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2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课件:3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3


3.1.3

二倍角的正弦、余弦、正切公式

课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公 二倍角公式 式.培养逻辑推理素养. 二倍角公式的推导 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、 二倍角公式的变形 化简和证明等问题.培养数学运算及逻 二倍角公式的应用 辑推理素养.





思维辨析

tan+tan αsin α,tan(α+α)= ,即 sin 1-tan2 2tan 2α=cos2α-sin2α,tan 2α= . 1-tan2

一、二倍角的正弦、余弦和正切公式 问题思考 1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结 果? 提示 sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α,cos(α+α)=cos αcos α-sin

2α=2sin αcos α,cos

2.上述cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢? 提示根据同角的三角函数关系式可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.





思维辨析

3.填空:二倍角的正弦、余弦、正切公式

三角函数 正弦 余弦 正切

公 式 sin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α tan 2α=1- 2
2 α

简记 S2α C2α T2 α

4.公式 S2α,C2α,T2α 的适用范围 π 在公式 S2α,C2α 中,角 α 可以为任意角;但公式 T2α 只有当 α≠2+kπ, 且 α≠4 + 2 (k∈Z)时才成立,否则不成立 因为当 = 2 + π,∈Z 时,tan的值不存在;当 =
π π + 2 ,∈Z 4 π π π

值不存在,但 tan 2α 的值是存在的,这时求 tan 2α 的值可利用诱导公 式,即 tan 2α=tan2
π + π 2

时,tan2的值不存在 .当 α=2+kπ,k∈Z 时,虽然 tan α 的 =tan(π+2kπ)=tan π=0.

π





思维辨析

5.做一做:求下列各式的值. (1)4sin 15°cos 15°= (2)若 cos α=3,则 cos 2α= (3)若 tan
1 θ=2,则 1

; ; .

tan 4θ=

解析(1)4sin 15°cos 15°=2· 2sin 15°cos 15° =2sin 30°=2×2=1. (2)cos 2α=2cos
2

1

(3)由已知得 tan 2θ= 所以
2tan2 tan 4θ= 1-tan2 2

1 2 7 α-1=2 3 -1=-9. 1 2× 2 2tan 1-tan2

=

=

2× 3
4

4

1 2 1- 2

=

4 , 3

答案(1)1 (2)-

7 9

1- 3 24 (3)7

2 =- .

24 7





思维辨析

二、二倍角公式的变形

问题思考 1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin 2α可化为 什么形式? 提示1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2. 2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何?

提示 1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,sin2α= cos2α=
1+cos2 . 2

1-cos2 , 2

3.填空:(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2; (2)升幂缩角公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α;

(3)降幂扩角公式:sin2α=

1-cos2 2α=1+cos2 ,cos 2 2





思维辨析

4.做一做:求下列各式的值. π (1)2cos212= ; (2) sin
π π 2 + cos = 8 8

.
π π 3

解析(1)原式=1+cos 2 × 12 =1+cos 6=1+ 2 . (2)原式=1+sin =1+ .
3 答案(1)1+ 2

2 2 2 (2)1+ 2

π 4





思维辨析

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)对任意的角总有 sin 2θ=2sin θ. ( ) (2)不存在角 α,使得 cos 2θ=2cos θ. ( )
2tan π 成立的条件是 α ≠ k π + ,k∈Z. 2 1-tan2 (4)对于任意角 α,都有 sin 2=2sin 4cos 4. 4 (5)若 tan α=2,则 tan 2α=-3. 1 π 2 (6)2-cos28 = 4 . π (7)若 sin 2α=-sin α,α∈ ,π ,则 tan 2α= 3. 2

(3)公式 tan 2α=

( ( ( ( (

) ) ) ) )

答案(1)× (2)×

(3)×

(4)

(5)

(6)×

(7)

探究一

探究二

探究三

思维辨析

利用二倍角公式解决给角求值问题 【例1】 求下列各式的值:

(1)sin 12cos 12;(2)1-2sin2750°; 2tan150° (3) ;(4)cos 20°cos 40°cos 80°. 2
1-tan 150°

