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2014-2015学年山东省济南市济钢高中高三(上)1月月考数学试卷(理科)

2014-2015 学年山东省济南市济钢高中高三(上)1 月月考数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P={log2x4,3},Q={x,y},若 P∩Q={2},则 P∪Q 等于( ) A. {2,3} B. {1,2,3} C. {1,﹣1,2,3} D. {2,3,x, y} 2.直线 L 的方向向量为 M=(﹣1,2) ,直线 L 的倾角为 α,则 tan2α=( A. B. C. ) D.

3.等差数列{an}前 17 项和 S17=51,则 a5﹣a7+a9﹣a11+a13=( A. 3 B. 6 C. 17

) D. 51

4.已知直线 m,l 和平面 α、β,则 α⊥β 的充分条件是( ) A. m⊥l,m∥α,l∥β B. m⊥l,α∩β=m,l?α C. m∥l,m⊥α,l⊥β D. m∥l,l⊥β,m?α 5.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A. 向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位 cos3x 的图象( 个单位 个单位 )

B. 向左平移 D. 向左平移

6.设 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使

+

= 成立的是(



A.

=﹣

B.



C.

=2

D.



7.给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则 同类节目不相邻的排法种数是( ) A. 72 B. 120 C. 144 D. 168

9.设 m∈R,过定点 A 的运直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P(x, y) ,则|PA|?|PB|的最大值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 已知函数 ( f x) 的导函数图象如图所示, 若△ ABC 为锐角三角形, 则一定成立的是 ( )

A. f(cosA)<f(cosB) B. f(sinA)<f(cosB) C. f (sinA) >f(sinB) D. f(sinA)>f(cosB)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知双曲线 为 . m.
3

的一个焦点坐标为

,则其渐近线方程

12.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

13.在△ ABC 中,sinA,sinB,sinC 依次成等比数列,则 B 的取值范围是



14. 已知 P (x, y) 满足约束条件

, O 为坐标原点, A (3, 4) , 则|

|?cos∠AOP

的最大值是



15.设函数 f(x)= 的取值范围是

sin .

,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 +[f(x0)] <m ,则 m

2

2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知函数 ,且函 数 f(x)的最小正周期为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(B)=1, 且 a+c=4,试求 b 的值. 17. 已知圆 C 的圆心 C 在抛物线 y =8x 的第一象限部分上, 且经过该抛物线的顶点和焦点 F (1)求圆 C 的方程 (2)设圆 C 与抛物线的准线的公共点为 A,M 是圆 C 上一动点,求△ MAF 的面积的最大 值. 18.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB>1,点 E 在棱 AB 上移动, 小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 的位置;若不存在,请说明理由. .若存在,确定点 E
2 2

=



19.观察下列三角形数表 * 假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N ) . (Ⅰ)依次写出第六行的所有 6 个数字; (Ⅱ)归纳出 an+1 与 an 的关系式并求出 an 的通项公式; (Ⅲ)设 anbn=1,求证:b2+b3+…+bn<2.

20.函数 f(x)=xlnx﹣ax ﹣x(a∈R) . (I)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)的图象在直线 y=﹣x 图象的下方,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:ln(2×3×…×2015) <2015.

2

21.设椭圆 C1:

的左、右焦点分别是 F1、F2,下顶点为 A,线段
2

OA 的中点为 B(O 为坐标原点) ,如图.若抛物线 C2:y=x ﹣1 与 y 轴的交点为 B,且经过 F1,F2 点. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 M(0, ) ,N 为抛物线 C2 上的一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1

于 P、Q 两点,求△ MPQ 面积的最大值.

2014-2015 学年山东省济南市济钢高中高三(上)1 月月 考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P={log2x4,3},Q={x,y},若 P∩Q={2},则 P∪Q 等于( ) A. {2,3} B. {1,2,3} C. {1,﹣1,2,3} D. {2,3,x, y} 考点:并集及其运算. 专题:集合. 分析:根据集合的基本运算关系进行求解即可. 解答: 解:∵P={log2x4,3},Q={x,y}, ∴若 P∩Q={2},则 则 log2x4=2,即 2x=2,解得 x=1, 则 P={2,3},Q={1,y}, 则 y=2,即 Q={1,2}, 则 P∪Q={1,2,3}, 故选:B 点评:本题主要考查集合的基本运算,根据条件求出 x,y 的值是解决本题的关键. 2.直线 L 的方向向量为 M=(﹣1,2) ,直线 L 的倾角为 α,则 tan2α=( A. B. C. ) D.

