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宁夏六盘山高级中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理

宁夏六盘山高级中学 2019 届高三数学上学期第一次月考试题 理
测试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1..设集合 A ? ?1, 2,3? , B ? x 3 ? 4 ,则 A ? B ? (
x

?

?



A.{1,2}

B.{2,3}

C.{1,3}

D.{1,2,3}

2.以下有关命题的说法错误的是 A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ?x ? R使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0 3.已知函数 f ( x) ? ? A. ?

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

,则 f [ f ( C. ?9

1 )] ? 16
D. 9

1 9

B.

1 9

4.设 a ? 20.1 , b ? ln A. a ? b ? c

5 9 , c ? log 3 ,则 a, b, c 的大小关系是 2 10
C. b ? a ? c D. b ? c ? a

B. a ? c ? b

5.已知 a ? b ,则下列不等式一定成立的是

1 1 A. ? a b

?1? ?1? B. ? ? ? ? ? ?2? ?2?

a

b

C. ln a ? ln b

D. a 3 ? b3

6.函数 f ( x) ? a x ?

1 的图象可能是 a

A

B

C

D

1

7.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,若 f (1) ? 1 , 则 f (3) ? f (4) ? A. ?1 B. 1 C. ?2 D. 2

8.下列结论正确的是 A.当 x ? 0, x ? 1 时, lg x ?

1 ?2 lg x

B. 当x ? 2时, x ?

1 的最小值为 2 x
的最小值为 2

C.当 x ? R 时, x 2 ? 1 ? 2 x 9.函数 f ( x) ? ln x ? A. ?1, 2 ? 10.由曲线 y ?

D.当 x ? 0 时,

x?

1 x

2 的零点所在的大致区间是 x
C. ? 1, ?

B. ? 2,3?

? 1? ? e?

D. ? e, ?? ?

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
B.

A.

10 3

16 3

C.4

D.6
p

11.加工爆米花时, 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 “可食用率”. 在 特定 条 件 下 , 可 食 用 率 p 与 加 工 时 间 t ( 单 位:分 钟 ) 满足的函数关系

0.8 0.7 0.5

b 、 c 是常数) ,下图记录了三次实验的数据.根据上述 p ? at ? bt ? c ( a 、
2

函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 A. 3.50 B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟 D. 4.25 分钟

O

3

4

5

t

12.设函数 f ( x) ? x 3 ? x , x ? R . 若当 0 ? ? ? 成立,则实数 m 的取值范围是 A. ( ??,1] B. [1, ??)

?
2

时, 不等式 f ( m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒

C. ( ,1)

1 2

D. ( ,1]

1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.)

2

13..函数 f ( x) ?

1 ? lg(2 x ? 1) 的定义域为______ 2? x

? ?2 x ? y ? 0 ? x , y 14..已知实数 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? 9 ? y ? ?x ? 4 ?
3 2



15.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b( a, b ? R ) 图象上任意一点处的切线的斜率都小于 1, 则实 数 a 的取值范围是______. 16.已知函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域为 R ,有下列 5 个命题: ①若 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,则 f ( x) 的图象自身关于直线 y 轴对称; ② y ? f ( x ? 2) 与 y ? f (2 ? x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ③函数 y ? f ( x ? 2) 与 y ? f (2 ? x) 的图象关于 y 轴对称; ④ f ( x) 为奇函数,且 f ( x) 图象关于直线 x ?

1 对称,则 f ( x) 周期为 2; 2

⑤ f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且 g ( x) ? f ? x ? 1? ,则 f ( x) 周期为 2。 其中正确命题的序号是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分).

3 b (1) 计算 : ( ?3) ? (1 ? 0.5 ) ? (3 ) 3 ; (2) 已知 a ? log 3 2,3 ? 5 用 a , b 表示 log 3 30 . 8
?2

1

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a (1 ? x) ? log a ( x ? 3)(0 ? a ? 1) (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)求函数 f ( x) 的零点; (3)若函数 f ( x) 的最小值为-4,求 a 的值. 19.(本小题满分 12 分)

3

x ?1? cos? C 在直角坐标系 xoy 中,圆 的参数方程 y ? sin ? ( ? 为参数) .以 o 为极点, x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?

