题目可供选择,其中有 6 道艺术类题目,2 道文学类题目,2 道 体育类题目。测试时,每位选手从给定的 10 道题中不放回地随机抽取三次,每次抽取一 道题,回答完该题后,再抽取下一道题目作答. (I)求某选手在三次抽取中,只有第一次抽到的是艺术类题目的概率; (II)求某选手抽到 2 道体育类题目的概率. 16. (本小题 12 分) 解: (1)从 10 道不同的题目中不放回的随机抽取三次,每次只抽取 1 道题,抽法总数
1 1 1 1 1 1 为 C10 C9 C8 ,只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为 C6 C4C3
1 1 1 C6 C4C3 1 ? …………………………………………………………………(4 分) 1 1 1 C10C9C8 10

?P ?

(2)抽到体育类题目数的可能取值为 0,1,2
1 1 1 C8 CC 7 则 P(? ? 0) ? 1 71 61 ? C10C9C8 15 1 1 1 1 C3 C2C8C7 7 ? 1 1 1 C10C9C8 15 1 1 1 C8 C3C2 1 ? ……………………………………………………………(8 分) 1 1 1 C10C9C8 15

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:……………………………………………………………………(10 分)

?
P

0

1

2

7 15

7 15

1 15

7

从而有 E? ? 0 ?

7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? …………………………………………(12 分) 15 15 15 5

得 分

评卷人

18. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)(本小题共 13 分)

某校高二年级开设《几何证明选讲》及《坐标系与参数方程》两个模块的选修科目。每 名学生可以选择参加一门选修,参加两门选修或不参加选修。已知有 60%的学生参加过《几 何证明选讲》的选修,有 75%的学生参加过《坐标系与参数方程》的选修,假设每个人对选 修科目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响。 (Ⅰ)任选一名学生,求该生参加过模块选修的概率; (Ⅱ)任选 3 名学生,记 ? 为 3 人中参加过模块选修的人数,求 ? 的分布列和期望。 解:(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件 A, 参加过《坐标系与参数方程》的选修为事件 B, 该生参加过模块选修的概率为 P, 则 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? (1 ? 0.6)(1 ? 0.75) ? 0.9 则 该生参加过模块选修的概率为 0.9 ????6 分

(另: P ? P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.6 ? 0.75 ? 0.9 ) (Ⅱ) ? 可能取值 0,1,2,3
1 P(? ? 0) ? (1 ? 0.9) 3 =0.001, P(? ? 1) ? C3 (1 ? 0.9) 2 ? 0.9 =0.027 2 P(? ? 2) ? C3 (1 ? 0.9) ? 0.9 2 =0.243,

P(? ? 3) ? 0.9 3 =0.729

????10 分

? ? 的分布列为
?

? E? ? nP ? 3 ? 0.9 ? 2.7
18. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测文)(本小题共 13 分)

P

0 0.001

1 0.027

2 0.243

3 0.729 ????13 分

某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选 修一个模块,

2 1 的学生选修过《几何证明选讲》 , 的学生选修过《数学史》 ,假设各人的 3 4

选择相互之间没有影响。 (Ⅰ)任选 1 名学生,求该生没有选修过任何一个模块的概率; (Ⅱ)任选 4 名学生,求至少有 3 人选修过《几何证明选讲》的概率。 解:(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件 A,

8

参加过《数学史》的选修为事件 B, 该生没有选修过任何一个模块的概率为 P, 则 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? (

2 1 1 ? )? 3 4 12
1 12
????6

所以 该生没有选修过任何一个模块的概率为 分

(Ⅱ)至少有 3 人选修过《几何证明选讲》的概率为

16 3 2 3 1 4 2 4 W ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? 3 3 3 27
所以至少有 3 人选修过《几何证明选讲》的概率为 分

16 27

????13

9


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