考点:直线的倾斜角;二倍角的正切. 专题:计算题. 分析:先求出直线的斜率 tanα,利用二倍角的正切公式求 tan2α 的值. 解答: 解:∵直线 L 的方向向量为 M=(﹣1,2) , ∴直线 L 的斜率等于﹣2,∴tanα=﹣2, tan2α= = = ,

故选 C. 点评:本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,二倍角的正切公式的应用,求出直线 L 的斜 率是解题的关键. 3.等差数列{an}前 17 项和 S17=51,则 a5﹣a7+a9﹣a11+a13=( A. 3 B. 6 C. 17 ) D. 51

考点:等差数列的性质. 专题:计算题. 分析:先根据 S17=51 求出 a1+d 的值,再把 a1+16 代入 a5﹣a7+a9﹣a11+a13 即可得到答案. 解答: 解:∵S17= = =51

∴a1+8d=3 ∴a5﹣a7+a9﹣a11+a13=a1+4d﹣a1﹣6d+a1+8d﹣a1﹣10d+a1+12d=a1+8d= 故选 A. 点评:本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式. 由于公式较多, 应注意平时多积 累. 4.已知直线 m,l 和平面 α、β,则 α⊥β 的充分条件是( ) A. m⊥l,m∥α,l∥β B. m⊥l,α∩β=m,l?α C. m∥l,m⊥α,l⊥β D. m∥l,l⊥β,m?α 考点:平面与平面垂直的判定. 分析:根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理, 我们可以判断, D 答案中的条 件可以得到 α⊥β,也可以根据空间线与面关系的判定方法对其它三个答案进行分析,说明 它们都不符合条件. 解答: 解:若 m⊥l,m∥α,l∥β,则 α 与 β 可能平行也可能相交,故 A 不符合条件; 若 m⊥l,α∩β=m,l?α,则 α 与 β 相交但不一定垂直,故 B 不符合条件; 若 m∥l,m⊥α,l⊥β,则 α∥β,故 C 不符合条件; 若 m∥l,l⊥β,m?α,则 m⊥α,由面面垂直的判定定理可得 α⊥β,故 D 符合条件; 故选 D 点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定, 其中熟练掌握空间线面关系的判定、 性 质、几何特征是解答本题的关键. 5.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A. 向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位 cos3x 的图象( 个单位 个单位 )

B. 向左平移 D. 向左平移

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式, 然后利用 平移原则判断选项即可. 解答: 解:函数 y=sin3x+cos3x= 向右平移 个单位,得到 y= = ,故只需将函数 y= cos3x 的图象

的图象.

故选:C. 点评:本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查.

6.设 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使

+

= 成立的是(



A.

=﹣

B.



C.

=2

D.



考点:平行向量与共线向量. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量共线定理,可得若 + = 成立,则向量 、 共线且方向相反,对照

各个选项并结合数乘向量的含义,可得本题答案. 解答: 解:由 方向相反, 因此当向量 、 共线且方向相反时,能使 + = 成立, + = 得若 =﹣ = ,即 ,则向量 、 共线且

对照各个选项,可得 B 项中向量 、 的方向相同或相反, C 项中向量向量 、 的方向相同, D 项中向量 、 的方向互相垂直. 只有 A 项能确定向量 、 共线且方向相反. 故选:A 点评:本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识,属于基础题. 7.给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为 q 是?p 的充分不必要条件,进而根 据逆否命题及充要条件的定义得到答案. 解答: 解:∵?p 是 q 的必要而不充分条件, ∴q 是?p 的充分不必要条件,即 q??p,但?p 不能?q, 其逆否命题为 p??q,但?q 不能?p, 则 p 是?q 的充分不必要条件. 故选 A.