?
3

与圆 C 的交点为

O, P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a ) ? b 在 x ? 2 处有极大值.
2

(1)求 a 的值; (2)当 x ? [ ?2, 4] 时,函数 y ? f ( x) 的图象在抛物线 y ? 1 ? 45 x ? 9 x 的下方,求 b 的取
2

值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

, Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 :

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)距离的最小值. ? ? y ? ?2 ? t
22.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? b ln x ? 1 ,设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 0 。 (1)求实数 a, b 的值; ( 2)设 函 数 g ( x) ? mf ( x) ?

x2 ? mx , 其 中 1 ? m ? 3 求 证 : 当 x ? [1, e] 时 , 2

3 g ( x) ? ? (1 ? ln 3) 2

4

宁夏六盘山高级中学数学参考答案: 一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 选项 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B 11 B 12 A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 ? x ? 2 . 14、3.15、 ? 3 ? a ? 3 16、①②③④ 2

解答题: 17 试题解析:⑴ (1)利用指数、有理指数幂的运算法则化简求解即可. (2)利用指数与对数的互化以及对数的运算性质,求解即可.

解答:解:(1)
(2)∵ ∴a=log32, b=log35, . =

=1-(1-4)÷ =3

=

=

=

18. ,分析:(1)根据对数的真数大于零,列出不等式组并求出解集,函数的定义域用集 , 合或区间表示出来; (2)利用对数的运算性质对解析式进行化简,再由 f(x)=0,即-x2-2x+3=1,求此方程的 根并验证是否在函数的定义域内; (3)把函数解析式化简后,利用配方求真数在定义域内的范围,再根据对数函数在定义域 内递减,求出函数的最小值 loga4,得 loga4=-4 利用对数的定义求出 a 的值.

解答:解:(1)要使函数有意义:则有

,解之得:-3<x<1,

则函数的定义域为:(-3,1) (2)函数可化为 f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3) 由 f(x)=0,得-x2-2x+3=1, 即 x2+2x-2=0, ∵ ,∴函数 f(x)的零点是

(3)函数可化为: f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4] ∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4, ∵0<a<1,∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4, 即 f(x)min=loga4,由 loga4=-4,得 a-4=4,
5



点评 : 本题是关于对数函数的综合题,考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型
的复合函数求最值,注意应在函数的定义域内求解. 19) 求 圆 C 的 极 坐 标 方 程 , 首 先 得 知 道 圆 C 的 普 通 方 程 , 由 圆 C 的 参 数 方 程

? x ? 1 ? cos ? 2 2 2 2 2 ,可得圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,由公式 ? ? x ? y , (? 为参数) ? ? y ? sin ?
x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由于 ?1 ? ? 2 ,所以 PQ ? ?1 ? ? 2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长
为 2. 20(Ⅰ) f ( x) ? x( x ? a ) ? b ? x ? 2ax ? a x ? b ? f ?( x) ? 3 x ? 4ax ? a ,
2 3 2 2 2 2

f ?(2) ? 12 ? 8a ? a 2 ? 0 ? a ? 2 或 a ? 6 ,
当 a ? 2 时,函数在 x ? 2 处取得极小值,舍去; 当 a ? 6 时, f ?( x) ? 3 x ? 24 x ? 36 ? 3( x ? 2)( x ? 6) ,函数在 x ? 2 处取得极大值,符合
2

题意,∴ a ? 6 . (5 分) ( 2) ∵ 当 x ? [ ?2, 4] 时 , 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 抛 物 线 y ? 1 ? 45 x ? 9 x 的 下 方 , ∴
2

x 3 ? 12 x 2 ? 36 x ? b ? 1 ? 45 x ? 9 x 2 在 x ? [?2, 4] 时恒成立,
即 b ? ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? 1 在 x ? [ ?2, 4] 时 恒 成 立 , 令 h( x) ? ? x ? 3 x ? 9 x ? 1 , 则
3 2

h?( x) ? ?3 x 2 ? 6 x ? 9 ? ?3( x ? 3)( x ? 1) ,由 h?( x) ? 0 得, x1 ? ?1, x2 ? 3 .
∵ h( ?2) ? 3 , h( ?1) ? ?4 , h(3) ? 28 , h(4) ? 21 , ∴ h( x) 在 [?2, 4] 上的最小值是 ?4 , b ? ?4 . (12 分) 考点:等 比 关 系 的 确 定 ; 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 . 考点:1.线面平行的判定定理;2.锥体的体积公式. 21 试题解析:(1)由曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 4 ? cos t ( t 为参数)得 ? , ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3 ? sin t
2 2

