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【优质课件】高中数学 苏教版必修一 分数指数幂(一)优秀课件.ppt_图文

中小学精编教育课件

本 课 时 栏 目 开 关

3.1.1 分数指数幂(一)

【学习要求】

1.理解 n 次方根与根式的概念;

本 课

2.正确运用根式运算性质化简、求值;

时 栏

3.了解分类讨论思想在解题中的应用.

目 开

【学法指导】

关 通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式

与绝对值的联系,提高归纳、概括的能力,了解由特殊到一般

的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.一般地,如果一个实数 x 满足 xn=a(n>1,且 n∈N*),那么称 x

为 a 的___n__次__实__数__方__根___.当 n 为奇数时,正数的 n 次实数方

根是一个___正__数___,负数的 n 次实数方根是一个__负__数____,这时,

a 的 n 次实数方根只有一个,记作 x=___n_a____;当 n 为偶数时,

本 课

正数的 n 次实数方根有___两_____个,它们互为____相__反__数____,这

时 栏

n
时,正数 a 的正的 n 次实数方根用符号____a____表示,负的 n

目 开

















n
__-__a____























关 __±_n__a___(a>0)形式;0 的 n 次实数方根等于 0(无论 n 为奇数,











)







n
____a____















n

叫做

___根__指__数_____,a 叫做____被__开__方__数______.

研一研·问题探究、课堂更高效

[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有

本 四次方根、五次方根,…,n 次方根呢?答案是肯定的,这

课 时

就是我们要研究的问题:指数概念的扩充.









研一研?问题探究、课堂更高效

探究点一 根式

问题 1 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4

个,4 个分裂成 8 个,……如果分裂一次需要 10 min,那

么,1 个细胞 1 h 后分裂成多少个细胞?

本 课

答 因 1 h=6×10 min,

时 栏

所以当 x=6 时,

目 开

y=26=64,即 1 个细胞 1 h 后分裂成 64 个细胞.



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问题 2 假设细胞分裂的次数为 x,相应的细胞的个数为 y,则 y

与 x 的函数关系是什么呢?

答 y=2x.

问题 3 正整数指数幂的意义是什么?

本 课

答 an(n∈N+)的意义为:an=











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问题 4 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几 个,立方根呢? 答 如果 x2=a,那么 x 称为 a 的平方根.如果 x3=a,那么 x 称为 a 的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的
本 平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根为±2,负数

时 没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8 的立方根为

目 -2;零的平方根、立方根均为零.

关 问题 5 类比 a 的平方根及立方根的定义,如何定义 a 的 n 次实 数方根? 答 一般地,如果一个实数 x 满足 xn=a(其中 n>1,且 n∈N*), 那么称 x 为 a 的 n 次实数方根.

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问题 6 类比平方根、立方根,猜想:当 n 为奇数时,一个数的 n
次方根有多少个?当 n 为偶数时呢? 答 当 n 为奇数时,正数的 n 次实数方根是一个正数,负数

的 n 次实数方根是一个负数,此时 a 的 n 次实数方根只有一

本 个,记为 x=n a;

课 时

当 n 为偶数时,正数的 n 次实数方根有两个,它们互为相反

栏 目

数,这时,正数 a 的正的 n 次实数方根用符号n a表示,负的



关 n 次实数方根用符号-n a表示,它们可以合并写成±n a(a>0)

形式;

0 的 n 次实数方根等于 0(无论 n 为奇数,还是为偶数); 式子n a叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.

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问题 7 根据 n 次方根的意义,可得:(n a)n=a,即(n a)n=a 肯定成立,n an表示 an 的 n 次方根,等式n an=a 一定成立吗? 如果不一定成立,那么n an等于什么?

本 答 n 为奇数,n an=a,

课 时 栏 目

n 为偶数,n an=|a|=?????a-a

?a≥0? .
?a<0?





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例 1 求下列各式的值: (1)( 3)2;(2)3 ?-8?3;(3)4 ?-2?4; (4) ?a-b?2(a<b).

解 (1)( 3)2=3;

本 课

3
(2)

?-8?3=-8;



栏 目

4
(3)

?-2?4=|-2|=2;



关 (4) ?a-b?2=|a-b|=b-a.

小结 对于式子n an,要特别注意 n 的奇偶性,当 n 为奇数时n an =a;当 n 为偶数时,n an=|a|,否则容易导致错误的产生.

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跟踪训练 1 求下列各式的值: (1) ?-10?2;(2)4 ?3-π?4;(3)3 ?3a-3?3(a≤1).

解 (1) ?-10?2=|-10|=10;



4
(2)

?3-π?4=|3-π|=π-3;



时 栏

3
(3)

?3a-3?3=3a-3.







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探究点二 利用根式的性质化简或求值 例 2 化简:( a-1)2+ ?1-a?2+3 ?1-a?3=__a_-___1__.
解析 由题意知 a-1≥0,即 a≥1. 本 原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.
课 时 栏 目 开 关

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小结 根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存情况,应注

意两者运算顺序是否可换,如对m an仅当 a≥0 时,恒有m an=

本 课

(m a)n,若 a<0,则不一定.











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??1, a≤1 跟踪训练 2 化简3 a3+4 ?1-a?4的结果是_???_2_a_-__1_,__a_>_1__.

本 课

解析

3 a3+4 ?1-a?4=a+|1-a|=?????12, a-1,

a≤1 .
a>1











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探究点三 有限制条件的根式的化简

例 3 设-3<x<3,求 x2-2x+1- x2+6x+9的值.

解 原式= ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|

∵-3<x<3,∴当-3<x<1 时,

本 课

原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;

时 栏

当 1≤x<3 时,

目 原式=(x-1)-(x+3)=-4,





∴原式=?????- -24x-?12≤?-x3<<3x? <1? .

小结 此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部

分化为完全平方的形式,结合根式性质求解.

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跟踪训练 3 本例中,若将“-3<x<3”变为“x≤-3”,则 结果又是什么?

解 原式= ?x-1?2- ?x+3?2

=|x-1|-|x+3|.



课 时 栏

∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0, ∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.







练一练?当堂检测、目标达成落实处

1.如果 a,b 是实数,则下列等式一定成立的是_①__②__③___(写出

所有正确命题的序号).

本 课

①3 a3+3 b3=a+b;

时 栏

②( a+ b)2=a+b+2 ab;

目 开

③4 ?a2+b2?4=a2+b2;



④ ?a+b?2=a+b.

解析 当 a+b<0 时,④中的式子不成立.

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2.下列说法中:①16 的 4 次方根是 2;②4 16的运算结果是±2;

③当 n 为大于 1 的奇数时,n a对任意 a∈R 都有意义;④当 n

为大于 1 的偶数时,n a只有当 a≥0 时才有意义.其中正确命



题的序号是___③__④___.

课 时

解析 ①错,∵(±2)4=16,

栏 目

∴16 的 4 次方根是±2;

开 关

②错,4 16=2,而±4 16=±2.

③④正确.

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3.已知 x5=6,则 x=____5 _6___. 解析 由根式的定义知,x5=6,x=5 6.
本 课 时 栏 目 开 关

1.根式的概念:如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次实数方根,

其中 n>1,且 n∈N*.n 为奇数时,x=n a,n 为偶数时,x=

本 课

n
±

a(a>0);负数没有偶次方根,0

的任何次方根都是

0.

时 栏

2.掌握两个公式:(1)(n a)n=a;(2)n 为奇数,n an=a,n 为偶

目 开 关

数,n an=|a|=?????a-a

?a≥0? .
?a<0?

感谢各位老师!
祝: 身体健康
万事如意



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