点评:本题考查的知识点是充要条件的判断, 其中将已知利用互为逆否命题真假性相同, 转 化为 q 是?p 的充分不必要条件,是解答的关键. 8.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则 同类节目不相邻的排法种数是( ) A. 72 B. 120 C. 144 D. 168 考点:计数原理的应用. 专题:计算题. 分析:根据题意,分 2 步进行分析:①、先将 3 个歌舞类节目全排列,②、因为 3 个歌舞 类节目不能相邻, 则分 2 种情况讨论中间 2 个空位安排情况, 由分步计数原理计算每一步的 情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案. 解答: 解:分 2 步进行分析: 3 1、先将 3 个歌舞类节目全排列,有 A3 =6 种情况,排好后,有 4 个空位, 2、因为 3 个歌舞类节目不能相邻,则中间 2 个空位必须安排 2 个节目, 分 2 种情况讨论: ①将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目,有 C2 A2 =4 种情况, 排好后,最后 1 个小品类节目放在 2 端,有 2 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 6×4×2=48 种; 2 ②将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目,有 A2 =2 种情况, 排好后,有 6 个空位,相声类节目有 6 个空位可选,即有 6 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 6×2×6=72 种; 则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120, 故选:B. 点评:本题考查计数原理的运用,注意分步方法的运用,既要满足题意的要求,还要计算或 分类简便. 9.设 m∈R,过定点 A 的运直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P(x, y) ,则|PA|?|PB|的最大值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 考点:两点间距离公式的应用;直线的一般式方程. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:先计算出两条动直线经过的定点,即 A 和 B,注意到两条动直线相互垂直的特点, 则有 PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值. 解答: 解:由题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0) , 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3) , 注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, 2 2 2 则有 PA⊥PB,∴|PA| +|PB| =|AB| =10. 故|PA|?|PB|≤ 故选:B =5(当且仅当|PA|=|PB|= 时取“=”)
1 2

点评:本题是直线和不等式的综合考查, 特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的 突破口,从而有|PA| +|PB| 是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相 结合,不容易想到,是个灵活的好题. 10. 已知函数 ( f x) 的导函数图象如图所示, 若△ ABC 为锐角三角形, 则一定成立的是 ( )
2 2

A. f(cosA)<f(cosB) B. f(sinA)<f(cosB) C. f (sinA) >f(sinB) D. f(sinA)>f(cosB) 考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析: 根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增, (1,+∞)单调递减, 由△ ABC 为锐角三角形,得 A+B ,0 ﹣B<A ,再根据正弦函数,f(x)单

调性判断. 解答: 解:根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增, (1,+∞)单调递减, ∵△ABC 为锐角三角形,∴A+B ∴0<sin( ,0 ﹣B<A ,

﹣B)<sinA<1,0<cosB<sinA<1 ﹣B) ) ,

f(sinA)>f(sin(

即 f(sinA)>f(cosB) 故选;D 点评:本题考查了导数的运用,三角函数,的单调性,综合性较大,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知双曲线 y=± . 的一个焦点坐标为 ,则其渐近线方程为

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:由双曲线的标准方程可求得 b,由焦点坐标可求得 c,由 a、b、c 的关系求出 a,可 得渐近线方程. 解答: 解:由双曲线 ∴a+2=3,a=1, 则其渐近线方程为 y=± ,即 y=± , 的一个焦点坐标为 ,得 b= ,c= ,

故答案为 y=± . 点评:本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用条件求出 a 值, 是解题的关键.
3

12.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

m.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:立体几何. 分析:几何体是圆锥与圆柱的组合体, 判断圆柱与圆锥的高及底面半径, 代入圆锥与圆柱的 体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体, 其中圆柱的高为 4,底面直径为 2,圆锥的高为 2,底面直径为 4, ∴几何体的体积 V=π×1 ×4+ ×π×2 ×2=4π+ π= 故答案为: .
2 2

π.

点评:本题考查了由三视图求几何体的体积, 根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的 几何量是解题的关键. 13.在△ ABC 中,sinA,sinB,sinC 依次成等比数列,则 B 的取值范围是



考点:等比数列的性质. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析:由 sinA,sinB 及 sinC 成等比数列,根据等比数列的性质得到一个关系式,利用正弦 定理化简得到关于 a,b 及 c 的关系式,再利用余弦定理,基本不等式,即可确定 B 的取值 范围.

解答: 解:∵sinA,sinB,sinC 成等比数列, ∴sin B=sinA?sinC, 2 根据正弦定理化简得:b =ac, ∴cosB= ∵B∈(0,π) ∴B∈ 故答案为: . . = ≥ =
2

点评:本题考查等比数列的性质,考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题.

