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上海市格致中学2013届高三下学期仿真考试数学理试题


格致中学

二〇一二学年度第二学期高考仿真(理答案) 数学(理科)试卷(共 4 页)

(测试 120 分钟内完成,总分 150 分,试后交答题卷)
一、填空题: (每小题 4 分,满分 56 分)

班级____________姓名________________学号____________准考证号______________

1、已知复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2 ( i 是虚数单位) ,则 | z |? ___; 2 2、不等式

x ?1 1 ? 0 的解为___; ? ? x ? 1 (用集合或区间表示也可以) 2x ?1 2

3、若全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?3 ? x ? 1} , A ? B ? {x | ?3 ? x ? 2} ,则 B ? ? U A ? _;

(1, 2]
4、若二项式 ( x ? ) 展开式的常数项为 20 ,则 a ? ____; 1
6

a x

5、将圆锥的侧面展开后得到一个半径为 2 的半圆,则此圆锥的体积为___;

3 ? 3

6、某学院的 A 、 B 、 C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况, 拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。 已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取____名学生; 40 7、已知函数 f ( x) ? a
x ?1

? 2(a ? 0 且 a ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) 。若 y ? f ?1 ( x) 在 [0,1] 上

的最大值和最小值互为相反数,则 a 的值为_____; 6 8、 数列 {an } 满足: 对于任意的 m, n ? N * ,am?n ? am ? an 。 a1 ? 若 9、若函数 f ( x) ? 2 sin(

?
6

x?

?
3

1 2013 , a2013 ? _; 则 2 2

)( ?2 ? x ? 10) 的图像与 x 轴交于点 A ,过点 A 的直线 l 与

函数的图像交于另外两点 B 、 C 。 O 是坐标原点,则 (OB ? OC) ? OA ? ___________; 32 10、袋中装有同样大小的 10 个小球,其中有 8 个白球, 2 个红球。从中任取 2 个球,取到 白球得 1 分,取到红球得 5 分。记随机变量 ? 为一次取得的两球的分数之和,则 E? ?

??? ??? ??? ? ? ?

18 5

11、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上存在四个不同的点 A 、 B 、 C 、 D ,使四边形 a 2 b2
b 的取值范围为_______; (1, ??) a

ABCD 为菱形,则

12、在极坐标系中, O 是极点,点 M 的极坐标为 ( ? ,? )( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,则称 ? 为向 量 OM 的方向角,方向相同的两平行向量的方向角相同。已知 P (2 3, 第 1 页 共 7 页

???? ?

?
2

) 、 Q ( 3,

5? ), 6

则向量 PQ 的方向角等于________;

??? ?

4? 3

13、定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 对于任意的 x ? R 有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ? x2 ? 6x ? 9 。若函数 y ? f ( x) ? loga x 在 (0, ??) 上只有四个零点,则实数 a 的值
为______;

1 4
?

14、某公园草坪上有一扇形小径(如图) ,扇形半径为 40m ,中心角为 120 。甲由扇形中 心 O 出发沿 OA 以每秒 2 米的速度向 A 快走, 同时乙从 A 出发,

4? 沿扇形弧以每秒 米的速度向 B 慢跑。记 t (0 ? t ? 20) 秒时 3
甲、乙两人所在位置分别为 N 、 M , | MN |? f (t ) ,通过计算

B M

O

N

A

f (5) 、 f (10) 、 f (15) 判断下列说法是否正确。
(1)当 MN ? OA 时,函数 f (t ) 取最小值; (2)函数 y ? f (t ) 在区间 [10,15] 上是增函数; (3)若 f (t0 ) 最小,则 t0 ?[0,10] ; (4) g (t ) ? f (t ) ? 40 在 [0, 20] 上至少有两个零点。 其中正确的判断序号是_____(把你认为正确的判断序号都填上)(2)(3)(4) 。 、 、 。 二、选择题: (每小题 5 分,满分 20 分)
2 15、 p ? 2 ”是“关于 x 的实系数方程 x ? px ? 1 ? 0 没有实数根”的 “

(A)

A、必要不充分条件; C、充分必要条件;

B、充分不必要条件; D、既不充分又不必要条件。 (C)

16、设 ? 是平面, l , m, n 是三条不同的直线,则下列命题中正确的是 A、若 m 苘 , n ?

