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【2013甘肃二诊】甘肃省2013届高三第二次高考诊断数学(理)试题


甘肃省 2013 年第二次高考诊断试卷

数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2. 回答第 1 卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符 合题目要求的.
2 2 1.已知集合 A={0,1},B={ y | y ? 1 ? x , x ? A },则 A ? B=

A.{0,1} C.{0,1,一 1, 2 } 2.若复数 z ?

B.{0,1,一 1} D.{0,l,一 1,一 2 }

1? i ,则 z 为 1? i

A.i B.一 i C.2i D.1+i 3.显示屏有一排 7 个小孔可显示 0 或 l,若每次显示其中 3 个小孔,但相邻的两孔不能同时 显示,则该显示屏能显示信号的种数共有 A.10 B.48 C.60 D.80 4.已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的左焦点 F1,右顶点 A,上顶点∠F1BA=90°,则椭圆的离心率是

A.

5 ?1 2

B.

3 ?1 2

C.

3 2

D.

1 2

5.设变量 x,y 满足 | x | ? | y |? 1 ,则戈.4+2y 的最大值和最小值分别为 A.1,-1 B.2,一 2 C.1,一 2 D.2,一 1 6.执行右图所示的程序,输出的结果为 48,对判断框中应填人的条件为 A.i≥4? B.i>4? C.i≥6? D.i>6?

7.已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸,可 得这个几何体的体积是

1 12 1 C. 6
A.

1 4 1 D. 3
B.

8.各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则 这个球的表面积是 A.16 ? B.20 ? C.24 ? 9.已知函数 y=2sin2( x ?

?

D.32 ?

4

) ? cos 2 x, 则函数的最小正周期

T 和它的图象的一条对称轴方程是 A.T=2 ? ,一条对称轴方程为 x ?

?

8 3? B.T=2 ? ,一条对称轴方程为 x ? 8
C.T= ? ,一条对称轴方程为 x ?

?

8 3? D.T= ? ,一条对称轴方程为 x ? 8
10.已知点 F 是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过

F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是 A. (1,+∞) B. (1,2) C. (1,1+ 2 ) D. (2,1+ 2 )

11.已知函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在[一 2,2]的图象如下图所示,给出下列四个命题:

①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根;②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根; ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根;④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根.

其中正确的命题个数是 A.4 B.3

C.2

D.1

12.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,且当 x>2 时, f (x) 单调递增, 如果 x1 ? x2 ? 4, 且( x1 ? 2 ) x2 ? 2 )<0,则下列说法正确的是 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值为正数 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值正负不能确定 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值为负数 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值一定为零

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题一第 21 题为必考题。 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题一第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若点 P 是曲线 y ? x ? ln x 任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小值为
2

.

14.有 3 人,每人都以相同的概率被分配到 4 个房间中的一间,则至少有 2 人分配到同一房 间的概率是 . 15.设 t 为实数, e1 , e2 是向量,若向量 2t e1 ? 7e2 与向量 e1 ? t e2 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围是 16.设函数 f ( x) ? .

1 ? , [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[ f (x) )]的值域集 2 1? 2
x

2x

合 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{ a }数的前 n 项和 S n ? n (n ? N*) , 数列{ b }为等比数列, 且满足 b1 ? a1 ,
2 n

2b3 ? b4 .
(I)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an bn }的前 n 项和. 18. (本小题满分 12 分) 某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版 本教材的教师人数如下表所示:

(I)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (Ⅱ)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ? ,求随

机变量 ? 的变分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长及侧棱长均为 13,M、N 分别是以、 ,BD 上的点,且 PM:MA=BN:ND=5:8. (I)求证:直线 MN∥平面 PBC; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x=-2, 该抛物线上的每个点到准线 x=-2 的距离都与到
2

定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l 2 : y ? ? x 相切的圆, (I)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1 ,l 2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E(4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x 1 2

(I)若函数在区间 (a, a ? ) 上存在极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果当 x ? 1 ,不等式 f ( x ) ?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围· x ?1

(Ⅲ)求证:[(n+1)!]2>(n+1) n-2(n∈N*) ·e . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题记分.做答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 曰 已知在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,以 BC 为直 径的⊙D 交 AB 点 D,连接 DO 并延长交 AC 的延长线于 点 E,⊙D 的切线 DF’交 AC 于点 F (I)求证:AF=CF; (Ⅱ)若 ED=4,sin∠E=

3 ,求 CE 的长. 5

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t ? y ? 3t

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x

轴的 正半轴为 极轴,建 立极坐标 系,已知 曲 线 C 的极坐标 方程为

4? 2 cos2? ? 4? sin ? ? 3 ? 0.
(I)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求|AB|. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设命题 P: 关于 x 的不等式 x+ | x ? 2a | >1 的解集为 R, 命题 Q: 函数 y=lg ax ? ax ? 1) (
2

的定义域为 R.如果 P 且 Q 为假命题,P 或 Q 为真命题,求实数 a 的取值范围.


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