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椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计 全国高中青年数学教师参赛优秀教案

椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计 一、教材及学情分析 本节课是《全日制普通高级中学教科书(必修) ·数学》 (人民教育出版社中学数学室编 著)第二册(上)第八章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。 用一个平面去截一个对顶的圆锥,当平面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口 曲线,它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线,我们将这些曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线 的发现与研究始于古希腊,当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线, 它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17 世纪初期,笛卡尔发明了坐标系,人们开始 在坐标系的基础上,用代数方法研究圆锥曲线。在这一章中,我们将继续用坐标法探究圆锥 曲线的几何特征,建立它们的方程,通过方程研究它们的简单性质,并用坐标法解决一些与 圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题,进一步感受数形结合的基本思想。 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、 代数与几何等最基本对象之间 的联系。 在第七章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中 研究了直线和圆这两个基本的几何图形,在第八章,教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何 利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质 的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固,因此“椭圆及其标准方程”起到了 承上启下的重要作用。 本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如:数形结合思想、化归思想等。因此,教 学时应重视体现数学的思想方法及价值。 根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用动态作图优势为学生 的数学探究与数学思维提供支持。 二、教学目标分析 按照教学大纲的要求,根据教材分析和学情分析,确定如下教学目标: 1.知识与技能目标: ①理解椭圆的定义。 ②掌握椭圆的标准方程,在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。 2.过程与方法目标: ①经历椭圆概念的产生过程,学习从具体实例中提炼数学概念的方法,由形象到抽象, 从具体到一般,掌握数学概念的数学本质,提高学生的归纳概括能力。 ②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。 ③对学生进行数学思想方法的渗透,培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的 意识 3.情感态度价值观目标: ①充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、 交流、反思,促进形成研究氛围和合作意识 ②重视知识的形成过程教学,让学生知其然并知其所以然,通过学习新知识体会到前人 探索的艰辛过程与创新的乐趣 ③通过对椭圆定义的严密化,培养学生形成扎实严谨的科学作风 ④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、 对称美 ⑤利用椭圆知识解决实际问题,使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量,增强学 习数学的兴趣和信心 三、重、难点 重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想 难点:椭圆标准方程的推导与化简,坐标法的应用 关键:含有两个根式的等式化简 四、教法分析 新课程倡导学生自主学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者, 使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主 探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,按照“创设情境——学生实验——意义建构— —形成理论——知识应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程,并以多媒体手 段辅助教学,使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程,切 实改进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人. 五、教学过程设计 (一)创设情境——提出问题 用圆柱状水杯盛半杯水,将水杯放在水平桌面上,截面为圆形.当端起水杯喝水时,水 杯倾斜,再观察水平面,此时截面为椭圆形.看来,椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线.圆 是到定点距离等于定长的点的轨迹,根据圆的定义,用一根细绳就可画出一个圆.将细绳的 一贯固定在黑板上,在另一端系上一支粉笔,将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可.将圆 心从一点“分裂”成两点,将细绳的两端固定在这两点,用粉笔挑起细绳并绷紧,移动粉笔, 可画出什么图形? 设计意图:使学生产生学习兴趣和探索欲望 (二)学生实验——体验数学 1.学生通过动手实践、观察,猜想轨迹为椭圆 2.展示学生成果 3.动态演示动点生成轨迹的全过程,印证猜想 4.展示椭圆实际应用的幻灯片 5.导出新课:看来,大家对椭圆并不陌生,但细想想,我们对椭圆也说不上有多熟悉, 除了“她”的名字和容貌,我们对“她”的品性几乎还一无所知.数学是一门严谨的科学, 我们不能满足于直观感受、浅尝辄止,我们希望对椭圆有更深刻的认识,比如:椭圆上所有 的点所具有的共同的几何特征是什么?——椭圆的定义;能否用代数方法精确地刻画出这种 共同的几何特征?——椭圆的标准方程.这就是我们这节课的重点内容. 设计意图:从学生实验中导出新课,明确研究课题 (三)意义建构——感知数学 椭圆定义的初步生成 学生每 2 人一组,合作探究,教师巡视指导. 请学生代表本小组交流探究结论:根据椭圆画法,从中归纳椭圆定义——与两个定点的 距离之和为定长(绳长)的点的轨迹为椭圆(绳长大于两定点间距离) . (四)形成理论——建立数学 1.椭圆定义的完善 提出问题:要想用上面那句话作为椭圆的定义,要保证它足够严密、经得起推敲.那么, 这个常数可以是任意正实数吗?有什么限制条件吗? 引导学生回答:在“定义”中需要加上“常数> F1F2 ”的限制。继续深化问题:若常数 = F1F2 或常数< F1F2 ,情况会发生什么变化? 应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边” 、 “两点之间线段最短”为理论依 据,得出结论:当常数 = F1F2 时,与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是线段 F1F2 ;当常数< F1F2 时,与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数的点的轨迹不存在. 请学生给出经过修改的


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