两式平方相加消去参数 t ,得曲线 C1 的普通方程为: ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1 . C1 为圆心是

(?4,3) ,半径是 1 的圆.

3分

6

?x ? cos ? ? ? x ? 8cos ? ?8 由曲线 C2 : ? ( ? 为参数)得 ? , ? y ? 3sin ? ? y ? sin ? ? ?3
两式平方相加消去参数 ? , 得曲线 C2 的普通方程为 :

x2 y 2 ? ? 1 . C2 为中心是坐标原点, 64 9
6分

焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. ( 2) 因 为 C1 上 的 点 P 对 应 的 参 数 为 t ?

?
2

, 故 P (?4, 4) , 又 Q 为 C2 上 的 点 , 所 以

3 Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 PQ 中点为 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) . 2
由 C3 : ?

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)消去参数 t 知, C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 M 到 C3 的距 ? y ? ?2 ? t

离d ?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 13 ..5.u.c.o.m 5 8 5 4 3 , sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5
12 分

从而当 cos ? ?

考点:圆的参数方程,椭圆的参数方程,直线的参数方程,点到直线的距离公式,三角变换 与三角函数性质 22.(1) a ? 1, b ? ?1 ;(2)见解析; 【解析】 试题分析:(1)利用导数的几何意义可得在 (1, f (1)) 处的切线斜率为 0 及 f ?1? ? 1 联立方 程解得 a ? 1, b ? ?1 ;(2)将 f ? x ? 代入 g ( x) ? mf ( x) ?

x2 ? mx 得 g ? x ? 的解析式,解析 2

式中含有参数 m ,所以对 m 进行分类讨论,再利用求导数来讨论函数 g ? x ? 的单调性,求出

g ? x ? 在 x ? [1, e] 的最小值和最大值即可;
试题解析:解:(1) f ?( x) ? a ? 依题意 f (1) ? 0 ,且 f ?(1) ? 0 。 所以 a ? 1 ? 0, a ? b ? 0 。 解得 a ? 1, b ? ?1 。 4分
7

b , x
3分

2分

(2)由(1)得 f ( x) ? x ? ln x ? 1, x ? 0 。 所以 g ( x) ?

x2 ? m ln x ? m, x ? 0 。 2 m x2 ? m 。 ? x x
6分

g ?( x) ? x ?

当 m ? 0 时,由 g ?( x) ? 0 得 x ?

m ,由 g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? m 。 m 是 g ( x) 的

所以 g ( x) 在区间 (0, m ) 上是减函数,在区间 ( m , ??) 上是增函数, x ? 极小值点。8 分 当 1 ? m ? 3 , x ? [1, e] 时, m ? [1, e] , 所以 g ( x) 的最小值为 g ( m ) ,最大值为 max( g (1), g (e)) 。 设 h( m) ? g ( m ) ? ? 9分

m m 1 ? ln m ,则 h?(m) ? ?1 ? ln m , 2 2 2

因为 1 ? m ? 3 ,所以 ln m ? 0, h?( m) ? 0 。 所以 h( m) 在 1 ? m ? 3 上单调递减,

3 3 3 ? ln 3 ? ? (1 ? ln 3) 。 2 2 2 3 所以,当 1 ? m ? 3 , x ? [1, e] 时, g ( x) ? ? (1 ? ln 3) 。 2
所以, h( m) ? h(3) ? ? 综上,当 1 ? m ? 3 , x ? [1, e] 时, 。14 分

11 分

考点:1、导数的几何意义;2、运用导函数讨论函数单调性的应用;3、运用导函数讨论函 数最值的应用;

8



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