? , l ? m, l ? n, 则l ? ? ;

B、若 m ? ? , n ? ? , l ? n, 则l // m ; D、若 l ? m, l ? n, 则n // m 。

C、若 l // m, m ? ? , n ? ? ,则 l // n ; 17、设 F 、 F2 分别是椭圆 E : x ? 1
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交 b2
(C)

于 A 、 B 两点,且 | AF2 | 、 | AB | 、 | BF2 | 成等差数列,则 | AB | 的长为 A、

5 。 3 x 18、 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 1 的周期函数,当 x ? [0,1) 时, f ( x ) ? 。直线 y ? x 1? x
B、 1 ; C、 D、 与函数 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边交点的横坐标从小到大组成数列 {an } 。则 (A)

2 ; 3

4 ; 3

第 2 页 共 7 页

A、 an?1 ? an ? 1 对于 n ? N 恒成立;
*

B、 an?1 ? an ? 1 对于 n ? N 恒成立;
*

C、 an?1 ? an ? 1 对于 n ? N 恒成立;
*

D、 an?1 ? an 与 1 的大小关系不确定。

三、解答题: (共 5 大题,满分 74 分,解题要有必要的步骤) 19、 (本题满分 12 分,第(1)题 6 分,第(2)题 6 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin x cos x ?
2

3 ( x ? R) 。 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T 与单调递增区间; (2)在△ ABC 中,若 f ( A) ? f ( B ) ?

1 ,求角 C 的值。 2
2分 3分

解: (1) f ( x) ? 所以周期 T ? ?

3 1 3 ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 3

? 5? ? , 2k? ? ] ,得 x ? [k? ? , k? ? ] 12 12 3 2 2 ? 5? ](k ? Z ) 。 即函数 f ( x ) 单调递增区间为 [k? ? , k? ? 12 12
由 2x ?

?

? [2k? ?

?

6分

(2) A 、 B 为三角形内角,所以 A 、 B ? (0, ? ) ,由 f ( x) ?

7? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? x ? 或 x ? , 12 3 2 4
又 A ? B ? ? ,所以 A ? B ? 所以 C ?

1 且 x ? (0, ? ) 得: 2
8分

?

?
2

或C ?

?
6

4

或A?

?
4

,B ?

7? 7? ? ,B ? 或A? 12 12 4

10 分 12 分



20、 (本题满分 14 分,第(1)题 7 分,第(2)题 7 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
2

1 ( a, b ? R ) 。 x?b

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 b ? 0 时, f ( x ) ?

1 1 a ? 2 在 (0, ] 上恒成立,求 a 的取值范围。 2 4

解: (1)函数 f ( x ) 定义域 (??, ?b) ? (?b, ??) ,当 b ? 0 时,函数定义域不关于原点对称, 所以函数 f ( x ) 是非奇非偶函数; 当 b ? 0 时, f ( x) ? ax ?
2

2分 4分

1 1 , a ? 0 时, f ( x) ? 是奇函数, x x

a ? 0 时, f (1) ? a ? 1, f (?1) ? a ? 1 , f (1) ? f (?1) ? 2a ? 0 ? f (?1) ? ? f (?1)
第 3 页 共 7 页

f ( x) 不是奇函数; f (1) ? f (?1) ? 2 ? f (?1) ? f (1) , f ( x) 不是偶函数。
综上知:当 a ? 0 或 b ? 0 时, f ( x ) 是非奇非偶函数; 当 a ? b ? 0 时, f ( x ) 是奇函数。

