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直线与椭圆位置专题



直线与椭圆的位置关系
知识点 1:直线与椭圆位置关系、弦长问题:
x2 y2 将直线方程 y ? kx ? b (或 x ? my ? b )代入椭圆方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b 2 整理得到关于 x(或 y)的一个一元二次方程 Ax ? Bx ? C ? 0 (或 Ay 2 ? By ? C ? 0 ) 当_______ ?直线 l 与椭圆相交; 当_______ ?直线 l 与椭圆相切; 当_______ ?直线 l 与椭圆相离。 x2 y2 若直线 l : y ? kx ? b 与椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 相交于 A,B 两点, a b
弦长公式: | AB |? ____________ 或 | AB |? ____________ 焦点弦:若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦; 通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴,此时焦点弦也叫通径。椭圆的通径为: __________ . 例 1.当 m 为何值时,直线 y=x+m 与椭圆

例 2、直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x2/9+y2/m=1 总有公共点,求实数 m 的取值范围是( ) A、1/2≤m<9 B、9<m<10 C、1≤m<9 D、1<m<9

练习、若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m

例 3、求直线 x-y+1=0 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 截得的弦长 16 4

x2 y2 ? ? 1 相交?相切?相离? 16 9

练习、已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,右顶点为 A,过左焦点 F1 作倾斜角为 的直线交椭圆于 6 9

M、N 两点,求弦 MN 的长及 ?AMN 的面积。
练习、直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点,则 m2=( ( A) ) (D)

1 2

(B)

2 3

( C)

3 4

4 5

-1-

知识点 2:中点弦问题(点差法)
例4 椭圆

1 y2 x2 ? ? 1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x ? 的交点恰为这条弦的中点 M , 练习、已知椭圆 2 75 25
求点 M 的坐标。

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(2,1) ,求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程。 16 4

x2 y 2 例 6..已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点。 a b
若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为 ( )

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

练习、如果椭圆 A. x ? 2 y ? 0

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9
B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0



练习、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的横坐标 为 例 5、求直线 y=x+1 被椭圆 x +2y =4 截得的弦的中点坐标。
2 2

1 ,求椭圆的方程。 2

-2-

知识点 3:椭圆中的最值问题
已知椭圆E: x2 y2 ? ? 1,P( x,y ) 是椭圆上一点 25 16
练习【2012 高考陕西文】已知椭圆 C1 : 的离心率。 (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

例 7.

(1)求 x+y 的最大值 (2)求点 P 到直线 x-y+10=0 的距离的最小值。

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同 4

练习:椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 16 4
B. 11 C. 2 2 D. 10



A.3

知识点 4.直线椭圆综合问题
例 8(2012 北京)已知椭圆 C:

x2 y 2 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 ,直 2 a b 2

线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值 3

-3-

两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 ⑴求 AB ⑵若直线 L 的斜率为 1,求 b 的值。

直线与椭圆位置关系专题课后作业 、 已知椭圆 C 的焦点分别为 F 长轴长为 6, 设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、 1 (?2 2,0), F 2 (2 2,0) , B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 A,B 4、已知椭圆 2 1
两点,求|AB|及 ?F2 AB 的面积 3、已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆, a ? 3c ,若椭圆被直线 x+y+1=0 截得的弦的中点的
2

横坐标是 ?

2 ,求椭圆的方程。 3
5. 已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +

2

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 L 与 E 相交于 A、B b2
-4-

3、已知椭圆

1 y2 x2 ? ? 1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x ? 的交点恰为这条弦的中点 M ,求点 2 75 25

M 的坐标。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为 3.(08 宁夏海南)过椭圆 5 4
坐标原点,则△OAB 的面积为 例 1:已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ? 2

,长轴长为 6,设直 2 ,0)和 F2(2 2 ,0)

线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。
x2 ? 1? ? y 2 ? 1,内有一条以点 P ?1, ? 为中点的弦 AB ,求 AB 所在的直线 l 的方 3、已知椭圆方程为 2 ? 2?
程及 AB 的弦长。

4、中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横坐 标为
1 ,求椭圆的方程 2

-5-



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