14. 已知 P (x, y) 满足约束条件

, O 为坐标原点, A (3, 4) , 则|

|?cos∠AOP

的最大值是



考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先根据约束条件画出可行域,利用向量的数量积将| z= ,再利用 z 的几何意义求最值 |?cos∠AOP 转化成 ,设

解答: 解:在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图) , 由于| |?cos∠AOP= = = = ,

令 z= (3x+4y) ,则 3x+4y=5z, 平移直线 3x+4y=0, 由图形可知,当直线经过可行域中的点 B 时,直线 3x+4y=5z 的截距最大,此时 z 取到最大 值, 由 ,解得 x=1,y=2,

即 B(1,2) ,代入 z= (3x+4y)= 所以| |?cos∠AOP 的最大值为

=

故答案为:

点评:本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值.巧妙识 别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础, 纵观目标函数包括线性的与非线性, 非 线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化. ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 +[f(x0)] <m ,则 m
2 2 2

15.设函数 f(x)=

sin

的取值范围是 (﹣∞﹣2)∪(2,+∞) . 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由题意可得,f(x0)=±
2

,且

=kπ+

,k∈z,再由题意 x0 +[f(x0)] <m ,

2

2

2

可得当 m 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|,继而可得关于 m 的不等式,解得即可. 解答: 解:由题意可得,f(x0)=±
2 2 2 2

,且

=kπ+

,k∈z,即 x0=

m.

再由 x0 +[f(x0)] <m ,可得当 m 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|, ∴m > m +3, ∴m >4. 解得 m>2,或 m<﹣2, 故 m 的取值范围是(﹣∞﹣2)∪(2,+∞) 故答案为: (﹣∞﹣2)∪(2,+∞) 点评:本题主要正弦函数的图象和性质,函数的零点的定义,体现了转化的数学思想,属于 中档题 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 2 2

16.已知函数 ,且函 数 f(x)的最小正周期为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(B)=1, 且 a+c=4,试求 b 的值. 考点:解三角形;三角函数中的恒等变换应用;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析 式. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)将三角函数化简,由函数 f(x)的最小正周期求出 ω 的值,从而可得函数 f (x)的解析式; (Ⅱ)在△ ABC 中,f(B)=1,可求 B=
2 2 2

=



,根据
2

=

可得 ac=3

,利用 a+c=4,

可得 a +c =16﹣6 ,利用余弦定理可求 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ) = (ωx+ ) , sinωx+cosωx=2sin

∵函数 f(x)的最小正周期为 π, ∴ω=2 ∵f(x)=2sin(2x+ ) ; )=1,∴2B+ = ,∴B= ;

(Ⅱ)在△ ABC 中,f(B)=1,则 2sin(2B+ ∴ =
2

,∴accos
2

=

,∴ac=3

∵a+c=4,∴a +c =16﹣6 ∴b =a +c ﹣2accos
2 2 2

=16﹣9



点评:本题考查三角函数的化简,考查三角函数的解析式的运用,考查向量知识,考查余弦 定理,综合性强. 17. 已知圆 C 的圆心 C 在抛物线 y =8x 的第一象限部分上, 且经过该抛物线的顶点和焦点 F (1)求圆 C 的方程 (2)设圆 C 与抛物线的准线的公共点为 A,M 是圆 C 上一动点,求△ MAF 的面积的最大 值. 考点:抛物线的简单性质;圆的标准方程. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析: (1)方法一、运用待定系数法,设出圆的方程,由条件得到方程,解方程,可得 a,b,r,进而得到圆的方程; 方法二、由题意可得圆心在线段 OF 的中垂线 x=1 上,代入抛物线方程可得圆心坐标,半径 r,进而得到圆的方程; (2)由题知:当点 M 在 AF 的中垂线与圆的上交点处时,△ MAF 的面积 S 最大.由抛物 线的定义可得|AF|,求得圆心 C 到直线 AF 的距离,即可得到所求面积的最大值. 解答: 解: (1)解法一:设圆的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r , 2 抛物线 y =8x 的顶点为(0,0) ,焦点 F(2,0) , 由题意可得: 又 a +b =r , 解得:a=1,b=2 ,r=3, 2 2 所以圆的方程是: (x﹣1) +(y﹣2 ) =9; 解法二:由题知,圆心在线段 OF 的中垂线 x=1 上, 由 ,解得 x=1,y=2 ,
2 2 2 2 2 2

则圆心 C 为(1,2 ) ,半径 r=|CF|=3, 2 2 所以圆的方程是: (x﹣1) +(y﹣2 ) =9; (2)由题知:当点 M 在 AF 的中垂线与圆的上交点处时,△ MAF 的面积 S 最大. 由抛物线定义知:圆 C 与抛物线的准线 x=﹣2 相切, 切点 A(﹣2,2 ) ,|AF|=2 , kAF=﹣ ,直线 AF 的方程是:y=﹣ (x﹣2)即 = +3, x+y﹣2 , =0,

圆心 C 到直线 AF 的距离 d1= 点 M 到直线 AF 的最大距离 d=d1+r= 则 Smax= |AF|?d=3( + ) .