π

π

分析对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分母 同乘2sin 20°,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解(1)原式=

2sin 12cos 12 2

π

π

=

sin 6 2

π

= .
1 2

(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500° =cos(4×360°+60°)=cos 60°= . (3)原式=tan(2×150°)=tan 300° =tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3. (4)原式=

1 4

2sin20°· cos20°· cos40°· cos80° 2sin20° 2sin40°· cos40°· cos80° 2sin80°· cos80° = = 4sin20° 8sin20° sin160° 1 =8sin20° = 8.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

对于给角求值问题,一般有两类: (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的 基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角 的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公 式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 1 求下列各式的值: π π 4 4 (1)cos -sin ;

8 8 tan75° (2) ; 1-tan2 75° π 2 4 (3)cos cos πcos π. 7 7 7 π π π π π 2 解(1)原式= cos 2 8 + sin2 8 cos 2 8 -sin2 8 =cos 4 = 2 . 1 1 3 (2)原式=2tan 150°=-2tan 30°=- 6 . π π 2 4 2 2 4π 4 4 8sin 7cos 7cos 7πcos 7π 4sin 7πcos 7πcos 7 2sin 7πcos 7π

(3)原式= =
sin 7π 8sin 7
8 π=

-sin 7

π

8sin 7 1

π

=

8sin 7

π

=

8sin 7

π

8sin 7

π=-8.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

利用二倍角公式解决条件求值问题

【例 2】已知 sin

π - 4

=

5 π cos2 ,0<x<4,求 π 13 cos +
4

的值.

分析一种思路是由已知条件求出 cos
π

π - 4

的值,用诱导公式求

出 cos 2x 以及 cos 4 + 的值然后代入求解;另一种思路是先将欲求 π 值的式子化简,然后将 sin - 平方,求得 sin 2x 的值,再求得 cos
4

x+sin x 的值,最后代入即得.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

π 解法一∵0<x< , 4 π π ∴4-x∈ 0, 4 . π 5 又 sin - = , 4 13 π 12 ∴cos 4 - = 13. π π ∵cos 2x=sin 2 -2 =2sin 4 - 5 12 120 =2×13 × 13 = 169, π π π cos 4 + =sin 2 - 4 +

cos

π - 4

=sin

π - 4

=

120 5 ,∴原式= 169 5 13 13

=

24 . 13

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解法二原式= =

cos2 -sin2
2 2 cos 2 2 sin

(cos+sin)(cos-sin)
2 2 (cos-sin)

= 2(cos x+sin x).

2 由已知得 cos 2

2 5 5 2 x- sin x= ,所以 cos x-sin x= , 2 13 13 50 50 2 因此(cos x-sin x) =169,即 1-sin 2x=169, 119 288 288 2 所以 sin 2x=169,因此 1+sin 2x=169,即(cos x+sin x) =169, π 12 2 而 0<x< ,所以 cos x+sin x= , 4 13 12 2 24 故原式= 2 × 13 = 13.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解决条件求值问题的方法 给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观 察方向: (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化; (2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角 的变换和角之间的二倍关系.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

sin2 延伸探究在例题条件不变的情况下,求 π cos 4-

的值.

解∵x∈ 0,

∴4-x∈ ∵sin ∴cos

π

π - 4 π - 4

π 4 π 0, 4

, .
5 12

= 13, = 13.
π
119 169 12 13

又 sin 2x=cos 2 -2 =cos 2 4 - =2cos2 4 - -1=169,
sin2 ∴ π cos 4-

π

π

119

=

=

119 . 156

探究一

探究二

探究三

思维辨析

利用二倍角公式解决化简与证明问题 【例3】 (1)化简: cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)· cos(90°-θ);

(2)证明:1+sin2+cos2=tan θ.
分析(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理 化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos 2θ与1+cos 2θ运用公式 先化简,后约分结合同角关系证明.

