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高三数学教案:空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)


第一课时 2.1.1 平面 教学要求:能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 理解平面的无限延展性;正 教学要求 ; 确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握文字语言、图形语言与 符号语言三种语言之间的转化;理解可以作为推理依据的三条公理. 教学重点:理解三条公理,能用三种语言分别表示. 教学重点 教学难点:理解三条公理. 教学难点 教学过程: 教学过程 复习准备: 一、复习准备: 1. 讨论:长方体的 8 个顶点、12 条棱所在直线、6 个面之间有和位置关系? 2. 举例:生活中哪些物体给我们以平面的形象? 讲授新课: 二、讲授新课: 1. 教学平面的概念及表示: 教学平面的概念及表示 平面的概念及表示: ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; 理解两点:无限好比在平面上画直线;一个平面把空间分成两部分。 ② 平面的画法:A.任意角度观察桌面、黑板面,感到象什么?美术中如何画一张纸? B.画法:通常画平行四边形来表示平面。 (注意通常两字)水平平面:通常画成锐角成 45°, 横边等于邻边的两倍。非水平平面:只要画成平行四边形。直立的平面:一组对边为铅垂线。 相交的平面:一定要画出交线;遮住部分的线段画虚线或不画。 C.练习: 画一个平面、相交平面 ③ 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内) ;也可以 用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ④ 点与平面的关系:点 A 在平面 α 内,记作 A ∈ α ;点 A 不在平面 α 内,记作 A ? α . 2. 教学公理 1: : ①揭示公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) ②应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 ③符号:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l; 直线 l 的平面α内,记作 l ? α。 ④用符号语言表示公理 1: A ∈ l , B ∈ l , A ∈ α , B ∈ α ? l ? α 3.教学公理 2: 教学公理 : ①揭示公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 ②理解:不在同一条直线上;一点、两点、三点、四点的情况;有且只有一个,等价于确定 ③实例:一扇门。 记写:平面 ABC。 4 .教学公理 3: 教学公理 : ①揭示公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②理解:例如墙角;平面在空间无限伸展;有且只有一个的含义:存在一个,最多一个。 ③符号:平面α和β相交,交线是 a,记作α∩β=a。 ④ 符号语言: P ∈ A ∩ B ? A ∩ B = l , P ∈ l 5. 练习:用符号表示点、直线、面之间的关系(图见 P47). 练习 6. 小结 小结:平面概念;三条公理的文字语言、图形语言、符号语言. 巩固练习: 三、巩固练习: 1. 练习:P48 1~4 2. 根据符号语言画出下列图形:① a∩α=A,B∈a,但 B ?α;② a∩b=A,b ? α,a ? α
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3. 过直线 l 上三点 A、B、C 分别作三条互相平行的直线 a、b、c,讨论四条直线共面? 第二课时 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系 教学要求:了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义,掌握平行公理,掌握等 教学要求 角定理,掌握两条异面直线所成角的定义及垂直 教学重点:掌握平行公理与等角定理. 教学重点 教学难点:理解异面直线的定义与所成角 教学难点 教学过程: 教学过程 复习准备: 一、复习准备: 1. 提问:同一平面上的两条直线位置关系有哪几种?三条公理的内容? 2. 按符号画出图形:a ? α,b∩α=A,A ?a 3. 探究:教室内的哪些直线实例?有什么位置关系? 讲授新课: 二、讲授新课: 1. 教学两条直线的位置关系: 教学两条直线的位置关系: ① 实例探究 → 定义异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线. → 以长方体为例,寻找一些异面直线? →性质:既不平行,又不相交。 →举例:教室内,日常生活中… →画法:以辅助平面衬托: (三种)

→讨论:分别在两个平面内的两条直线,是不是异面直线? ②讨论:空间两条直线的位置关系: (整理如下) ? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 2. 教学平行公理: 教学平行公理: ① 提出公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行? →示例:三棱镜 ② 出示例:空间四边形 ABCD,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、CD 上 CF CG 1 的点,且 = = ,求证:EFGH 是梯形。 CB CD 3 分析:如何画图?证明哪组对边平行且不相等?由已知有哪些结论?什么是空间四边形? (四个顶点不在同一平面上的四边形) → 学生试叙述证明过程,教师板书。 →变题:变换比例式…. →小结:平面几何中的性质,如何在立体几何中使用? 3. 教学等角定理: 教学等角定理: ① 讨论:平面几何中,两角对边分别平行,且方向相同,则两角有何关系?到立体几何中呢? ② 提出定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两角相等。 →试将题改写成数学符号语言题,并画出立体图形。→ 探究:如何证明角相等? ③ 推广:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。 → 图形表示 → 讨论:与点 O 的位置是否有关?为什么?最简单的取法如何取? → 垂直 →探究:给出正方体和几条面、体的对角线,找出几对异面直线,并指出所成角

4. 小结 小结:空间两直线的位置关系;公理 4;等角定理;异面直线的定义、垂直、所成角. 三、巩固练习:1. 教材 P53 1、2 题. 巩固练习 2. 已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求异直线 AB 和 CD 所成的角的大小. 第三课时 2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系 & 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 教学要求:了解直线与平面的三种位置关系,理解直线在平面外的概念,了解平面与平面的两 教学要求 种位置关系. 教学重点:掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言. 教学重点 教学难点:理解各种位置关系的概念. 教学难点 教学过程: 教学过程 复习准备: 一、复习准备: 1. 提问:公理 1~4 的内是什么?空间两条直线有哪几种位置关系? 2. 探究: 以长方体为例, 探求一面对角线与各面的位置关系? 生活中直线与平面的位置关系? 讲授新课: 二、讲授新课: 1. 教学直线与平面的位置关系: 教学直线与平面的位置关系: ① 讨论:直线和平面有哪几种位置关系? →操作演示,示范说明。 ② 定义:直线和平面平行:直线和平面没有公共点。 →小结:三种位置关系:直线在平面内、相交、平行; →探究:公共点情况; →定义:直线在平面外:相交或平行的情况。 ③三种位置关系的图形画法:

④ 三种位置关系的符号表示: a? α a∩α=A a∥α (后两个统称为 a ? α) ⑤ 练习:举出直线和平面的三种位置关系的生活实例; 结合空间几何体举例 ⑥ 练习:教材 P54 例 4; 练习题 → 小结方法:操作演示; 反例排除 2. 教学平面与平面的位置关系: 教学平面与平面的位置关系: ① 以长方体为例,探究相关平面之间的位置关系? 联系生活中的实例找面面关系. ② 讨论得出:相交、平行。 →定义:平行:没有公共点;相交:有一条公共直线。 →符号表示:α∥β、 α∩β=b →举实例:… ③ 画法:相交:…… 平行:使两个平行四边形的对应边互相平行 ④ 练习: 画平行平面;画一条直线和两个平行平面相交;画一个平面和两个平行平面相交 ⑤ 探究:A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系? B. 三个平面两两相交,可以有交线多少条? C. 三个平面可以将空间分成多少部分? 3. 小结 小结:线面位置关系;面面位置关系. 巩固练习: 三、巩固练习:

1. 三个平面两两相交于三条直线,交线不平行,求证:三条交线交于一点. 2. 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH 与 FG 交于点 O, 求证:B、D、O 三点共线. 3. 求证:空间四边形各边的中点共面. 4. 作业:P58 2、3 题.


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