点评:本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的方程的求法,抛物线的定义和方程、性质的 运用,属于中档题. 18.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB>1,点 E 在棱 AB 上移动, 小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 的位置;若不存在,请说明理由. .若存在,确定点 E

考点:与二面角有关的立体几何综合题;三垂线定理. 专题:计算题;证明题. 分析: (1)连接 AD1,根据长方体的性质可知 AE⊥平面 AD1,从而 AD1 是 ED1 在平面 AD1 内的射影,根据三垂线定理可得结论; (2)根据四边形 ADD1A 是正方形,则小蚂蚁从 点 A 沿长方体的表面爬到点 C1 可能有两种途径,然后比较两个路程的大小从而求出 AB 的 长; (3)假设存在连接 DE,过点 D 在平面 ABCD 内作 DH⊥EC,连接 D1H,根据二面角平面 角的定义可知∠D1HD 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角,在直角三角形 EBC 中求出 BE 的长 即可求出所求. 解答: 解: (1)证明:连接 AD1,由长方体的性质可知: AE⊥平面 AD1,∴AD1 是 ED1 在 平面 AD1 内的射影.又∵AD=AA1=1, ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1(三垂线定理) (2)设 AB=x,∵四边形 ADD1A 是正方形, ∴小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1 可能有两种途径, 如图甲的最短路程为|AC1|= 如图乙的最短路程为|AC1= ∵x>1 2 2 2 ∴x +2x+2>x +2+2=x +4 ∴ ∴x=2(9 分)

(3) 假设存在连接 DE, 设 EB=y, 过点 D 在平面 ABCD 内作 DH⊥EC, 连接 D1H, 则∠D1HD 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角, ∴∠D1HD= , ,而 EC?DH=DC?AD, .

∴DH=DD1=1 在 R△ EBC 内,EC= 即存在点 E,且离点 B 为

时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为

点评:本题主要考查了三垂线定理的应用, 以及与二面角有关的立体几何综合题, 同时考查 了推理能力和计算能力,属于中档题. 19.观察下列三角形数表 假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N ) . (Ⅰ)依次写出第六行的所有 6 个数字; (Ⅱ)归纳出 an+1 与 an 的关系式并求出 an 的通项公式; (Ⅲ)设 anbn=1,求证:b2+b3+…+bn<2.
*

考点: 数列的求和;数列的应用;归纳推理. 专题: 计算题;新定义. 分析: (I)根据三角形数表,两侧数为从 1 开始的自然数列,中间的数从第三行起,每 一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来. (II)依据“中间的数从第三行起,每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行 第一个数与第二个数的和,即有 an+1=an+n(n≥2) ,再由累加法求解. (III)由 anbn=1,解得 解答: 解: (I)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6; (2 分) 再由裂项相消法证明.

(II)依题意 an+1=an+n(n≥2) , a2=2an=a2+(a3﹣a2)+(a4﹣a3)++(an﹣an﹣1) = 所以 ; ,

(III)因为 anbn=1,所以

(12 分)

=

. (

15 分) 点评: 本题通过三角数表构造了一系列数列, 考查了数列的通项及求和的方法, 还考查了 数列间的关系,入题较难,知识点,方法活,属中档题. 20.函数 f(x)=xlnx﹣ax ﹣x(a∈R) . (I)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)的图象在直线 y=﹣x 图象的下方,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:ln(2×3×…×2015) <2015.
2

考点:利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数求闭区间上函数的 最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (I)求出函数定义域,f′(x) ,由 f(x)在 x=1 处取得极值,得 f′(1)=0,由此 可得 a 值,然后代入验证; 2 (II)因为函数 f(x)的图象在直线 y=﹣x 图象的下方,所以 xlnx﹣ax ﹣x<﹣x,即 xlnx 2 ﹣ax <0 恒成立,分离参数 a 后,转化为求函数最值即可; (III)由(II)知:h(x)≤h(e)= ,所以 ≤ ,从而有 lnx≤ <x,即 lnx<x,据此不

