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湛江一中2011-2012学年高二上学期期末考试(文数)


湛江一中 2011-2012 学年高二上学期期末考试 (数学文)
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.抛物线 y ? ? x 的焦点坐标为(
2



1 A. (0, 4 ) ?

1 1 1 ? B. (0, 4 ) C. ( 4 ,0) D. 4 ,0) (


f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( 2.设 f ( x) ? x ln x ,若
ln 2 C. 2

A. e

2

B. e
3

D. ln 2 )

3.曲线 y ? x ? 1 在 x ? 1 处的切线方程为( A. x ? 1 B. y ? 1 C. y ? 3x ? 3

D. y ? 2 x ? 2

? 4.已知命题甲: ?x ? (??, ??), f ( x) ? 0 ,命题乙:函数 f (x) 在 (??, ??) 上是减函数,
则甲是乙的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
x

D.既非充分也非必要条件

5.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是( A.

) D.

? ??,2?

B. (0,3)

C. (1,4)

? 2,???


6.已知椭圆的焦点为 (?1, 0)和(1, 0),点P (2, 0) 在椭圆上,则椭圆的方程为(

A.

x2 y2 ? ?1 4 3
3

B.

x2 ? y2 ?1 4

C.

y2 x2 ? ?1 4 3

D.

y2 ? x2 ? 1 4
) .

7.函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 在区间 [1, ??) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. [3, ??) B. [?3, ??) C. (?3, ??) D. (??, ?3)

x2 y2 ? ?1 8.椭圆 a ? 3 5 ? a 上的一个焦点坐标为(1,0) ,则 a 点值为(
9 B. 2 7 D. 2
1

)

A.5

C. 4

9. 已知直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8x 交于不同两点 A, B ,若线段 AB 中点的纵坐标为
2

2 ,则 k 等于(



A. ? 1.

B. 2或 ? 1.

C. 2.

D.

1 . 2

10. 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,若 f ( x) ?1 在区间 (1, ??) 内恒成立,则实数 a 的取值范围 是 ( ).

A. (??,1).

B. (??,1];

C. (1,??);

D. [1,??)

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.

1 f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 4 3 11.函数 在 x ? [0,3] 上的最小值是
2 2

.

12.与双曲线 x ? 4 y ? 4 有共同的渐近线,且过点(2, 5 ) 的双曲线的标准方程为__

13. 已知函数

f ?x ? ? x ?

a ? b? x ? 0 ? x ,其中 a, b ? R .在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为
,b= .

y ? 3x ? 1 ,则函数 a=

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 b 14.已知双曲线 a 与抛物线 y ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲
线的一个交点为 P ,若

PF ? 5

,则双曲线的离心率为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. (本小题满分 12 分)
2 已 知 p : 关 于 x 的 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 根 ; q : 关 于 x 的 方 程

4 x2 ? 4 ( ? 2 x ? m )

1无实根。若 " p ? q " 为真, " p ? q " 为假,求 m 的取值范围 ? 0

2

16. (本小题满分 12 分)

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 已知椭圆 C: a ,它的离心率为 3 .直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心,
以 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. 求椭圆 C 的方程.

17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a、b 的值;

3] (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围。
2

18. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,N 为圆 C: ( x ? 1) ? y ? 16 上的一动点,点 D(1,0) ,点 M 是 DN 的
2 2

中点,点 P 在线段 CN 上,且 MP ? DN ? 0 . (Ⅰ)求动点 P 表示的曲线 E 的方程; (Ⅱ)若曲线 E 与 x 轴的交点为 A, B ,当动点 P 与 A,B 不重合时,设直线 PA 与 PB 的斜 率分别为

???? ????

k1 , k2 ,证明: k1 ?k2 为定值;

19(本题满分 14 分) 已知动圆过定点 P(1,0)且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上. (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (Ⅱ)设过点 P 且斜率为 ? 3 的直线与曲线交于 A、B 两点.问直线 l : x ? ?1 上是否存在点 C ,使得 ?ABC 是以 ?ACB 为直角的直角三角形?如果存在,求出点 C 的坐标;若不能,请 说明理由.

3

4

高二级(文科)数学科试卷(参考)答案
选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.-8 , 9 14. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

4 ? 3 11.

y 2 x2 ? ?1 12. 4 16

16.解:(1)? 直线 l : y ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 与以原点 O 为圆心, b 为半径的圆相切

?b ?

0?0?2 12 ? ( ?1) 2

2
。 ????????4 分

c 3 ? ? 3 a 又? 椭圆的离心率为 3 ,
又 b ? a ? c ? 2 ????????8 分
2 2 2

解得 a ? 3 ????????10 分

x2 y 2 ? ?1 2 故椭圆 C 的方程为 3 。 ????????12 分

5

? 17 解: (1) f ( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

????????1 分

? f ' (1) ? 0 ?a ? ?3 ?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?? ? ? f ' (2) ? 0 ,即 ?24 ? 12a ? 3b ? 0. ?b ? 4 依题意,得 ?
经检验, a ? ?3 , b ? 4 符合题意. (2)由(1)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,
3 2

??????4 分 ??????5 分

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .

??????7 分
0[ 来 源:Z|xx|k.Com] (1,2)[ 来 源 : 学§科 §网] 3 2 (2,3)

x

(0,1)

1

f '( x) f ( x)
所以,当

?
递增

0 [来源: ]
极 大 值 5+8c

?
递减

0
极 小 值

?
递增 9+8c

x ??0, 3?

时, f ( x ) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . ????????11 分 ,有 f ( x) ? c 恒成立,所以
2

因为对于任意的

x ??0, 3?

9 ? 8c ? c 2 , ????13 分

? ? 因此 c 的取值范围为 (??, 1) ? (9, ?) .

??????????14 分

(Ⅱ)证明:
2 2 ? x2 ? 2 x0 y0 y0 ? 3 ?1 ? 0 ? ? ?1 4? P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) ,则 4 3 ? 易知 A(-2,0) ,B(2,0). 设 ,即 ,

6

k1 ?


y0 y0 k2 ? x0 ? 2 , x0 ? 2 ,

----------------------10 分

? x2 ? 3 ?1 ? 0 ? ? 3 ( x 2 ? 4) 2 0 4? y0 3 k1 ? k2 ? 2 ? ?2 ? 42 ?? x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 4 4, 即
1 k ?k ∴ 1 2 为定值 9 . ?

-----------------------------------14 分

19.解: ①据已知, 动圆圆心 M 到 P 点的距离与 M 到直线 x ? ?1 的距离相等 | MP |?| MN | 。 由抛物线的定义,可知 p ? 2 。? 动圆圆心 M 的轨迹方程为抛物线: y ? 4 x 。…….5 分
2

m??
求得

2 3 2 3 C (?1,? ) 3 ,所以,直线 l : x ? ?1 上存在点 3 ,使得 ?ABC 是以 ?ACB
………14 分

为直角的直角三角形。 法二:设 D 为 AB 中点,过 D 作 DC 垂直于 l 于 C. ∵P 为抛物线焦点 ∴

AA ? AP , BB1 ? BP 1

1 1 ,又∵D 为 AB 中点, AA // CD ,∴CD 为梯形 AA B1 B 的中位线.

7

CD ?


1 ? AA1 ? BB1 ? ? 1 AB ? 2 2 ,∴∠ ACB ? 90

2 3 ?2 3 2 2 3 3 m? ?? 3 C (?1,? ) C (?1, m) , 2 3 3 设 .所以,直线 l : x ? ?1 上存在点 ,
使得 ?ABC 是以 ?ACB 为直角的直角三角形。 ………..14 分

? ? 20.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2ax ? b ,由图可知, f ( x) ? 2 x ? 1 ,


-------------------2

? 2a ? 2 ?a ? 1 ? ? b ? 1 ,得 ?b ? 1 ,故所求函数解析式为 f ( x) ? x 2 ? x ? c . --------------4 分 ∴?
g ( x) ?
(Ⅱ)

f ( x) x 2 ? x ? c c ? ? x ? ?1 x x x ,

g ?( x) ? 1 ?


c x 2 ? c ( x ? c )( x ? c ) ? 2 ? x2 x x2 .------6 分

? 法一:①若 c ? 1 ,即 0 ? c ? 1 时, g ( x) ? 0 ,
g ( x) max ? g (2) ? 1 c?3 2 . -----------------8 分

∴ g ( x) 在 [1, 2] 上是增函数,故

? ? ②若 1 ? c ? 2 ,即 1 ? c ? 4 ,当 1 ? x ? c 时, g ( x) ? 0 ;当 c ? x ? 2 时, g ( x) ? 0 ;
∵ g (1) ? c ? 2 ,

g (2) ?

1 c?3 2 , g ( x) max ? g (2) ? 1 c?3 2 ;

∴当 1 ? c ? 2 时, g (1) ? g (2) , 当 2 ? c ? 4 时, g (1) ? g (2) ,

g ( x)max ? g (1) ? c ? 2 . ---------------10 分

? ③若 c ? 2 ,即 c ? 4 时, g ( x) ? 0 ,
∴ g ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,故

g ( x)max ? g (1) ? c ? 2 .

---------------12 分

综上所述,当 0 ? c ? 2 时,

g ( x) max ?

1 c?3 g ( x)max ? c ? 2 . ----14 分 2 ;当 c ? 2 时,

8

? 法二:? 当 0 ? x ? c 时, g ( x) ? 0 ;当 x ?
∴当 x ? 1 或 x ? 2 时, g (x) 取得最大值,

c 时, g ?( x) ? 0 ;

---------8 分

其中 g (1) ? c ? 2 ,

g ( 2) ?

c ?3 2 , c ?3 g ( x) max ? g (1) ? c ? 2 . 2 ;当 c ? 2 时,

当 0 ? c ? 2 时,

g ( x) max ? g (2) ?

---- ---- ---- -- -- ------ ---- ---- ---- -- -- -- --14 分

9



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