6分

7分

1 1 a 1 2 , ax ? ? ? 2 在 x ? (0, ] 上恒成立。 x x 4 2 1 2( x ? ) 1 1 1 1 1 2 即: a( x ? )( x ? ) ? 2 ? ? a( x ? )( x ? ) ? 2 2 x 2 2 x 1 1 1 1 2 由 x ? ? 0, x ? ? ,则 a ? 在 x ? (0, ] 上恒成立。 1 2 2 2 2 x( x ? ) 2 1 1 1 2 当 x ? (0, ] 时, x ( x ? ) ? ,所以 ? 4, 1 2 2 2 x( x ? ) 2 即a ? 4。
(2) b ? 0 时, f ( x) ? ax ?
2

9分 11 分

13 分

14 分

21、 (本题满分 14 分,第(1)题 7 分,第(2)题 7 分) 如图: ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体, P 为面对角线 AD1 上的动点(不包括 端点) PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M , MN ? BD 于 N 。 , (1)设 AP ? x ,将 PN 长表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求此函数的值域; (2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 AC1 所成角的大小。 1 解: (1)由题知: PM ? MN ,则△ PMN 是直角三 角形。 D1 A1 C1 B1

AP ? x ? PM ? AM ?

2 x 2

MD ? 2 ?

2 1 x ? MN ? 2 ? x 2 2
A

P

D N B

C

3 2 PN ? PM 2 ? MN 2 ? x ? 2x ? 2 4
即 f ( x) ?

M

3 2 x ? 2 x ? 2 (0 ? x ? 2 2) 4
2 3 3 2 3 2 2 2 3 , 2) 。 x ? 2x ? 2 ? (x ? ) ? ,所以 f ( x) ? [ 3 4 4 3 4
第 4 页 共 7 页

5分

f ( x) ?

7分

(2)当 x ?

2 2 2 3 时, PN min ? 3 3

因为 AC1 / / AC , AC ? BD ,则 AC / / MN 。即有 AC1 / / MN ,所以 ?PNM 即为异面 1 1 直线 PN 与 AC1 所成的角。 1 在 直 角 三 角 形 AMN 中 PM ? 10 分

2 2 2 3 3 , sin ?PNM ? ,则 AP ? , PN ? 2 3 3 3
14 分

3 3 。 ?P N M? a r c s i n 。所以直线 PN 与 AC1 所成的角为 arcsin 1 3 3
22、 (本题满分 16 分,第(1)题 4 分,第(2)题①6 分,②6 分) 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 为圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的圆心。 (1)求抛物线的方程与其准线方程; (2)直线 l 与圆 C 相切,交抛物线于 A 、 B 两点: ①若线段 AB 中点的纵坐标为 4 3 ,求直线 l 的方程; ②求 FA ? FB 的取值范围。

??? ??? ? ?
2

解(1)由 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 得: ( x ? 2) ? y ? 1,圆心 C (2, 0) ,即 F (2,0) 。所以抛物
2 2 2

线方程为 y ? 8x
2

3分 4分

准线方程为 x ? ?2 。 (2)①设 l : x ? my ? t ,由 l 与圆 C 相切得

| 2?t | 1 ? m2

?1

(*)

6分

再由 ?

? x ? my ? t ? y ? 8x
2

得 y 2 ? 8my ? 8t ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 8m, y1 y2 ? ?8t 由题意:

8分

y1 ? y2 ? 4 3 ,得 m ? 3 代入(*)得: t ? 0 或 t ? 4 2
10 分

所以直线 l 方程为: x ? 3 y ? 0 或 x ? 3 y ? 4 ? 0 。 ② F (2, 0) , FA ? ( x1 ? 2, y1 ), FB ? ( x2 ? 2, y2 ) , FA ? FB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 4 ?

( y1 y2 )2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 4t ? y1 y2 ? 4 64
第 5 页 共 7 页

将 y1 ? y2 ? 8m, y1 y2 ? ?8t 代入化简得: FA ? FB ? t ? 12t ? 4 ? 16m
2

??? ??? ? ?

2

13 分 14 分 15 分

由(*)得 m ? t ? 4t ? 3 ,所以 FA ? FB ? ?15t ? 52t ? 44
2 2

??? ??? ? ?