等式可得 ln1<1,ln2<2,ln3<3,…,ln2013<2013,对各式累加,再运用对数运算法则即 可证明. 解答: 解: (I)函数定义域为(0,+∞) ,f′(x)=lnx﹣2ax, 因为 f(x)在 x=1 处取得极值, 所以 f′(1)=0,即﹣2a=0,解得 a=0, . 所以 f′(x)=lnx, 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在 x=1 处取得极值. 所以 a=0. 2 2 (II)由题意,得 xlnx﹣ax ﹣x<﹣x,即 xlnx﹣ax <0 恒成立, 因为 x∈(0,+∞) ,所以 a> ,

设 h(x)=

,则 h′(x)=



令 h′(x)>0,得 0<x<e,所以 h(x)在(0,e)上为增函数; 令 h′(x)<0,得 x>e,所以 h(x)在(e,+∞)上为减函数; 所以 h(x)max=h(e)= , 所以 a> ; (III)由(II)知:h(x)≤h(e)= ,所以 ≤ ,所以 lnx≤ <x,即 lnx<x,

所以 ln1<1,ln2<2,ln3<3,…,ln2015<2015, 以上各式相加,得 ln1+ln2+ln3+…+ln2015<1+2+3+…+2015, 所以 ln(1×2×3×…×2015)< <2015, 所以 ln(2×3×…×2015) <2015. =2015×1008,即 ?ln(1×2×3×…×2015)

点评:本题考查利用导数研究函数的最值、极值,考查函数恒成立问题,函数恒成立往往转 化为求函数最值解决,而不等式的证明常借助前面结论,如最值等.

21.设椭圆 C1:

的左、右焦点分别是 F1、F2,下顶点为 A,线段
2

OA 的中点为 B(O 为坐标原点) ,如图.若抛物线 C2:y=x ﹣1 与 y 轴的交点为 B,且经过 F1,F2 点. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 M(0, ) ,N 为抛物线 C2 上的一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1

于 P、Q 两点,求△ MPQ 面积的最大值.

考点: 圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 2 分析: (Ⅰ)抛物线 C2:y=x ﹣1 与 y 轴的交点为 B,且经过 F1,F2 点.求出 B,F1, F2 点的坐标,即可求出椭圆的半长轴与半焦距,再求出 a 写出椭圆方程. 2 (Ⅱ)设 N(t,t ﹣1) ,表示出过点 N 的抛物线的切线方程,与椭圆的方程联立,利用弦 长公式表示出线段 PQ 的长度,再求出点 M 到直线 PQ 的距离为 d,表示出△ MPQ 面积, 由于其是参数 t 的函数,利用函数的知识求出其最值即可得到,△ MPQ 的面积的最大值 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知 B(0,﹣1) ,则 A(0,﹣2) ,故 b=2.

令 y=0 得 x ﹣1=0 即 x=±1,则 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,故 c=1. 所以 a =b +c =5.于是椭圆 C1 的方程为:
2 2 2 2

2

. (3 分)
2

(Ⅱ)设 N(t,t ﹣1) ,由于 y'=2x 知直线 PQ 的方程为:y﹣(t ﹣1)=2t(x﹣t) .即 y=2tx 2 ﹣t ﹣分) 2 2 2 2 2 2 2 2 代入椭圆方程整理得:4(1+5t )x ﹣20t(t +1)x+5(t +1) ﹣20=0,△ =400t (t +1) ﹣80(1+5t )[(t +1) ﹣4]=80(﹣t +18t +3) ,
2 2 2 4 2



, 故 =

. (7 分)

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 所以,△ MPQ 的面积 S= = (11 分) 当 t=±3 时取到“=”,经检验此时△ >0,满足题意. 综上可知,△ MPQ 的面积的最大值为 . (12 分) =

. (9 分)

=

点评: 本题考查圆锥曲线的综合, 解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的 值, 以及利用抛物线线上的点的切线方程与圆联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别 求出三角形的底边长度与高,表示出△ MPQ 的面积利用函数的知识求出最值,本题综合性 强,运算量大,要避免运算出错,变形出错.



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