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2013年北京市高考数学模拟试卷(六)


2013 年北京市高考数学模拟试卷(六)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则其共轭复数 z = 2. “m<1”是“函数 f(x)=x +2x+m 有零点”的 不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一). 、 、 → → 3.在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB·BC= 1,则 BC= . . .
2



条件(填“充分不必要”“必要 、

4.一种有奖活动,规 则如下:参加者同时掷两个正方体骰子一次, 如果向上的两个面上的 数字相同, 则可获得奖励, 其余情况不奖励. 那么, 一个参加者获奖的概率为 5.为了在下面的程序运行之后得到输出 y ? 25 ,则键盘输入 x 的值应该为 Read x If x<0 Then y=(x+1)(x+1) Else y=(x-1)(x-1) End If Print y End
2 2

y
P2

? 3

P1

O (第 6 题图)

x

6.如图,直线与圆 x ? y ? 1 分别在第一和第二象限内交于 P , P2 两点,若点 P1 的横坐标为 1

? 3 ,∠ P OP2 = ,则点 P2 的横坐标为 1 5 3



?x≤1, ? 7.已知不等式组?x+y+2≥0, 表示的平面区域为Ω ,其中 k≥0,则当Ω 的面积取得最小 ?kx-y≥0. ?
值时的 k 的值为 8. 若关于 x 的方程 2
-| x|

. -x +a=0 有两个不相等的实数解, 则实数 a 的取值范围是
2



9.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2? :1,该长 方体的最大体积是___ _____. 10.直线 x ? ?m(0 ? m ? 2) 和 y ? kx 把圆 x 2 ? y 2 ? 4 分成四个部分,则 (k 2 ? 1)m2 的最小 值为 . 11.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c ,离心率为 e ,若点(-1,0)和(1,0)到直 a2 b2

x y 4 ? ? 1 的距离之和为 S ≥ c ,则 e 的取值范围是 . 5 a b x ? [0,1] ? 1 12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( x)] ? 1 成立的整数 x 的取值的 x ? 3 x ? [0,1] ?
线 集合为 . 13.定义在[2,4]上的函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ln x 的值域为 2




14.在如右图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j,且满足 a1,j=2j 1,ai,1=i, ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j(i,j∈N*);又记第 3 行的数 3,5,8,13,22,39,?. 则第 3 行第 n 个数为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,四个侧面都是等 边三角形,AC 与 BD 交于点 O,E 为侧棱 SC 上的一点. (1)求证:平面 BDE⊥平面 SAC; (2)若 SA//平面 BDE ,求 SE : EC 的值。

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

? ? 16.(本小题满分 14 分)已知向量 m = ? 1 , 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? 与 n =(1,y)共线,且有函 ?2 2 ? 2 ? ? 数 y ? f (x) . (1)求函数 y ? f (x) 的周期及单调增区间;
(2)若锐角△ABC,三内角分别为 A,B,C, f ( A ? 求 AC 的长.

?
3

) ? 3 ,边 BC= 7 , cos B ?

28 , 7

17.(本小题满分 14 分)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一 段.已知跳水板 AB 长为 2m,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m.为安全和空中姿态优美, 训练时跳水曲线应在离起跳点 A 处水平距 hm(h≥1)时达到距水面最大高度 4m.规定: 以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立 直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2) 若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果, 求此时 h 的取值范围.
2+h 2

B
3
[来源:Zxxk.Com]

A

C
5 6

E ·

F ·

D

x2 y2 3 18.(本小题满分 16 分)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其长轴长与短轴 长的和等于 6. (1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的 任意一点, 直线 PA1、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点 为 T.证明:线段 OT 的长为定值.

[来源:学科网]

1 1 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=(a+a)lnx+x -x(a>1) . (1)讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当 a≥3 时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线 y=f(x) 6 在点 P,Q 处的切线互相平行,求证:x1+x2>5.

[来源:学科网 ZXXK]

20.(本小题满分 16 分)设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有
*

(kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k 、 b 、 p 是常数).
(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (3) 若数列 ?an ? 中任意 (不 同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是“封闭数列”. 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是 否存在这样的“封闭数列”

?an ? , 使 得 对 任

* 意 n ? N , 都 有 Sn ? 0 , 且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值;若 1 2 S1 S2 S3 S 18 n
不存在,说明理由.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答. ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,A、B 是⊙O 上的两点,∠AOB=120° ,点 D 为劣弧 AB 的中点. (1)求证:四边形 AOBD 是菱形; (2)延长线段 BO 至点 P,交⊙O 于另一点 C,且 BP=3OB,求证:AP 是⊙O 的切线.

B. (选修4-2:矩阵与变换)在军事密码学中,发送密码时,先将英文字母数学化,对应 如下表: a 1 b 2 c 3 d 4 ? ? z 26

如果已发现发送方传出的密码矩阵为 ? 发送的密码.

?1 2? ?14 41 ? ? ,双方约定可逆矩阵为 ?3 4? ,试破解 ? ? ?32 101?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)如图,边长为 2 的正六边形 ABCDEO,以 OC 为极轴建 立极坐标系,求 CD 边所在直线的极坐标方程. O A B E D C x

[来源:学科网]

D. (选修4-5:不等式选讲)已知 a,b,c∈(0,+∞) ,且 ≥18.

1 2 3 ? ? ? 2 ,求证:a+2b+3c a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC, AB=2CD=2BC,EA⊥EB . (1)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC// 平面 FBD?若存在,求出 由.
E

EF ;若不存在,说明理 EA

B C D

A

23.设二项展开式 C n ?

?

3 ?1

?

2 n ?1

(n∈N*)的小数 部分为 Bn .

(1)计算 C1 B1 , C2 B2 的值; (2)求证: Cn Bn ? 22n?1 .


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