2

2 2 由于 m ? t ? 4t ? 3 ? 0 ,所以 t ? 1 或 t ? 3 。

令 f (t ) ? ?15t 2 ? 52t ? 44 ,知 f (t ) 在 (??,1] 上递增,在 [3, ?? ) 上递减。 f (1) ? ?7 ,

??? ??? ? ? f (3) ? ?13 ,所以 FA ? FB 取值范围为 (??, ?7] 。
23、 (本题满分 18 分,第(1)题 4 分,第(2)题 7 分,第(3)题 7 分) 若数列 {an } 的每一项都不等于零,且对于任意的 n ? N ,都有
*

16 分

an ? 2 , ? q ( q 为常数) an

则称数列 {an } 为“类等比数列” 。 已知数列 {bn } 满足: b1 ? b(b ? R, b ? 0) ,对于任意的 n ? N ,都有 bn ? bn?1 ? 2n?1 。
*

(1)求证:数列 {bn } 是“类等比数列” ; (2)若 {bn } 是单调递增数列,求实数 b 的取值范围; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试探讨 lim

n ??

Sn 是否存在,说明理由。 bn ? bn ?1 bn? 2 bn?1bn? 2 ? ? 2 ,所以数列 {bn } 是 bn bnbn?1
4分 5分

解: (1)因为 bn ? bn?1 ? 2n?1 ,所以 bn?1 ? bn?2 ? 2n?2 , “类等比数列” 。

4 (2) b1 ? b, b1b2 ? 4 ,所以 b2 ? b
当 n 为奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bn ? b2k ?1 ? b ? 2k ?1 ,
* * 当 n 是偶数时,设 n ? 2k (k ? N ) ,则 bn ? b2 k ?

4 k ?1 2k ?1 ?2 ? 。 b b

7分 8分

因为 {bn } 递增,所以 b2k ?1 ? b2k ? b2k ?1 ? b2k ?2 即: b ? 2
k ?1

2k ?1 2k ? 2 4 8 k ? ? b?2 ? ? b ? ? 2b ? ,解得: 2 ? b ? 2 。 b b b b

11 分

第 6 页 共 7 页

n ?1 ? b ? 2 2 n ? 2k ? 1 ? (3)由(2)知 bn ? ? (k ? N * ) 。 1 n ?1 ? ? 22 n ? 2k ?b

当 n 为偶数时, Sn ? S 2 k ? (b1 ? b3 ? ? ? b2 k ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 k ) ? (b ? )(2 ? 1)
k

4 b

当 n 为奇数时, S n ? S 2 k ?1 ? S 2 k ? b2 k ? b ? (2 ? 1) ?
k

4 k ?1 (2 ? 1) 。 b

? 4 n (b ? )(2 2 ? 1) n ? 2k ? ? b 即: Sn ? ? (k ? N * ) 。 n ?1 n ?1 ?b(2 2 ? 1) ? 4 (2 2 ? 1) n ? 2k ? 1 ? b ?
4 n 4 (b ? )(2 2 ? 1) b ? 2 b b ? b ?4, ? lim ? n n 2 n ?? 1 2 ?1 2 2 ?b b ?2 ?2 ?b?2 b b
n ?1 2

14 分

当 n 为偶数时, lim

n ??

Sn bn ? bn ?1

15 分

当 n 为奇数时, lim

Sn n ?? b ? b n n ?1

? 4 n2 1 2 2 b(2 ? 1) ? (2 ? 1) 2b ? 2 b b ? 2b ? 4 。 ? lim ? n ?1 n ?1 n ?? ?1 b2 ? 4 1 2 2 2 b?2 2 ? ?2 2 b? b 2 b

16 分
3 Sn b2 ? 4 2b2 ? 4 2 ? 若 lim 存在,则 2 ,得 b ? 2 2 ,所以 b ? ?2 4 。 n ?? b ? b b ? 2 b2 ? 4 n n ?1 3

17 分

综上知,当且仅当 b ? ?2 4 时 lim

n ??

Sn Sn 存在,此时 lim ? 2。 n ?? b ? b bn ? bn ?1 n n ?1

18 分

第 7 页 共 7 页


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