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1.6 子集与推出关系


第一章 集合和命题

1.5.2 充分条件、必要条件

1.6 子集与推出关系

用符号“ ?, ?, ?, ? ”填空

x?5 x ?1 x?3

? x ? 3 {x | x ? 5} ? x ? 1 {x | x ? 1}
2

? {x | x ? 3} ? {x | x2 ? 1} ? {x | x ? 2}

?

x ? 2 {x | x ? 3}

你发现了怎样的规律?

已知命题 “若 p , 则 q ” A ? {x | x 具有性质 p}, B ? {x | x 具有性质 q}

回答下列问题:
充要 “ 是 “ x ? A ? x ? B ”的什么条件? A? B ” 充要 “x ? A ”是 “ x 具有性质 p ”的什么条件?
充要 “x ? B ”是 “ x 具有性质 q ”的什么条件? “p ? q ” 是“x只要具有性质 p 就必具有性质 q ” 充要 的什么条件?

这说明什么? ( p ? q) ? ( A ? B)

已知命题 “若 p , 则 q ”和集合 A ? {x | x 具有性质 p}, B ? {x | x 具有性质 q}
求证: ( p ? q ) ? ( A ? B) 证: x 满足性质 p ? x ? A ? x ? B ? x 满足性质 q ,即 p ? q x ? A ? x 满足性质 p ? 反之, x 满足性质 q ? x ? B ,即 A ? B

因此 ( p ? q) ? ( A ? B) 证毕

一、子集与推出关系 已知命题 “若 p , 则 q ” A ? {x | x 具有性质 p}, B ? {x | x 具有性质 q}

“p是q的充分条件”等价于“集合A是集合B的子
集” 即

( p ? q ) ? ( A ? B) 例 ( x ? 5 ? x ? 3) ? {x | x ? 5} ? {x | x ? 3}
x ? 1 ? x ? 1 成立吗? ? ? q 如果 A ? B ,那么 p ?

思考

例1.利用子集与推出关系,判断p是q的什么条件? q : x ?1 (1) p : x ? 0 q : x ? 0 (2) p :| x |? 1

q : x ?1 (3) p : x ? 1 2 2 (4) p : x ? 0 且 y ? 0 q : x ? y ? 0 解:设 A ? {x | x 满足性质 p}
2

B ? {x | x 满足性质 q} (1) A ? B p ? ? ? q p是q的充分非必要条件; (2) A ? B p ? ? ? q p是q的充分非必要条件; ? q p是q的必要非充分条件; (3) A ? B p ? ? (4) A ? B p ? q p是q的充要条件. 解毕

例2.写出满足要求的一个条件: (1) x ? 1 的充分非必要条件;

{x | x ? 0} ? {x | x ? 1} 蓝字部分即所求条件 (2) x ? 2 的必要非充分条件; {x | x ? 2} ? {x | x ? 2} (3) x ? 1 或 x ? 2 的充要条件; {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ?{1, = 2} (4) y ? x ? 1 的充分非必要条件. {( x, y) | x ? 2, y ? 3} ? {( x, y) | y ? x ?1}

二、小结

已知命题 “若 p , 则 q ” A ? {x | x 具有性质 p}, B ? {x | x 具有性质 q}
p是q的充分 非必要条件 p是q的必要 非充分条件 p是 q的 充要条件

p? ? ? q A? B ? q A? B p? ?

B A A

B

p? q A?B

A( B )

例3.设 ? :1 ? x ? 3, ? : m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R ? 是 ? 的充分非必要条件,求 m 的取值范围. 解:设 A ? {x |1 ? x ? 3}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 4} ? 是 ? 的充分非必要条件等价于 A ? B 先考虑 A ? B 时的情况

?m ? 1 ? 1 可得 ? ?3 ? 2m ? 4

1 解得: ? ?m?0 2 ?m ? 1 ? 1 当 A ? B 时,可得 ? 此时 m 无解 ?3 ? 2m ? 4 1 因此 ? ? m ? 0 时,A ? B 解毕 2

(选用)例4.利用子集与推出关系,回答: (1)“ x ? y ? 0, xy ? 0” 为什么是“ x ? 0, y ? 0 ”的 的充要条件? 是“| x |? 1,| y |? 1 ”的什么条件? (2)“| x ? y |? 2 ” 解: (1)可以在直角坐标平面分别画出图形后观察
y ? ?x
y

显然
y ? ?x

{( x, y) | x ? y ? 0, xy ? 0} ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0}
x

0

因此,前者为后者的 充要条件条件.

(选用)例4.利用子集与推出关系,回答: (2)“| x ? y |? 2 ” 是“ | x |? 1,| y |? 1 ”的什么条件?
解: (2)可以在直角坐标平面分别画出图形后观察
y ? ?x ? 2 y

显然

| x ? y |? 2 2
1
?2

{( x, y) | | x ? y |? 2}? {( x, y) | | x |? 1,| y |? 1}
1
2
x

0
?2

因此,前者为后者的 必要非充分条件.

y ? ?x ? 2

解毕


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