1+sin2-cos2

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(1)解原式=
1

1+cos(2+30°) 1-cos(2-30°) + +cos 2 2

θsin θ

=1+2(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°)+2sin 2θ
1 1 2 (1-cos2)+sin2 2sin2 +sin2 (2)证明左边= = (1+cos2)+sin2 2cos2 +sin2 2sin2 +2sincos 2sin(sin+cos) = = 2cos2 +2sincos 2cos(sin+cos) sin = =tan θ=右边,所以等式成立. cos

=1-sin 2θsin 30°+ sin 2θ=1.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点: (1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数 名”“幂”“形”着手分析,消除差异. (2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思 路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与 分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需 要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想, 是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角 的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归 一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找 出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右 两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式 本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 2 化简:

1 1 ? 1+tan. 1-tan

解原式=

(1+tan)-(1-tan) (1-tan)(1+tan)

=

2tan =tan 1-tan2

2θ.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

忽视角的范围致误

【典例】 化简: 2 + 2 + 2cos(2π<α<3π). 错解 2 + 2 + 2cos =
2 + 2cos =2cos . 2 4

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误? 提示错解中利用倍角公式从里到外去根号时,只是机械地套用 公式,而没有考虑角的范围对函数值的影响,从而导致错误. 正解∵2π<α<3π,∴π< <
2 3π π , 2 2

<

4

<


3π . 4

∴ 2 + 2 + 2cos = 2 + 4cos 2 2
=
2-2cos 2

=

2 4sin =2sin . 4 4

探究一

探究二

探究三

思维辨析

利用二倍角公式化简 1 ± cos时,由于 1+cos α=2cos2 ,1-cos α=
2 2sin ,则 1 + cos = 2 cos , 1-cos = 2 sin ,因此要根据 2 2 2 2 的终边所在象限确定 sin ,cos 的符号,从而去掉绝对值符号,保持恒 2 2

2

等变形.

1

2

3

4

5

1.下列各式中,不一定成立的是( ) A.sin 8α=2sin 4αcos 4α B.1-cos 2α=2sin2α C.(sin α+cos α)2=1+sin 2α 2tan D.tan 2α= 1 + tan2 解析由二倍角公式可知A,B,C项均一定成立,D项中的公式不一定 成立. 答案D

1

2

3

4

5

3π 2 7 1 A. B.5 5 12 24 C.D. 25 25 3 3π 4 解析∵sin α=-5,π<α< 2 ,∴cos α=-5. 3 ∴sin 2α=2sin αcos α=2× - 5 ×

2.已知 sin α=- ,π<α< ,则 sin 2α 等于(

3 5

)

-

4 5

=

24 . 25

答案D

1

2

3

4

5

3.已知向量 a=(3,-2),b=(cos α,sin α),若 a∥b,则 tan 2α 的值为(
12 5 12 C. 13

A.

12 5 12 D.13

)

B.-

解析由已知可得 3sin α=-2cos α,即 tan
2 -3 1- -3 12 =- . 5 2 2
2

2 α=-3,于是

tan

2tan 2α= 1-tan2

=

答案B

1

2

3

4

5

4.sin20°cos20°=
1+cos100° 解析 sin20°cos20°

1+cos100°

.
=
2cos2 50°
1 2sin40°

=

2cos50°
1 2cos50°

=2 2.

答案 2 2

1

2

3

4

5

5.求函数 f(x)=5

3cos2x+

3sin2x-4sin

xcos x

π 4

≤ ≤

7π 24

的最小值,

并求其单调区间.

解 f(x)=5 3cos2x+ 3sin2x-4sin xcos x=3 3-2sin 2x+2 3cos 2x =3 3-4sin 2- 3 .
π 7π π π

因为4≤x≤24,所以6≤2x-3 ≤ 4,
1 2

π

π

π

所以 sin 2- 3 ∈ 2 , 2 ,当 2x-3 = 4,即 x=24时,f(x)取得最小值, π π 7π 其最小值为 3 3-2 2,因为 y=sin 2- 3 在 4 , 24 上是单调递增的, 所以 f(x)在
π 7π , 4 24

π

π



上单调递减.



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